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8. 某广场的轮廓是一个宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形，我们将这种宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作黄金矩形。如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1。
(1)黄金矩形ABCD的长BC＝
(2)如图②，在矩形ABCD中，以AB为边作正方形ABEF，连接AE，求点D到线段AE的距离。
(1)黄金矩形ABCD的长BC＝
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
；(2)如图②，在矩形ABCD中，以AB为边作正方形ABEF，连接AE，求点D到线段AE的距离。
答案
8. (1)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)解:如图,连接 DE,过点 D 作 $DG ⊥ AE$ 于点 G。
$\because$ 四边形 ABEF 为正方形,
四边形 ABCD 为矩形,$AB=1,BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
$\therefore AB=BE=EF=1,∠ B=90°,AD=BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
在 $△ ADE$ 中,$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· DG=\frac{1}{2}AD· EF$,
$\therefore \sqrt{2}DG=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,
$\therefore DG=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$,
$\therefore$ 点 $D$ 到线段 $AE$ 的距离是 $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$。
解析
【分析】
(1) 根据黄金矩形宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知宽$AB=1$，设长$BC=x$，代入比例关系求解后对结果分母有理化，即可得到$BC$的长度；
(2) 求点D到线段AE的距离可采用等面积法：先连接DE，过D作$DG⊥ AE$于G，$DG$就是所求的距离。先利用勾股定理算出$AE$的长度，再将$△ ADE$的面积用两种形式表示：一是以$AE$为底、$DG$为高计算，二是以$AD$为底、正方形边长$EF$为高计算，根据面积相等列等式就能求出$DG$的长度。
【解析】
(1) 已知黄金矩形宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽$AB=1$，设长$BC=x$，则：
$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解得$x=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即$BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
(2) 如图，连接$DE$，过点$D$作$DG⊥ AE$于点$G$。
$\because$ 四边形$ABEF$为正方形，四边形$ABCD$为矩形，$AB=1$，$BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
$\therefore AB=BE=EF=1$，$∠ B=90°$，$AD=BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
在$△ ADE$中，$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· DG=\frac{1}{2}AD· EF$，
代入数据得：$\sqrt{2}DG=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
解得$DG=\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}+1)×\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)点$D$到线段$AE$的距离是$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$，辅助线作图如下：
【知识点】
1. 黄金矩形的定义
2. 勾股定理
3. 等面积法求高
【点评】
本题结合黄金矩形的新概念，同时考查了分母有理化、勾股定理以及等面积法的应用，注重对基础知识迁移运用能力的考查，解题思路灵活度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 根据黄金矩形宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知宽$AB=1$，设长$BC=x$，代入比例关系求解后对结果分母有理化，即可得到$BC$的长度；
(2) 求点D到线段AE的距离可采用等面积法：先连接DE，过D作$DG⊥ AE$于G，$DG$就是所求的距离。先利用勾股定理算出$AE$的长度，再将$△ ADE$的面积用两种形式表示：一是以$AE$为底、$DG$为高计算，二是以$AD$为底、正方形边长$EF$为高计算，根据面积相等列等式就能求出$DG$的长度。
【解析】
(1) 已知黄金矩形宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽$AB=1$，设长$BC=x$，则：
$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解得$x=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即$BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
(2) 如图，连接$DE$，过点$D$作$DG⊥ AE$于点$G$。
$\because$ 四边形$ABEF$为正方形，四边形$ABCD$为矩形，$AB=1$，$BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
$\therefore AB=BE=EF=1$，$∠ B=90°$，$AD=BC=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
在$△ ADE$中，$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· DG=\frac{1}{2}AD· EF$，
代入数据得：$\sqrt{2}DG=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
解得$DG=\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}+1)×\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
(2)点$D$到线段$AE$的距离是$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$，辅助线作图如下：
【知识点】
1. 黄金矩形的定义
2. 勾股定理
3. 等面积法求高
【点评】
本题结合黄金矩形的新概念，同时考查了分母有理化、勾股定理以及等面积法的应用，注重对基础知识迁移运用能力的考查，解题思路灵活度适中。
【难度系数】
0.7
9. 小明所在的学习小组共同探究黄金三角形(顶角为$36°$的等腰三角形,它的底边与腰长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)。
如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$。求证:$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
小明所在的学习小组经过讨论分析得到了解决方案,并作出了辅助线,请你完成后面的证明。
