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3.如图,可以表示某个角的平分线的射线是(
A.OA
B.OB
C.OC
D.OD
C
)。A.OA
B.OB
C.OC
D.OD
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确角平分线的定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个度数相等的小角的射线，叫做这个角的角平分线。解题时先读取图中给出的各小角的度数，再逐一判断每条射线分出的两个相邻角是否相等，相等的那条射线就是角平分线。
首先读取角度：∠AOB=20°，∠BOC=30°，∠COD=30°。逐一分析选项：OA、OD是角的边，不是平分线；OB分出的两个角度数不相等；OC分出的∠BOC和∠COD都是30°，度数相等，符合角平分线的要求。
【解析】
根据角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线是该角的角平分线。
由图可知：∠COD=30°，∠BOC=30°，即∠COD=∠BOC，说明射线OC将∠BOD平均分为两个相等的角，因此OC是∠BOD的角平分线。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的度数计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握角平分线的定义，结合图中给出的角度信息判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确角平分线的定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个度数相等的小角的射线，叫做这个角的角平分线。解题时先读取图中给出的各小角的度数，再逐一判断每条射线分出的两个相邻角是否相等，相等的那条射线就是角平分线。
首先读取角度：∠AOB=20°，∠BOC=30°，∠COD=30°。逐一分析选项：OA、OD是角的边，不是平分线；OB分出的两个角度数不相等；OC分出的∠BOC和∠COD都是30°，度数相等，符合角平分线的要求。
【解析】
根据角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线是该角的角平分线。
由图可知：∠COD=30°，∠BOC=30°，即∠COD=∠BOC，说明射线OC将∠BOD平均分为两个相等的角，因此OC是∠BOD的角平分线。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的度数计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握角平分线的定义，结合图中给出的角度信息判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.已知∠A=30°45′，∠B=30.45°，则∠A
＞
∠B（填“＞”“＜”或“=”）。答案
4.＞
解析
【分析】
要比较两个角的大小，首先观察到两个角的单位表示形式不统一，不能直接比较大小。我们需要利用度和分的换算关系（1°=60′），将两个角的单位统一后，再比较数值大小即可。
【解析】
∵ 度和分的换算关系为$1{}^{\circ }=60{}^{\prime }$，
∴ 先将$∠ B$的小数部分度数转换为分：
$∠ B=30.45{}^{\circ }=30{}^{\circ }+0.45{}^{\circ }=30{}^{\circ }+(0.45× 60){}^{\prime }=30{}^{\circ }27{}^{\prime }$，
已知$∠ A=30{}^{\circ }45{}^{\prime }$，两个角的度数部分相同，比较分的部分可得$45{}^{\prime }＞27{}^{\prime }$，
因此$∠ A＞∠ B$。
【答案】
＞
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题解题的核心是先统一角的单位再进行大小比较，需要注意度、分、秒之间的进制是60进制，避免误按10进制换算导致出错。
【难度系数】
0.8
要比较两个角的大小，首先观察到两个角的单位表示形式不统一，不能直接比较大小。我们需要利用度和分的换算关系（1°=60′），将两个角的单位统一后，再比较数值大小即可。
【解析】
∵ 度和分的换算关系为$1{}^{\circ }=60{}^{\prime }$，
∴ 先将$∠ B$的小数部分度数转换为分：
$∠ B=30.45{}^{\circ }=30{}^{\circ }+0.45{}^{\circ }=30{}^{\circ }+(0.45× 60){}^{\prime }=30{}^{\circ }27{}^{\prime }$，
已知$∠ A=30{}^{\circ }45{}^{\prime }$，两个角的度数部分相同，比较分的部分可得$45{}^{\prime }＞27{}^{\prime }$，
因此$∠ A＞∠ B$。
【答案】
＞
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题解题的核心是先统一角的单位再进行大小比较，需要注意度、分、秒之间的进制是60进制，避免误按10进制换算导致出错。
【难度系数】
0.8
5.如图，射线OC，OD是∠AOB的三等分线，则∠AOB = 
3∠AOC
= 3∠COD = 3∠DOB，或 $\frac{1}{3}$∠AOB = ∠AOC = ∠COD
= ∠DOB。答案
