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“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案. 图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈. 图②为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.
(1)若将图②中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“
(2)请用无刻度的直尺与圆规,补全图②中所有残缺的弧,使其“破镜重圆”(保留作图痕迹,不写作法).
(1)若将图②中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“
七
连弧纹镜”；(2)请用无刻度的直尺与圆规,补全图②中所有残缺的弧,使其“破镜重圆”(保留作图痕迹,不写作法).
答案
(1)七
(2)如图.
解析
【分析】
(1) 解题思路：连弧纹镜的所有连弧均为等弧，每个弧的端点都在外圆周上，相邻弧的公共点是外圆的等分点，所有等分点将外圆平均分为n份（n即为连弧的数量）。观察图②残件，可见4个完整的连弧，缺口部分恰好可以容纳3个相同的连弧，加和即可得到总连弧数。
(2) 作图思路：要补全图案，首先需要确定外圆的圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，在外圆的已知弧上取三个不共线的点，作两条弦的垂直平分线，交点就是外圆圆心；接着以圆心到外圆上点的距离为半径画出完整外圆；再根据已知等分点的间隔，将外圆七等分得到所有等分点；最后以每个等分点为圆心，相邻等分点的弦长为半径向内作弧，即可补全所有残缺的弧。
【解析】
(1) 观察残件可知，现有完整连弧共4个，剩余缺口可容纳3个相同的等弧，总连弧数为4+3=7，因此该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图步骤（保留痕迹即可）：
① 在外圆已知弧上取3个不共线的点，分别作过其中两组点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外圆圆心；
② 以所得交点为圆心，圆心到外圆上任意一点的距离为半径作圆，得到完整外圆；
③ 按已知连弧对应的等分间隔，将外圆平均分为7等份，标记所有等分点；
④ 依次以每个等分点为圆心，相邻两个等分点的距离为半径向内作弧，补全所有残缺的连弧。
【答案】
(1) 七
(2) 如图.
【知识点】
确定圆的条件；尺规作图；等弧的性质
【点评】
本题以古代铜镜纹饰为背景，将圆的相关知识和实际应用结合，既考查了对等弧、圆的确定等知识点的掌握，也考查了尺规作图的动手操作能力，同时能让学生感受传统文化中的数学智慧，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：连弧纹镜的所有连弧均为等弧，每个弧的端点都在外圆周上，相邻弧的公共点是外圆的等分点，所有等分点将外圆平均分为n份（n即为连弧的数量）。观察图②残件，可见4个完整的连弧，缺口部分恰好可以容纳3个相同的连弧，加和即可得到总连弧数。
(2) 作图思路：要补全图案，首先需要确定外圆的圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，在外圆的已知弧上取三个不共线的点，作两条弦的垂直平分线，交点就是外圆圆心；接着以圆心到外圆上点的距离为半径画出完整外圆；再根据已知等分点的间隔，将外圆七等分得到所有等分点；最后以每个等分点为圆心，相邻等分点的弦长为半径向内作弧，即可补全所有残缺的弧。
【解析】
(1) 观察残件可知，现有完整连弧共4个，剩余缺口可容纳3个相同的等弧，总连弧数为4+3=7，因此该铜镜为七连弧纹镜。
(2) 作图步骤（保留痕迹即可）：
① 在外圆已知弧上取3个不共线的点，分别作过其中两组点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外圆圆心；
② 以所得交点为圆心，圆心到外圆上任意一点的距离为半径作圆，得到完整外圆；
③ 按已知连弧对应的等分间隔，将外圆平均分为7等份，标记所有等分点；
④ 依次以每个等分点为圆心，相邻两个等分点的距离为半径向内作弧，补全所有残缺的连弧。
【答案】
(1) 七
(2) 如图.