证明:如图②,作$∠ ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D$。
如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$。求证:$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
小明所在的学习小组经过讨论分析得到了解决方案,并作出了辅助线,请你完成后面的证明。
证明:如图②,作$∠ ABC$的平分线$BD$交边$AC$于点$D$。
答案
9. 证明:$\because AB=AC,∠ A=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=72°$。
$\because ∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交边 $AC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$,
$\therefore ∠ A=∠ DBC,∠ ABD=∠ A$,
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$,
$\therefore AD=BD,∠ BDC=∠ C$,
$\therefore BD=BC$,
$\therefore AD=BD=BC$。
$\because ∠ C=∠ C,∠ DBC=∠ A$,
$\therefore △ BDC ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$。
$\because AD=BC$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DC}{AD}$,
$\therefore$ 点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because AB=AC$,
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=72°$。
$\because ∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交边 $AC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$,
$\therefore ∠ A=∠ DBC,∠ ABD=∠ A$,
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$,
$\therefore AD=BD,∠ BDC=∠ C$,
$\therefore BD=BC$,
$\therefore AD=BD=BC$。
$\because ∠ C=∠ C,∠ DBC=∠ A$,
$\therefore △ BDC ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$。
$\because AD=BC$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DC}{AD}$,
$\therefore$ 点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because AB=AC$,
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
解析
【分析】
要证明底边BC与腰AB的比值为黄金比，可按以下思路推导：第一步，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和，先算出△ABC两个底角的度数；第二步，结合角平分线的定义求出各小角的度数，通过“等角对等边”得到AD=BD=BC，实现线段的等量转换；第三步，找相似三角形：观察△BDC和△ABC有公共角∠C，且∠DBC=∠A=36°，可判定两三角形相似，得到对应边成比例的关系；第四步，将比例式中的线段用已证的等线段替换，得到黄金分割的比例式，再结合AB=AC，即可推出待证结论。
【解析】
证明：$\because AB=AC,∠ A=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=72°$。
$\because ∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交边 $AC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$,
$\therefore ∠ A=∠ DBC,∠ ABD=∠ A$,
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$,
$\therefore AD=BD,∠ BDC=∠ C$,
$\therefore BD=BC$,
$\therefore AD=BD=BC$。
$\because ∠ C=∠ C,∠ DBC=∠ A$,
$\therefore △ BDC ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$。
$\because AD=BC$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DC}{AD}$,
$\therefore$ 点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because AB=AC$,
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；黄金分割
【点评】
本题是黄金三角形的经典证明题，综合考查了三角形和黄金分割的相关知识，解题的关键是通过角的关系推导线段相等，再借助相似三角形得到比例关系，搭建已知条件和待证结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.6
要证明底边BC与腰AB的比值为黄金比，可按以下思路推导：第一步，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和，先算出△ABC两个底角的度数；第二步，结合角平分线的定义求出各小角的度数，通过“等角对等边”得到AD=BD=BC，实现线段的等量转换；第三步，找相似三角形：观察△BDC和△ABC有公共角∠C，且∠DBC=∠A=36°，可判定两三角形相似，得到对应边成比例的关系；第四步，将比例式中的线段用已证的等线段替换，得到黄金分割的比例式，再结合AB=AC，即可推出待证结论。
【解析】
证明：$\because AB=AC,∠ A=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=72°$。
$\because ∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交边 $AC$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$,
$\therefore ∠ A=∠ DBC,∠ ABD=∠ A$,
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$,
$\therefore AD=BD,∠ BDC=∠ C$,
$\therefore BD=BC$,
$\therefore AD=BD=BC$。
$\because ∠ C=∠ C,∠ DBC=∠ A$,
$\therefore △ BDC ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}$。
$\because AD=BC$,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{DC}{AD}$,
$\therefore$ 点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点,
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\because AB=AC$,
$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；黄金分割
【点评】
本题是黄金三角形的经典证明题，综合考查了三角形和黄金分割的相关知识，解题的关键是通过角的关系推导线段相等，再借助相似三角形得到比例关系，搭建已知条件和待证结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.6
