思考 2.怎样理解角的和、差、倍、分？

解：
① 角的和：两个角拼合得到的新角，叫做这两个角的和，新角的度数等于两个角的度数之和。
② 角的差：较大的角去掉它内部包含的一个较小的角后，剩余部分的角叫做这两个角的差，所得角的度数等于大角的度数减去小角的度数。
③ 角的倍：n个完全相等的角拼合得到的新角，叫做原角的n倍，新角的度数等于原角度数的n倍。
④ 角的分：将一个角平均分成n个相等的角，其中每一个角叫做原角的n分之一，所得小角的度数等于原角度数的$\frac{1}{n}$，常见的角平分线可以将一个角平分为两个相等的角，每个小角是原角的二分之一。

【分析】
理解角的和差倍分可以分两步思考：第一步先类比已经学过的数的和差倍分运算，明确角的运算本质上对应度数的运算；第二步结合角的几何图形特征，从拼接、分割的角度理解每个概念的几何意义，再逐一对应梳理和、差、倍、分的具体定义即可。
【解析】
① 角的和：两个角拼合得到的新角，叫做这两个角的和，新角的度数等于两个角的度数之和。
② 角的差：较大的角去掉它内部包含的一个较小的角后，剩余部分的角叫做这两个角的差，所得角的度数等于大角的度数减去小角的度数。
③ 角的倍：n个完全相等的角拼合得到的新角，叫做原角的n倍，新角的度数等于原角度数的n倍。
④ 角的分：将一个角平均分成n个相等的角，其中每一个角叫做原角的n分之一，所得小角的度数等于原角度数的$\frac{1}{n}$，常见的角平分线可以将一个角平分为两个相等的角，每个小角是原角的二分之一。
【答案】
① 角的和：两个角拼合得到的新角，叫做这两个角的和，新角的度数等于两个角的度数之和。
② 角的差：较大的角去掉它内部包含的一个较小的角后，剩余部分的角叫做这两个角的差，所得角的度数等于大角的度数减去小角的度数。
③ 角的倍：n个完全相等的角拼合得到的新角，叫做原角的n倍，新角的度数等于原角度数的n倍。
④ 角的分：将一个角平均分成n个相等的角，其中每一个角叫做原角的n分之一，所得小角的度数等于原角度数的$\frac{1}{n}$，常见的角平分线可以将一个角平分为两个相等的角，每个小角是原角的二分之一。
【知识点】
角的和差、角的倍分、角平分线
【点评】
本题考查角的和差倍分基础概念，学习时可结合数形结合思想，同时理解概念的几何意义和数量运算规则，是后续开展角的相关运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

2. 按图填空：

(1)$∠ AOB+∠ BOC=$；
(2)$∠ BOD-∠ COD=$；
(3)$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOC+$
$=∠ AOB+$
$=∠ AOC+$；
(4)$∠ BOC=∠ AOD-∠ AOB-$
$=∠ AOC-$
$=∠ BOD-$。
思考 3. 如何说明一条射线是角的平分线？

2.(1)$∠ AOC$ (2)$∠ BOC$ (3)$∠ COD$ $∠ BOD$ $∠ COD$
(4)$∠ COD$ $∠ AOB$ $∠ COD$
3.如果一条射线把一个角分成相等的两个角,这条射线就是角的平分线。

【分析】
解决本题首先要明确图中四条射线的位置顺序：从最外侧下方开始往上依次是OA、OB、OC、OD，相邻射线构成的小角分别为∠AOB、∠BOC、∠COD。角的和差运算规则为：两个有公共边的相邻小角相加，得到的是两个角非公共边组成的大角；一个大角减去它包含的其中一个小角，得到剩余的小角。角平分线的问题直接回忆对应定义作答即可。
【解析】
(1) ∠AOB和∠BOC有公共边OB，两条非公共边是OA和OC，因此两角相加的结果为∠AOC；
(2) ∠BOD由∠BOC和∠COD两个小角组成，因此∠BOD减去∠COD后剩余的部分为∠BOC；
(3) 最大的角∠AOD由三个相邻小角共同组成，因此∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD；其中∠BOC+∠COD=∠BOD，因此∠AOD也可表示为∠AOB+∠BOD；又因为∠AOB+∠BOC=∠AOC，因此∠AOD还可表示为∠AOC+∠COD；
(4) 根据∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，移项可得∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD；根据∠AOC=∠AOB+∠BOC，移项可得∠BOC=∠AOC-∠AOB；根据∠BOD=∠BOC+∠COD，移项可得∠BOC=∠BOD-∠COD；
3. 根据角平分线的定义：如果一条射线把一个角分成相等的两个角，这条射线就是角的平分线。
【答案】
2.(1)$∠AOC$ (2)$∠BOC$ (3)$∠COD$；$∠BOD$；$∠COD$
(4)$∠COD$；$∠AOB$；$∠COD$
3.如果一条射线把一个角分成相等的两个角,这条射线就是角的平分线。
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义
【点评】
本题属于角相关的基础应用题，重点考查对图形中角的组成关系的识别能力，以及基础定义的记忆情况，理清各角的位置关系、牢记相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.如图，$∠ BOD=\frac{1}{3}∠ COD=15°$，OC平分$∠ AOB$，求$∠ AOB$的度数。