5.$3∠ AOC$ $∠ COD$
解析
【分析】
解题时首先要明确角的三等分线的定义：如果两条射线把一个角分成三个相等的小角，这两条射线就是这个角的三等分线。据此可知∠AOB被OC、OD分成了三个大小相等的小角：∠AOC、∠COD、∠DOB。首先看第一个空，题目给出∠AOB等于3∠COD、3∠DOB，按照三个小角相等的性质，还可以表示为3倍的∠AOC；再看第二个空，$\frac{1}{3}$∠AOB等于每个小角，已经给出了∠AOC和∠DOB，中间缺的就是∠COD，按此思路填空即可。
【解析】
解：
∵射线OC，OD是∠AOB的三等分线
∴∠AOC = ∠COD = ∠DOB
∴∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 3∠AOC = 3∠COD = 3∠DOB
同时可得$\frac{1}{3}$∠AOB = ∠AOC = ∠COD = ∠DOB
因此两个空依次填写3∠AOC、∠COD。
【答案】
$3∠AOC$；$∠COD$
【知识点】
角的三等分线定义；角的和差运算
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对角度三等分线性质的理解，只要掌握三等分线分大角为三个相等小角的核心性质，就能快速理清大角和小角的数量关系完成填空。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确角的三等分线的定义：如果两条射线把一个角分成三个相等的小角，这两条射线就是这个角的三等分线。据此可知∠AOB被OC、OD分成了三个大小相等的小角：∠AOC、∠COD、∠DOB。首先看第一个空，题目给出∠AOB等于3∠COD、3∠DOB，按照三个小角相等的性质，还可以表示为3倍的∠AOC；再看第二个空，$\frac{1}{3}$∠AOB等于每个小角，已经给出了∠AOC和∠DOB，中间缺的就是∠COD，按此思路填空即可。
【解析】
解：
∵射线OC，OD是∠AOB的三等分线
∴∠AOC = ∠COD = ∠DOB
∴∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 3∠AOC = 3∠COD = 3∠DOB
同时可得$\frac{1}{3}$∠AOB = ∠AOC = ∠COD = ∠DOB
因此两个空依次填写3∠AOC、∠COD。
【答案】
$3∠AOC$；$∠COD$
【知识点】
角的三等分线定义；角的和差运算
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对角度三等分线性质的理解，只要掌握三等分线分大角为三个相等小角的核心性质，就能快速理清大角和小角的数量关系完成填空。
【难度系数】
0.9
6.已知$∠ AOB=70°$，若从点O引一条射线OC，使$∠ BOC=36°$，求$∠ AOC$的度数。
答案
6.$106°$或$34°$
解析
【分析】
题目没有明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。再结合角的和差关系分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当射线OC在∠AOB的内部时：
根据角的差的关系可得：$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC$
已知$∠ AOB=70°$，$∠ BOC=36°$，代入得：
$∠ AOC = 70° - 36° = 34°$
（2）当射线OC在∠AOB的外部时：
根据角的和的关系可得：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$
代入角度数得：
$∠ AOC = 70° + 36° = 106°$
综上，$∠ AOC$的度数为$34°$或$106°$。
【答案】
$106°$或$34°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的常见题型，易错点是忽略射线OC位置的不确定性，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时需注意无图的角度计算题要全面分析所有可能的位置关系。
【难度系数】
0.6
题目没有明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。再结合角的和差关系分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当射线OC在∠AOB的内部时：
根据角的差的关系可得：$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC$
已知$∠ AOB=70°$，$∠ BOC=36°$，代入得：
$∠ AOC = 70° - 36° = 34°$
（2）当射线OC在∠AOB的外部时：
根据角的和的关系可得：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$
代入角度数得：
$∠ AOC = 70° + 36° = 106°$
综上，$∠ AOC$的度数为$34°$或$106°$。
【答案】
$106°$或$34°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是角的运算的常见题型，易错点是忽略射线OC位置的不确定性，仅考虑其中一种情况导致漏解，解题时需注意无图的角度计算题要全面分析所有可能的位置关系。
【难度系数】
0.6
