登录
1.【数学文化】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上。若AB=3，则BC的长为（
A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
C
）。A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2
答案
1.C
解析
【分析】
题目结合五线谱的背景给出等距平行线的条件，可利用平行线分线段成比例定理求解。首先明确：一组等距平行线截两条直线，所得的对应线段的比等于线段所跨的平行线间隔数的比。接下来先观察图形确定AB、BC分别跨越的相邻平行线间隔数，再结合已知AB的长度列比例式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱由等距离的平行横线组成，
∴根据平行线分线段成比例定理，同一直线被这组平行线截得的线段长度与线段所跨的相邻横线间隔数成正比。
观察图形可得：AB跨越2个相邻横线的间隔，BC跨越1个相邻横线的间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$。
已知AB=3，代入得$\frac{3}{BC}=2$，
解得$BC=\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、比例的计算
【点评】
本题以音乐中的五线谱为载体，考查平行线分线段成比例定理的实际应用，将生活中的场景和数学知识结合，解题的关键是准确判断线段对应的平行线间隔数，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
题目结合五线谱的背景给出等距平行线的条件，可利用平行线分线段成比例定理求解。首先明确：一组等距平行线截两条直线，所得的对应线段的比等于线段所跨的平行线间隔数的比。接下来先观察图形确定AB、BC分别跨越的相邻平行线间隔数，再结合已知AB的长度列比例式即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱由等距离的平行横线组成，
∴根据平行线分线段成比例定理，同一直线被这组平行线截得的线段长度与线段所跨的相邻横线间隔数成正比。
观察图形可得：AB跨越2个相邻横线的间隔，BC跨越1个相邻横线的间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$。
已知AB=3，代入得$\frac{3}{BC}=2$，
解得$BC=\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、比例的计算
【点评】
本题以音乐中的五线谱为载体，考查平行线分线段成比例定理的实际应用，将生活中的场景和数学知识结合，解题的关键是准确判断线段对应的平行线间隔数，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知$ l_1 // l_2 // l_3 $，$ l_4 $与$ l_1,l_2,l_3 $分别交于A,B,C三点，$ l_5 $与$ l_1,l_2,l_3 $分别交于D,E,F三点。若$ AB=1 $，$ BC=2 $，$ DF=4.8 $，则EF的长为(
A.1.6
B.2.4
C.2.8
D.3.2
D
)。A.1.6
B.2.4
C.2.8
D.3.2
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用。首先观察题干条件，三条互相平行的直线截两条直线，满足平行线分线段成比例定理的使用前提。我们先找到两条被截直线上的对应线段，得出对应线段的比例关系，再结合已知的线段长度，代入比例式即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知$AB=1$，$BC=2$，代入得$\frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}$，即$DE=\frac{1}{2}EF$。
又
∵ $DF=DE+EF=4.8$，将$DE=\frac{1}{2}EF$代入得：
$\frac{1}{2}EF + EF = 4.8$
$\frac{3}{2}EF = 4.8$
解得$EF=3.2$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题的核心是准确识别对应线段，列出正确的比例关系，再代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用。首先观察题干条件，三条互相平行的直线截两条直线，满足平行线分线段成比例定理的使用前提。我们先找到两条被截直线上的对应线段，得出对应线段的比例关系，再结合已知的线段长度，代入比例式即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵ $l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知$AB=1$，$BC=2$，代入得$\frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}$，即$DE=\frac{1}{2}EF$。
又
∵ $DF=DE+EF=4.8$，将$DE=\frac{1}{2}EF$代入得：
$\frac{1}{2}EF + EF = 4.8$
$\frac{3}{2}EF = 4.8$
解得$EF=3.2$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题的核心是准确识别对应线段，列出正确的比例关系，再代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$a// b// c$，$AB=6$，$BC=2$，$DE=12$，则$EF$的长为（
A.4
B.3
C.2.5
D.2
A
）。A.4
B.3
C.2.5
D.2
答案
3.A
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察到三条平行线a、b、c同时被两条直线AC、DF所截，可直接套用定理得到对应线段的比例关系，再将已知线段长度代入比例式，求解即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵$a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=6$，$BC=2$，$DE=12$代入比例式：
$\frac{6}{2}=\frac{12}{EF}$
交叉相乘计算得：$6EF=12×2$
解得：$EF=4$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到被平行线截得的对应线段，列出正确的比例式，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察到三条平行线a、b、c同时被两条直线AC、DF所截，可直接套用定理得到对应线段的比例关系，再将已知线段长度代入比例式，求解即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵$a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$AB=6$，$BC=2$，$DE=12$代入比例式：
$\frac{6}{2}=\frac{12}{EF}$
