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6.如图,以BD为直径的$\odot O$刚好经过A,B,C三点,且$∠ ABD = 30°$,则$∠ ACB$的度数为
60°
.答案
6.$60°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到BD是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，我们可以连接AD构造直角三角形ABD；其次在直角三角形中利用两锐角互余求出∠ADB的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：连接AD
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠ABD=30°
∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-30°=60°
又
∵∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角
∴∠ACB=∠ADB=60°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
60°
【知识点】
直径的圆周角性质；直角三角形性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是通过添加辅助线构造直径所对的直角，再结合圆周角定理完成角度的转换，考查对圆基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察到BD是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，我们可以连接AD构造直角三角形ABD；其次在直角三角形中利用两锐角互余求出∠ADB的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：连接AD
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠ABD=30°
∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-30°=60°
又
∵∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角
∴∠ACB=∠ADB=60°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
60°
【知识点】
直径的圆周角性质；直角三角形性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是通过添加辅助线构造直径所对的直角，再结合圆周角定理完成角度的转换，考查对圆基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图，$△ ABC$的外接圆圆心的坐标是
(-2,-1)
.答案
7.$(-2,-1)$
解析
【分析】
三角形外接圆的圆心是三角形的外心，外心为三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。解题时先根据网格确定三个顶点的坐标，观察边的特征可知B、C横坐标相同，BC为竖直线，可快速求出它的垂直平分线，再设外心在该垂直平分线上，利用外心到顶点距离相等列方程求解即可。
【解析】
首先根据网格确定△ABC三个顶点的坐标：$A(0,3)$，$B(2,1)$，$C(2,-3)$。
1. 求边BC的垂直平分线：
B、C两点横坐标均为2，故BC是垂直于x轴的线段，它的垂直平分线平行于x轴；BC中点的纵坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$。
2. 设外接圆圆心坐标为$(x,-1)$，根据外心到A、B两点距离相等列方程：
$\sqrt{(x-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(-1-1)^2}$
两边平方化简：
$x^2+16=(x-2)^2+4$
$x^2+16=x^2-4x+8$
解得$x=-2$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心性质，垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外心的相关计算，解题的关键是利用网格特征先求出特殊边的垂直平分线，再结合外心的性质列方程求解，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
三角形外接圆的圆心是三角形的外心，外心为三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。解题时先根据网格确定三个顶点的坐标，观察边的特征可知B、C横坐标相同，BC为竖直线，可快速求出它的垂直平分线，再设外心在该垂直平分线上，利用外心到顶点距离相等列方程求解即可。
【解析】
首先根据网格确定△ABC三个顶点的坐标：$A(0,3)$，$B(2,1)$，$C(2,-3)$。
1. 求边BC的垂直平分线：
B、C两点横坐标均为2，故BC是垂直于x轴的线段，它的垂直平分线平行于x轴；BC中点的纵坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，因此BC的垂直平分线为直线$y=-1$。
2. 设外接圆圆心坐标为$(x,-1)$，根据外心到A、B两点距离相等列方程：
$\sqrt{(x-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(-1-1)^2}$
两边平方化简：
$x^2+16=(x-2)^2+4$
$x^2+16=x^2-4x+8$
解得$x=-2$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心性质，垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外心的相关计算，解题的关键是利用网格特征先求出特殊边的垂直平分线，再结合外心的性质列方程求解，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm. 能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是
$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
cm.答案
8.$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
要找到能够完全覆盖△ABC的最小圆形纸片，首先需明确该最小圆是△ABC的外接圆，因此问题转化为求△ABC外接圆的直径。已知BC的长度和BC所对的圆周角∠A=60°，我们可以结合圆周角定理得到BC所对的圆心角的度数，再利用垂径定理构造直角三角形，通过三角函数即可求出外接圆半径，进而得到直径。
【解析】
能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC的外接圆，设其半径为$ R $，直径为$ d $。
1. 连接外接圆圆心$ O $与$ B $、$ C $，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$ ∠ BOC = 2∠ A = 2×60°=120° $。
