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为什么说$\sqrt{2}$不是有理数.
(1)【阅读与思考】假设$\sqrt{2}$是有理数,那么存在两个互质的正整数$p$和$q$,使得$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$,由$\sqrt{2}$的意义可得$2=(\frac{p}{q})^2$,即$p^2=$
显然,$p^2$是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以$p$也是偶数.
设$p=2s$($s$是正整数),代入①,得$q^2=$
显然,$q$也是偶数,则$p$和$q$都是偶数,不互质,这与假设$p$和$q$互质矛盾.
这个矛盾说明,$\sqrt{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】类比上述说理过程,推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整.
已知:如图,$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角.
求证:$∠ ACD=∠ A+∠ B$.
证明:假设
在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$,
∴
∵ $∠ ACD+$
∴ $∠ ACD=180°-$
∴ $∠ ACD=$
∴ 与假设相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ 原命题成立,即$∠ ACD=∠ A+∠ B$.
(3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸,面积为$700\ \mathrm{cm}^2$,长与宽之比为$5:4$.他想用这张彩纸剪出一个半径为$12\ \mathrm{cm}$的圆形卡片作为生日贺卡,他能做到吗?
(1)【阅读与思考】假设$\sqrt{2}$是有理数,那么存在两个互质的正整数$p$和$q$,使得$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$,由$\sqrt{2}$的意义可得$2=(\frac{p}{q})^2$,即$p^2=$
$2q^2$
. ①显然,$p^2$是偶数,因为只有偶数的平方才是偶数,所以$p$也是偶数.
设$p=2s$($s$是正整数),代入①,得$q^2=$
$2s^2$
.显然,$q$也是偶数,则$p$和$q$都是偶数,不互质,这与假设$p$和$q$互质矛盾.
这个矛盾说明,$\sqrt{2}$不能写成分数的形式,即$\sqrt{2}$不是有理数.
(2)【运用并解决】类比上述说理过程,推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整.
已知:如图,$∠ ACD$是$△ ABC$的一个外角.
求证:$∠ ACD=∠ A+∠ B$.
证明:假设
$∠ACD≠∠A+∠B$
.在$△ ABC$中,$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$,
∴
$∠A+∠B$
$=180°-∠ ACB$.∵ $∠ ACD+$
$∠ACB$
$=180°$,∴ $∠ ACD=180°-$
$∠ACB$
.∴ $∠ ACD=$
$∠A+∠B$
.∴ 与假设相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ 原命题成立,即$∠ ACD=∠ A+∠ B$.
(3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸,面积为$700\ \mathrm{cm}^2$,长与宽之比为$5:4$.他想用这张彩纸剪出一个半径为$12\ \mathrm{cm}$的圆形卡片作为生日贺卡,他能做到吗?
答案
(1) $2q^2$ $2s^2$
(2) $∠ACD≠∠A+∠B$ $∠A+∠B$ $∠ACB$ $∠ACB$ $∠A+∠B$
(3) 不能做到. 理由如下:
设长方形彩纸的长为$5x \mathrm{~cm}$,宽为$4x \mathrm{~cm}$,
∴ $5x · 4x=700$.
∴ $x=\sqrt{35}$.
∴ 长方形彩纸的宽为$4\sqrt{35} \mathrm{~cm}$.
∵ 圆形卡片的半径为$12 \mathrm{~cm}$,
∴ 圆形卡片的直径为$24 \mathrm{~cm}$.
∵ $(4\sqrt{35})^2=560＜24^2=576$,
∴ 不能做到.
(2) $∠ACD≠∠A+∠B$ $∠A+∠B$ $∠ACB$ $∠ACB$ $∠A+∠B$
(3) 不能做到. 理由如下:
设长方形彩纸的长为$5x \mathrm{~cm}$,宽为$4x \mathrm{~cm}$,
∴ $5x · 4x=700$.
∴ $x=\sqrt{35}$.
∴ 长方形彩纸的宽为$4\sqrt{35} \mathrm{~cm}$.
∵ 圆形卡片的半径为$12 \mathrm{~cm}$,
∴ 圆形卡片的直径为$24 \mathrm{~cm}$.
∵ $(4\sqrt{35})^2=560＜24^2=576$,
∴ 不能做到.