3.$60°$

【分析】
解题时先从已知的角的倍数关系入手，首先根据∠BOD和∠COD的数量关系求出∠COD的度数，再结合图形通过角的和差关系求出∠BOC的度数，最后利用角平分线的性质：角平分线将角分为两个相等的小角，大角为小角的2倍，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：已知$∠ BOD=\frac{1}{3}∠ COD=15°$，
$\therefore ∠ COD=3×∠ BOD=3×15°=45°$，
由图中角的位置关系可得：$∠ BOC=∠ COD-∠ BOD$，
代入数值计算得：$∠ BOC=45°-15°=30°$，
$\because OC$平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC=2×30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角的和差运算，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的运算基础题，解题核心是先根据已知的角的倍数关系求出中间角∠BOC的度数，再利用角平分线的性质推导得到所求角，解题时结合图形理清各个角的位置关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1.如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，正确的结果是（）。


A.∠A＞∠B
B.∠A＜∠B
C.∠A=∠B
D.不能确定

1.B

【分析】
要比较∠A和∠B的大小，我们可以借助已知角度的三角板作为参照，使用叠合法分别将两个角和三角板的45°锐角作比较：首先将待比较角的顶点与三角板锐角顶点重合，一条边和三角板的对应边重合，观察另一条边的位置：如果另一边落在三角板角的内部，说明这个角小于45°；如果落在外部，说明大于45°，最后通过45°作为中间量就能得出∠A和∠B的大小关系。
【解析】
图中所用是等腰直角三角板，它的锐角为固定的45°。
1. 比较∠A与45°：将∠A的顶点与三角板锐角顶点重合，底边与三角板的直角边重合，可看到∠A的另一条边在45°角的内部，因此$∠ A ＜ 45°$；
2. 比较∠B与45°：同样将∠B的顶点与三角板锐角顶点重合，底边与三角板的直角边重合，可看到∠B的另一条边在45°角的外部，因此$∠ B ＞ 45°$；
3. 结合上述结论可得：$∠ A ＜ 45° ＜ ∠ B$，即$∠ A ＜ ∠ B$。
【答案】
B
【知识点】
角的大小比较；叠合法；三角板角度特征
【点评】
本题考查角的大小比较方法，结合三角板的固定角度作为参照即可快速判断，解题关键是掌握叠合法比较角大小的规则，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

2.如图，∠AOB=∠COD，则∠1与∠2之间的关系是()。

A.∠1＞∠2
B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2
D.∠1与∠2的大小无法比较

2.B

【分析】
解题思路如下：首先明确题目给出的已知条件是∠AOB=∠COD，再观察图形，发现∠AOB是由∠1和中间的公共角∠DOB组成，∠COD是由∠2和同一个公共角∠DOB组成。根据等式的基本性质，等式两边同时减去同一个量，等式仍然成立，因此将两个相等的角同时减去公共角∠DOB，就可以得到∠1和∠2的大小关系。
【解析】
由图可知：
$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ DOB$，
$∠ COD = ∠ 2 + ∠ DOB$，
已知$∠ AOB = ∠ COD$，代入可得：
$∠ 1 + ∠ DOB = ∠ 2 + ∠ DOB$，
根据等式的基本性质，等式两边同时减去$∠ DOB$，得：
$∠ 1 = ∠ 2$。
所以本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；等式的基本性质
【点评】
本题是角的运算基础题，解题的核心是观察出两个已知角的公共部分，利用等式性质消去公共角即可快速得到结论，主要考查对图形中角的组成关系的识别能力。
【难度系数】
0.9