2. 过点$ O $作$ OD⊥ BC $于点$ D $，根据垂径定理，$ BD = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm} $，且$ ∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ BOD $中，$ \sin∠ BOD = \frac{BD}{OB} $，代入已知值：
$ \sin60° = \frac{\frac{5}{2}}{R} $
$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2R} $
解得$ R = \frac{5\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm} $。
4. 因此外接圆直径$ d = 2R = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
三角形外接圆，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题解题的关键是明确覆盖三角形的最小圆为该三角形的外接圆，再结合圆的基本性质和直角三角形的边角关系求解，需要学生灵活运用所学的圆和三角函数的相关知识进行转化计算。
【难度系数】
0.6
要找到能够完全覆盖△ABC的最小圆形纸片，首先需明确该最小圆是△ABC的外接圆，因此问题转化为求△ABC外接圆的直径。已知BC的长度和BC所对的圆周角∠A=60°，我们可以结合圆周角定理得到BC所对的圆心角的度数，再利用垂径定理构造直角三角形，通过三角函数即可求出外接圆半径，进而得到直径。
【解析】
能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC的外接圆，设其半径为$ R $，直径为$ d $。
1. 连接外接圆圆心$ O $与$ B $、$ C $，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$ ∠ BOC = 2∠ A = 2×60°=120° $。
2. 过点$ O $作$ OD⊥ BC $于点$ D $，根据垂径定理，$ BD = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm} $，且$ ∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = 60° $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ BOD $中，$ \sin∠ BOD = \frac{BD}{OB} $，代入已知值：
$ \sin60° = \frac{\frac{5}{2}}{R} $
$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2R} $
解得$ R = \frac{5\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm} $。
4. 因此外接圆直径$ d = 2R = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
三角形外接圆，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题解题的关键是明确覆盖三角形的最小圆为该三角形的外接圆，再结合圆的基本性质和直角三角形的边角关系求解，需要学生灵活运用所学的圆和三角函数的相关知识进行转化计算。
【难度系数】
0.6
9. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店的一块碎片应该是
①
.（填序号）答案
9.①
解析
【分析】
要配到和原镜子大小一致的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据所学的定圆规则：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，因此只要碎片上包含原圆的一段完整圆弧，就能在弧上取3个不共线的点，进而确定原圆的圆心和半径。观察三块碎片：①号碎片保留了原圆的一段较长的完整圆弧，满足定圆条件；②、③号碎片的边缘大多是碎裂产生的内部边，没有足够的圆周上的点，无法确定原圆。
【解析】
依据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”的定理分析：
1. 碎片①包含原圆形镜子的一段完整的弧，可在这段弧上任意选取三个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意点的长度就是原圆的半径，即可得到和原镜子大小完全相同的圆。
2. 碎片②、③仅包含极短的原圆周部分甚至没有完整的圆周弧，无法找到足够的不共线的圆周上的点，不能确定原圆的圆心和半径。
因此需要带①号碎片。
【答案】
①
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆心的确定方法
【点评】
这道题是几何知识在实际生活中的应用，解题核心是掌握确定一个圆的条件，能结合碎片特征判断是否满足定圆要求，题目贴近生活，形式灵活。
【难度系数】
0.7
要配到和原镜子大小一致的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据所学的定圆规则：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，因此只要碎片上包含原圆的一段完整圆弧，就能在弧上取3个不共线的点，进而确定原圆的圆心和半径。观察三块碎片：①号碎片保留了原圆的一段较长的完整圆弧，满足定圆条件；②、③号碎片的边缘大多是碎裂产生的内部边，没有足够的圆周上的点，无法确定原圆。
【解析】
依据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”的定理分析：
1. 碎片①包含原圆形镜子的一段完整的弧，可在这段弧上任意选取三个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意点的长度就是原圆的半径，即可得到和原镜子大小完全相同的圆。
2. 碎片②、③仅包含极短的原圆周部分甚至没有完整的圆周弧，无法找到足够的不共线的圆周上的点，不能确定原圆的圆心和半径。
因此需要带①号碎片。
【答案】
①
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆心的确定方法
【点评】
这道题是几何知识在实际生活中的应用，解题核心是掌握确定一个圆的条件，能结合碎片特征判断是否满足定圆要求，题目贴近生活，形式灵活。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知$△ ABC$. 求作：$△ ABC$的外接圆$\odot O$(不写作法，保留作图痕迹). 
答案
10. 如图,$\odot O$即为所求作的圆.
解析
【分析】
要作△ABC的外接圆，需先确定圆心和半径。三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。因此解题思路为：首先用尺规作出△ABC任意两边的垂直平分线，两条线的交点即为圆心O；再以O为圆心，O到任意一个顶点的长度为半径作圆，所得的圆就是△ABC的外接圆。
【解析】
本题无需写出作图步骤，仅需保留作图痕迹：
1. 分别作△ABC任意两边（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；
2. 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径画圆，得到的⊙O即为所求。
【答案】
如图,$\odot O$即为所求作的圆.