【知识点】
确定圆的条件；尺规作图；等弧的性质
【点评】
本题以古代铜镜纹饰为背景，将圆的相关知识和实际应用结合，既考查了对等弧、圆的确定等知识点的掌握，也考查了尺规作图的动手操作能力，同时能让学生感受传统文化中的数学智慧，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.65
1. 如图，点A,B,C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能作出的圆的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，共线的三个点无法确定圆。接下来我们先枚举从4个点中任选3个点的所有组合，再排除共线的组合，统计剩余符合条件的组合数即可。已知A、B、C三点共线，点D在直线ABC外，因此包含D的三点组合都不会共线，仅A、B、C的组合不符合要求。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
从4个点中任取3个点，共有4种组合：
1. 选取A、B、C：三点在同一直线上，无法确定圆；
2. 选取A、B、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 选取A、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 选取B、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
因此总共可以作出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对确定圆的条件的理解，解题的关键是牢记共线的三点不能确定圆，枚举组合时注意不要漏算或多算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆确定圆的核心条件：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，共线的三个点无法确定圆。接下来我们先枚举从4个点中任选3个点的所有组合，再排除共线的组合，统计剩余符合条件的组合数即可。已知A、B、C三点共线，点D在直线ABC外，因此包含D的三点组合都不会共线，仅A、B、C的组合不符合要求。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的性质：
从4个点中任取3个点，共有4种组合：
1. 选取A、B、C：三点在同一直线上，无法确定圆；
2. 选取A、B、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 选取A、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 选取B、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
因此总共可以作出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对确定圆的条件的理解，解题的关键是牢记共线的三点不能确定圆，枚举组合时注意不要漏算或多算即可。
【难度系数】
0.7
2. 在如图所示的网格图中，取3个格点A,B,C并顺次连接得到$△ ABC$,则$△ ABC$的外心是（
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
2.A
解析
【分析】
要确定△ABC的外心，首先回忆外心的相关性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题思路如下：1. 首先观察AB边是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，因此外心一定在这条竖线上，可直接排除不在该竖线上的点G；2. 剩余的点F、D、E都在AB的垂直平分线上，天然满足到A、B的距离相等，只需验证哪个点到C的距离等于到A的距离即可，结合网格用勾股定理计算各点到顶点的距离就能得出结果。
【解析】
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。
1. 观察网格可得，AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，点F、D、E在这条竖线上，点G不在该直线上，首先排除选项D；
2. 设每个小方格的边长为1，结合勾股定理计算剩余点到顶点的距离：
计算可得点D到A的距离为$\sqrt{4^2+3^2}=5$，点D到C的距离也为5，即点D到A、B、C三个顶点的距离相等，符合外心的性质。
点F、E到A和C的距离不相等，不符合外心的要求。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的定义，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查三角形外心的性质应用，解题关键是先利用线段垂直平分线的特征缩小外心的所在范围，再通过距离计算验证即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC的外心，首先回忆外心的相关性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题思路如下：1. 首先观察AB边是水平线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，因此外心一定在这条竖线上，可直接排除不在该竖线上的点G；2. 剩余的点F、D、E都在AB的垂直平分线上，天然满足到A、B的距离相等，只需验证哪个点到C的距离等于到A的距离即可，结合网格用勾股定理计算各点到顶点的距离就能得出结果。
【解析】
三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。
1. 观察网格可得，AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，点F、D、E在这条竖线上，点G不在该直线上，首先排除选项D；
2. 设每个小方格的边长为1，结合勾股定理计算剩余点到顶点的距离：
计算可得点D到A的距离为$\sqrt{4^2+3^2}=5$，点D到C的距离也为5，即点D到A、B、C三个顶点的距离相等，符合外心的性质。
点F、E到A和C的距离不相等，不符合外心的要求。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的定义，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查三角形外心的性质应用，解题关键是先利用线段垂直平分线的特征缩小外心的所在范围，再通过距离计算验证即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
3.若三角形的三边长分别为6,8,10,则此三角形的外接圆的半径长是 (
A.5
B.4
C.3
D.2
A
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边长，可先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，再结合不同形状三角形外接圆的特征计算半径。首先计算较小两边的平方和，看是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形；直角三角形的外接圆直径与斜边相等，因此半径为斜边的一半，按这个思路即可求出结果。
【解析】
解：先判断三角形的形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且斜边长为10。
又
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，