7.如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠AOC。若∠AOD=55°，求∠BOC的度数。
答案
7.$70°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先已知射线OD平分∠AOC，根据角平分线的定义可先求出∠AOC的度数；再由点O在直线AB上可知∠AOB是平角，度数为180°，最后用平角的度数减去∠AOC的度数即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠AOD=55°，
∴ ∠AOC = 2∠AOD = 2×55° = 110°，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 110° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线和平角的性质，先求出已知角的倍角，再利用角的和差关系求解即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先已知射线OD平分∠AOC，根据角平分线的定义可先求出∠AOC的度数；再由点O在直线AB上可知∠AOB是平角，度数为180°，最后用平角的度数减去∠AOC的度数即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ OD平分∠AOC，∠AOD=55°，
∴ ∠AOC = 2∠AOD = 2×55° = 110°，
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°，
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 180° - 110° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线和平角的性质，先求出已知角的倍角，再利用角的和差关系求解即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
8. 如图，点A，O，B在同一直线上，$∠ BOC=78°$，$∠ DOE=77°$，射线OD是$∠ BOC$内的一条靠近OC边的三等分线。
(1)求$∠ COE$的度数。
(2)OE是$∠ AOC$的平分线吗？说明你的理由。
(1)求$∠ COE$的度数。
(2)OE是$∠ AOC$的平分线吗？说明你的理由。
答案
8.解:(1)因为 OD 是$∠ BOC$ 的一条靠近 OC 边的三等分线,$∠ BOC=78°$,所以$∠ COD=26°$。
因为$∠ DOE=77°$,所以$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=51°$。
(2)OE 是$∠ AOC$ 的平分线。
理由:因为$∠ AOE=180°-∠ COE-∠ BOC$
$=180°-51°-78°=51°$,
所以$∠ AOE=∠ COE$。
所以 OE 是$∠ AOC$ 的平分线。
因为$∠ DOE=77°$,所以$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=51°$。
(2)OE 是$∠ AOC$ 的平分线。
理由:因为$∠ AOE=180°-∠ COE-∠ BOC$
$=180°-51°-78°=51°$,
所以$∠ AOE=∠ COE$。
所以 OE 是$∠ AOC$ 的平分线。
解析
【分析】
本题考查角的运算与角平分线的判定。（1）求∠COE的度数时，先根据OD是∠BOC靠近OC的三等分线求出∠COD的度数，再结合已知∠DOE的度数，通过角的差运算即可得出∠COE的结果；（2）判断OE是否为∠AOC的平分线，只需验证∠AOE和∠COE是否相等，利用平角为180°计算出∠AOE的度数，和∠COE比较后即可得出结论。
【解析】
(1) 已知OD是∠BOC的靠近OC边的三等分线，且∠BOC=78°，因此：
$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{1}{3}×78°=26°$
又因为$∠ DOE=77°$，根据角的差的关系可得：
$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=77°-26°=51°$
(2) OE是∠AOC的平分线，理由如下：
因为点A，O，B在同一直线上，所以$∠ AOB=180°$，根据平角的组成可得：
$∠ AOE=180°-∠ COE-∠ BOC=180°-51°-78°=51°$
由此可得$∠ AOE=∠ COE$，根据角平分线的定义，可知OE是∠AOC的平分线。
【答案】
(1) $\boxed{51°}$
(2) OE是$∠ AOC$的平分线，理由：$∠ AOE=51°=∠ COE$，因此OE平分$∠ AOC$。
【知识点】
角的和差运算、角平分线的判定、平角的定义
【点评】
本题属于角的运算基础题型，解题核心是结合图形理清各角的数量关系，熟练掌握角的等分线、平角、角平分线的相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查角的运算与角平分线的判定。（1）求∠COE的度数时，先根据OD是∠BOC靠近OC的三等分线求出∠COD的度数，再结合已知∠DOE的度数，通过角的差运算即可得出∠COE的结果；（2）判断OE是否为∠AOC的平分线，只需验证∠AOE和∠COE是否相等，利用平角为180°计算出∠AOE的度数，和∠COE比较后即可得出结论。
【解析】
(1) 已知OD是∠BOC的靠近OC边的三等分线，且∠BOC=78°，因此：