【知识点】
三角形外心性质，尺规作垂直平分线，外接圆作图
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查三角形外接圆的作图方法，解题关键是明确外心的性质，掌握垂直平分线的尺规作图操作即可完成。
【难度系数】
0.8
要作△ABC的外接圆，需先确定圆心和半径。三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。因此解题思路为：首先用尺规作出△ABC任意两边的垂直平分线，两条线的交点即为圆心O；再以O为圆心，O到任意一个顶点的长度为半径作圆，所得的圆就是△ABC的外接圆。
【解析】
本题无需写出作图步骤，仅需保留作图痕迹：
1. 分别作△ABC任意两边（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；
2. 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径画圆，得到的⊙O即为所求。
【答案】
如图,$\odot O$即为所求作的圆.
【知识点】
三角形外心性质，尺规作垂直平分线，外接圆作图
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查三角形外接圆的作图方法，解题关键是明确外心的性质，掌握垂直平分线的尺规作图操作即可完成。
【难度系数】
0.8
11. 如图,破残的圆形轮片上有三点A,B,C.
(1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心O (不写作法,保留作图痕迹);
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆片的半径R.
(1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心O (不写作法,保留作图痕迹);
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆片的半径R.
答案
11. (1)如图,点O即为所求.
(2)如图,连接 OA,OB,OC,BC,BC 交 OA于点 D.
$\because\ \ \ AB=AC,OB=OC,$
$\therefore\ \ OA$ 垂直平分 $BC.$
$\therefore\ \ ∠ ADB = ∠ ODB = 90°, BD = CD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm}).$
$\because\ \ \ AB=AC=10\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm}).$
在 $\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,根据勾股定理,得
$R^2=(R-6)^2+8^2.$
解得 $R=\dfrac{25}{3}.$
$\therefore\ \ $ 圆片的半径 $R$ 为 $\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}.$
解析
【分析】
(1) 要确定残轮的圆心，依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，圆心到圆上各点距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，因此只需作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心O。
(2) 计算半径时，先连接OA、OB、BC，利用等腰三角形三线合一及圆的半径相等的性质，可推出OA垂直平分BC，先求出BD、AD的长度，再在直角三角形OBD中用勾股定理列方程即可求解半径R。
【解析】
(1) 分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，作图痕迹如图所示。
(2) 连接OA，OB，BC，设OA交BC于点D。
$\because\ \ AB=AC,OB=OC,$
$\therefore\ \ OA$ 垂直平分 $BC.$
$\therefore\ \ ∠ ADB = ∠ ODB = 90°, BD = CD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm}).$
$\because\ \ \ AB=10\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm}).$
设圆片的半径为$R$，则$OB=R$，$OD=OA-AD=R-6$，
在 $\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,根据勾股定理,得
$OB^2=OD^2+BD^2$，即$R^2=(R-6)^2+8^2.$
展开整理得$12R=100$，
解得 $R=\dfrac{25}{3}.$
【答案】
(1) 如图,点O即为所求.
(2) 圆片的半径$R$为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 垂径定理
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合了尺规作图与几何计算，既考查了动手操作能力，又考查了运用垂径定理、勾股定理解决圆中计算问题的能力，是圆章节的基础常考题，解题核心是构造直角三角形，结合方程思想求解未知量。
【难度系数】
0.65
(1) 要确定残轮的圆心，依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，圆心到圆上各点距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，因此只需作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心O。
(2) 计算半径时，先连接OA、OB、BC，利用等腰三角形三线合一及圆的半径相等的性质，可推出OA垂直平分BC，先求出BD、AD的长度，再在直角三角形OBD中用勾股定理列方程即可求解半径R。
【解析】
(1) 分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，作图痕迹如图所示。
(2) 连接OA，OB，BC，设OA交BC于点D。
$\because\ \ AB=AC,OB=OC,$
$\therefore\ \ OA$ 垂直平分 $BC.$
$\therefore\ \ ∠ ADB = ∠ ODB = 90°, BD = CD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm}).$
$\because\ \ \ AB=10\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{cm}).$
设圆片的半径为$R$，则$OB=R$，$OD=OA-AD=R-6$，
在 $\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,根据勾股定理,得
$OB^2=OD^2+BD^2$，即$R^2=(R-6)^2+8^2.$
展开整理得$12R=100$，
解得 $R=\dfrac{25}{3}.$
【答案】
(1) 如图,点O即为所求.
(2) 圆片的半径$R$为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 垂径定理
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题结合了尺规作图与几何计算，既考查了动手操作能力，又考查了运用垂径定理、勾股定理解决圆中计算问题的能力，是圆章节的基础常考题，解题核心是构造直角三角形，结合方程思想求解未知量。
【难度系数】
0.65
