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(1)仿照方法2,配方解$x^2+5x-14=0$,先变形为,如图3,每个小长方形的长为,宽为,利用图形的面积关系,得配方后的方程为,解为.
答案
解：
先变形为$\boldsymbol{x^2 + 5x = 14}$，
每个小长方形的长为$\boldsymbol{x}$，宽为$\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$，
利用图形的面积关系，得配方后的方程为$\boldsymbol{(x+\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{81}{4}}$，
解为$\boldsymbol{x_1=2,\ x_2=-7}$。
先变形为$\boldsymbol{x^2 + 5x = 14}$，
每个小长方形的长为$\boldsymbol{x}$，宽为$\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$，
利用图形的面积关系，得配方后的方程为$\boldsymbol{(x+\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{81}{4}}$，
解为$\boldsymbol{x_1=2,\ x_2=-7}$。
解析
【分析】
解题时先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤，结合几何面积模型理解配方原理：1. 首先移项，把方程中的常数项移到等号右侧，将方程整理为二次项和一次项在左、常数项在右的形式；2. 一次项5x可以拆分为2个长为x、宽相等的长方形面积之和，因此长方形的宽为一次项系数的一半，即$\frac{5}{2}$；3. 要将$x^2$和两个长方形拼接为完整的大正方形，需要补充边长为$\frac{5}{2}$的小正方形，对应方程两边同时加$(\frac{5}{2})^2$完成配方；4. 最后用直接开平方法求解方程即可，注意开平方时要保留正负两种情况。
【解析】
第一步：移项，将常数项-14移到等号右侧，得$x^2 + 5x = 14$。
第二步：对应几何面积模型，$x^2$是边长为$x$的正方形面积，一次项$5x$拆分为2个完全相同的长方形，每个长方形面积为$\frac{5}{2}x$，因此每个小长方形的长为$x$，宽为$\frac{5}{2}$。
第三步：配方，将图形拼接为边长为$(x+\frac{5}{2})$的大正方形，需要补充面积为$(\frac{5}{2})^2$的小正方形，因此方程两边同时加$\frac{25}{4}$：
左边：$x^2 +5x +\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$
右边：$14+\frac{25}{4}=\frac{56}{4}+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$
即配方后的方程为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{81}{4}$。
第四步：开平方求解，得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{2}$：
当$x+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$时，$x=\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=2$；
当$x+\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$时，$x=-\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=-7$。
因此方程的解为$x_1=2,\ x_2=-7$。
【答案】
$x^2 + 5x = 14$；$x$；$\dfrac{5}{2}$；$(x+\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{81}{4}$；$x_1=2,\ x_2=-7$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题结合几何面积模型考查配方法的应用，既需要掌握配方法的常规操作步骤，也能通过图形直观理解配方的本质，解题时要注意开平方运算不要漏掉负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤，结合几何面积模型理解配方原理：1. 首先移项，把方程中的常数项移到等号右侧，将方程整理为二次项和一次项在左、常数项在右的形式；2. 一次项5x可以拆分为2个长为x、宽相等的长方形面积之和，因此长方形的宽为一次项系数的一半，即$\frac{5}{2}$；3. 要将$x^2$和两个长方形拼接为完整的大正方形，需要补充边长为$\frac{5}{2}$的小正方形，对应方程两边同时加$(\frac{5}{2})^2$完成配方；4. 最后用直接开平方法求解方程即可，注意开平方时要保留正负两种情况。
【解析】
第一步：移项，将常数项-14移到等号右侧，得$x^2 + 5x = 14$。
第二步：对应几何面积模型，$x^2$是边长为$x$的正方形面积，一次项$5x$拆分为2个完全相同的长方形，每个长方形面积为$\frac{5}{2}x$，因此每个小长方形的长为$x$，宽为$\frac{5}{2}$。
第三步：配方，将图形拼接为边长为$(x+\frac{5}{2})$的大正方形，需要补充面积为$(\frac{5}{2})^2$的小正方形，因此方程两边同时加$\frac{25}{4}$：
左边：$x^2 +5x +\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$
右边：$14+\frac{25}{4}=\frac{56}{4}+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$
即配方后的方程为$(x+\frac{5}{2})^2=\frac{81}{4}$。
第四步：开平方求解，得$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{9}{2}$：
当$x+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$时，$x=\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=2$；
当$x+\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$时，$x=-\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=-7$。
因此方程的解为$x_1=2,\ x_2=-7$。
【答案】
$x^2 + 5x = 14$；$x$；$\dfrac{5}{2}$；$(x+\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{81}{4}$；$x_1=2,\ x_2=-7$
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题结合几何面积模型考查配方法的应用，既需要掌握配方法的常规操作步骤，也能通过图形直观理解配方的本质，解题时要注意开平方运算不要漏掉负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