∴ 此三角形外接圆的半径 $R = \frac{10}{2} = 5$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形外接圆性质；外接圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的特殊性快速计算半径，不需要使用通用的外接圆半径公式，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形三边长，可先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，再结合不同形状三角形外接圆的特征计算半径。首先计算较小两边的平方和，看是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形；直角三角形的外接圆直径与斜边相等，因此半径为斜边的一半，按这个思路即可求出结果。
【解析】
解：先判断三角形的形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且斜边长为10。
又
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，
∴ 此三角形外接圆的半径 $R = \frac{10}{2} = 5$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形外接圆性质；外接圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的特殊性快速计算半径，不需要使用通用的外接圆半径公式，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
4. 一个三角形的一边长为12,另外两边长是一元二次方程$x^2 -18x +65=0$的两个根,则这个三角形外接圆的半径是（
A.$\frac{60}{13}$
B.5
C.6.5
D.8
C
）A.$\frac{60}{13}$
B.5
C.6.5
D.8
答案
4.C
解析
【分析】
要计算该三角形外接圆的半径，首先需要明确三角形的形状及三边长：第一步先求解一元二次方程得到另外两条边的长度；第二步结合已知边长12，用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形；若为直角三角形，可直接利用直角三角形外接圆的性质（外接圆直径等于斜边长）计算半径。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -18x +65=0$：
因式分解得$(x-5)(x-13)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=13$，即三角形另外两边长为5和13。
2. 判断三角形形状：
已知三边长为5、12、13，验证得$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，斜边长为13。
3. 计算外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{13}{2}=6.5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解、三角形形状判定与外接圆性质结合考查，解题核心是先确定三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的特性快速计算，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算该三角形外接圆的半径，首先需要明确三角形的形状及三边长：第一步先求解一元二次方程得到另外两条边的长度；第二步结合已知边长12，用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形；若为直角三角形，可直接利用直角三角形外接圆的性质（外接圆直径等于斜边长）计算半径。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -18x +65=0$：
因式分解得$(x-5)(x-13)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=13$，即三角形另外两边长为5和13。
2. 判断三角形形状：
已知三边长为5、12、13，验证得$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为直角三角形，斜边长为13。
3. 计算外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{13}{2}=6.5$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理逆定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解、三角形形状判定与外接圆性质结合考查，解题核心是先确定三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的特性快速计算，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 平面上有4个点，它们不在同一条直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的n个圆，则n的值不可能为（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5.C
解析
【分析】
解题的核心依据是“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，需要对4个点的位置关系分类讨论：①四点共圆；②有且仅有三点共线；③无三点共线且四点不共圆，分别计算每种情况下不重复圆的个数，排除可能的取值即可得到答案。
【解析】
根据确定圆的定理，分三类情况讨论：
1. 当4个点四点共圆时，任选3个点作的圆都是同一个，此时$n=1$，D选项可能；
2. 当4个点中有且仅有3个点共线时，共线的3个点无法确定圆，剩余的3组三点组合（直线上2个点+直线外1个点）分别确定3个不同的圆，此时$n=3$，B选项可能；
3. 当4个点没有任意三点共线、且不共圆时，每3个点都能确定1个不同的圆，共有4组不重复的三点组合，此时$n=4$，A选项可能。
综上，$n$的值不可能为2。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，解题关键是全面考虑4个不共线点的所有位置关系，分类讨论时做到不重不漏，避免遗漏四点共圆、三点共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，需要对4个点的位置关系分类讨论：①四点共圆；②有且仅有三点共线；③无三点共线且四点不共圆，分别计算每种情况下不重复圆的个数，排除可能的取值即可得到答案。
【解析】
根据确定圆的定理，分三类情况讨论：
1. 当4个点四点共圆时，任选3个点作的圆都是同一个，此时$n=1$，D选项可能；
2. 当4个点中有且仅有3个点共线时，共线的3个点无法确定圆，剩余的3组三点组合（直线上2个点+直线外1个点）分别确定3个不同的圆，此时$n=3$，B选项可能；
3. 当4个点没有任意三点共线、且不共圆时，每3个点都能确定1个不同的圆，共有4组不重复的三点组合，此时$n=4$，A选项可能。
综上，$n$的值不可能为2。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，解题关键是全面考虑4个不共线点的所有位置关系，分类讨论时做到不重不漏，避免遗漏四点共圆、三点共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