$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{1}{3}×78°=26°$
又因为$∠ DOE=77°$，根据角的差的关系可得：
$∠ COE=∠ DOE-∠ COD=77°-26°=51°$
(2) OE是∠AOC的平分线，理由如下：
因为点A，O，B在同一直线上，所以$∠ AOB=180°$，根据平角的组成可得：
$∠ AOE=180°-∠ COE-∠ BOC=180°-51°-78°=51°$
由此可得$∠ AOE=∠ COE$，根据角平分线的定义，可知OE是∠AOC的平分线。
【答案】
(1) $\boxed{51°}$
(2) OE是$∠ AOC$的平分线，理由：$∠ AOE=51°=∠ COE$，因此OE平分$∠ AOC$。
【知识点】
角的和差运算、角平分线的判定、平角的定义
【点评】
本题属于角的运算基础题型，解题核心是结合图形理清各角的数量关系，熟练掌握角的等分线、平角、角平分线的相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9.把一副三角板的直角顶点O重叠在一起。
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD + ∠BOC的和是
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD + ∠BOC的和是多少？
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD + ∠BOC的和是
180°
；（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD + ∠BOC的和是多少？
答案
9.(1)$180°$ (2)$180°$
解析
【分析】
已知三角板的两个直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。第(1)问先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，再推导∠AOD的度数，最后计算二者的和；第(2)问利用角的和差关系，将∠AOD拆分为∠AOB+∠BOD，再把∠BOD+∠BOC替换为∠COD，即可求出两角之和，可发现该和为定值，与OB是否平分∠COD无关。
【解析】
（1）由三角板的性质可知：∠AOB=∠COD=90°。
∵OB平分∠COD，
∴$∠ BOC=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=90°-45°=45°$，
∴$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=45°+90°=135°$，
∴$∠ AOD+∠ BOC=135°+45°=180°$。
（2）
∵$∠ AOB=∠ COD=90°$，
∴$∠ AOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ BOD+∠ BOC$
$=∠ AOB+(∠ BOD+∠ BOC)$
$=∠ AOB+∠ COD$
$=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)$180°$；(2)$180°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；直角的性质
【点评】
本题是角的运算的典型题，核心是利用角的和差关系进行等量代换，解题时要注意挖掘图中隐含的角的和差关系，且该题的结论可作为固定规律记忆：两个直角顶点重合叠放时，不重合的两边组成的大角与两个直角重叠部分的角之和为180°。
【难度系数】
0.8
已知三角板的两个直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。第(1)问先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，再推导∠AOD的度数，最后计算二者的和；第(2)问利用角的和差关系，将∠AOD拆分为∠AOB+∠BOD，再把∠BOD+∠BOC替换为∠COD，即可求出两角之和，可发现该和为定值，与OB是否平分∠COD无关。
【解析】
（1）由三角板的性质可知：∠AOB=∠COD=90°。
∵OB平分∠COD，
∴$∠ BOC=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=90°-45°=45°$，
∴$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=45°+90°=135°$，
∴$∠ AOD+∠ BOC=135°+45°=180°$。
（2）
∵$∠ AOB=∠ COD=90°$，
∴$∠ AOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ BOD+∠ BOC$
$=∠ AOB+(∠ BOD+∠ BOC)$
$=∠ AOB+∠ COD$
$=90°+90°=180°$。
【答案】
(1)$180°$；(2)$180°$
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；直角的性质
【点评】
本题是角的运算的典型题，核心是利用角的和差关系进行等量代换，解题时要注意挖掘图中隐含的角的和差关系，且该题的结论可作为固定规律记忆：两个直角顶点重合叠放时，不重合的两边组成的大角与两个直角重叠部分的角之和为180°。
【难度系数】
0.8