解析
【分析】
本题分为三个部分，解题思路如下：
(1) 第一问是反证法证明$\sqrt{2}$不是有理数的过程填空，按照反证法的推导逻辑，先将等式$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方即可得到$p^2$的表达式，再将$p=2s$代入该式化简就能得到$q^2$的表达式。
(2) 第二问用反证法证明三角形外角性质，反证法第一步需假设结论不成立，再结合三角形内角和定理、邻补角的性质进行推导，得出与假设矛盾的结果，即可证明原命题成立。
(3) 第三问是实际应用问题，要判断能否剪出圆形卡片，只需比较长方形的宽与圆形的直径大小：先根据长宽比设参数，结合面积求出长方形的宽，再与圆的直径对比，若宽小于直径则不能剪出。
【解析】
(1) 对$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方，可得$2=\frac{p^2}{q^2}$，即$p^2=2q^2$；
将$p=2s$代入$p^2=2q^2$，得$(2s)^2=2q^2$，化简得$4s^2=2q^2$，即$q^2=2s^2$。
(2) 反证法第一步假设结论不成立，即假设$∠ ACD≠∠ A+∠ B$；
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，移项可得$∠ A+∠ B=180°-∠ ACB$；
$∠ ACD$与$∠ ACB$为邻补角，因此$∠ ACD+∠ ACB=180°$，移项得$∠ ACD=180°-∠ ACB$；
通过等量代换可得$∠ ACD=∠ A+∠ B$，与假设矛盾。
(3) 设长方形彩纸的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$4x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式可得：
$5x·4x=700$，即$20x^2=700$，解得$x^2=35$，$x=\sqrt{35}$（边长为正，舍去负根）；
因此长方形的宽为$4\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$，圆形卡片的半径为$12\ \mathrm{cm}$，则直径为$2×12=24\ \mathrm{cm}$；
比较大小：$(4\sqrt{35})^2=16×35=560$，$24^2=576$，因为$560＜576$，所以$4\sqrt{35}＜24$，即长方形的宽小于圆的直径，无法剪出该圆形卡片。
【答案】
(1) $2q^2$；$2s^2$
(2) $∠ ACD≠∠ A+∠ B$；$∠ A+∠ B$；$∠ ACB$；$∠ ACB$；$∠ A+∠ B$
(3) 不能做到。
【知识点】
反证法；三角形内角和定理；二次根式的应用
【点评】
本题围绕反证法的核心逻辑展开，既考察了反证法的基本证明步骤，又结合了几何性质和代数运算解决实际问题，有助于培养逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为三个部分，解题思路如下：
(1) 第一问是反证法证明$\sqrt{2}$不是有理数的过程填空，按照反证法的推导逻辑，先将等式$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方即可得到$p^2$的表达式，再将$p=2s$代入该式化简就能得到$q^2$的表达式。
(2) 第二问用反证法证明三角形外角性质，反证法第一步需假设结论不成立，再结合三角形内角和定理、邻补角的性质进行推导，得出与假设矛盾的结果，即可证明原命题成立。
(3) 第三问是实际应用问题，要判断能否剪出圆形卡片，只需比较长方形的宽与圆形的直径大小：先根据长宽比设参数，结合面积求出长方形的宽，再与圆的直径对比，若宽小于直径则不能剪出。
【解析】
(1) 对$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$两边平方，可得$2=\frac{p^2}{q^2}$，即$p^2=2q^2$；
将$p=2s$代入$p^2=2q^2$，得$(2s)^2=2q^2$，化简得$4s^2=2q^2$，即$q^2=2s^2$。
(2) 反证法第一步假设结论不成立，即假设$∠ ACD≠∠ A+∠ B$；
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，移项可得$∠ A+∠ B=180°-∠ ACB$；
$∠ ACD$与$∠ ACB$为邻补角，因此$∠ ACD+∠ ACB=180°$，移项得$∠ ACD=180°-∠ ACB$；
通过等量代换可得$∠ ACD=∠ A+∠ B$，与假设矛盾。
(3) 设长方形彩纸的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$4x\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式可得：
$5x·4x=700$，即$20x^2=700$，解得$x^2=35$，$x=\sqrt{35}$（边长为正，舍去负根）；
因此长方形的宽为$4\sqrt{35}\ \mathrm{cm}$，圆形卡片的半径为$12\ \mathrm{cm}$，则直径为$2×12=24\ \mathrm{cm}$；
比较大小：$(4\sqrt{35})^2=16×35=560$，$24^2=576$，因为$560＜576$，所以$4\sqrt{35}＜24$，即长方形的宽小于圆的直径，无法剪出该圆形卡片。
【答案】
(1) $2q^2$；$2s^2$
(2) $∠ ACD≠∠ A+∠ B$；$∠ A+∠ B$；$∠ ACB$；$∠ ACB$；$∠ A+∠ B$
(3) 不能做到。
【知识点】
反证法；三角形内角和定理；二次根式的应用
【点评】
本题围绕反证法的核心逻辑展开，既考察了反证法的基本证明步骤，又结合了几何性质和代数运算解决实际问题，有助于培养逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