交叉相乘计算得：$6EF=12×2$
解得：$EF=4$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到被平行线截得的对应线段，列出正确的比例式，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点O是$□ ABCD$的对角线BD上的一点，连接CO并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F。求证：$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
答案
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC,AB// DC$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD},\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC,AB// DC$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD},\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
解析
【分析】
要证明比例式$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$，可采用中间比代换的思路：首先利用平行四边形对边平行的性质得到两组平行线，再结合平行线推出相似三角形，分别推导出$\frac{OC}{OE}$和$\frac{OF}{OC}$都等于同一个线段比$\frac{OB}{OD}$，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
1. 利用平行四边形性质推导平行关系：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可得$AD// BC$，$AB// DC$。
2. 由$AD// BC$推导第一组比例：
因为$AD// BC$，可得$∠ OBC=∠ ODE$，$∠ OCB=∠ OED$，可证$△ BOC ∽ △ DOE$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD}$。
3. 由$AB// DC$推导第二组比例：
因为$AB// DC$，可得$∠ OBF=∠ ODC$，$∠ OFB=∠ OCD$，可证$△ BOF ∽ △ DOC$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$。
4. 等量代换得结论：
两组比例都等于$\frac{OB}{OD}$，因此$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC,AB// DC$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD},\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；比例代换
【点评】
本题是比例证明的基础题型，核心方法是通过寻找中间比完成等量代换，要求熟练掌握平行四边形性质和相似三角形的基本应用，能快速梳理图形中的平行、相似关系，找到对应成比例的线段。
【难度系数】
0.7
要证明比例式$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$，可采用中间比代换的思路：首先利用平行四边形对边平行的性质得到两组平行线，再结合平行线推出相似三角形，分别推导出$\frac{OC}{OE}$和$\frac{OF}{OC}$都等于同一个线段比$\frac{OB}{OD}$，最后通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
1. 利用平行四边形性质推导平行关系：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对边平行的性质，可得$AD// BC$，$AB// DC$。
2. 由$AD// BC$推导第一组比例：
因为$AD// BC$，可得$∠ OBC=∠ ODE$，$∠ OCB=∠ OED$，可证$△ BOC ∽ △ DOE$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD}$。
3. 由$AB// DC$推导第二组比例：
因为$AB// DC$，可得$∠ OBF=∠ ODC$，$∠ OFB=∠ OCD$，可证$△ BOF ∽ △ DOC$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$。
4. 等量代换得结论：
两组比例都等于$\frac{OB}{OD}$，因此$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC,AB// DC$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OD},\frac{OF}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OF}{OC}$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；比例代换
【点评】
本题是比例证明的基础题型，核心方法是通过寻找中间比完成等量代换，要求熟练掌握平行四边形性质和相似三角形的基本应用，能快速梳理图形中的平行、相似关系，找到对应成比例的线段。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，若$AB=8$，则$BD$的长为（
A.$\frac{8}{7}$
B.$\frac{16}{7}$
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{32}{7}$
D
）。A.$\frac{8}{7}$
B.$\frac{16}{7}$
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{32}{7}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先抓住已知条件$DE// BC$，联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。结合已知$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$和$AB=8$，我们可以通过设参数表示AD和BD的长度，再利用$AD+BD=AB$列方程求解，即可得到BD的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例推论，得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
已知$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，因此$\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$
设$AD=3k$，$BD=4k$（$k≠0$）
$\because AB=AD+BD=8$
$\therefore 3k+4k=8$，解得$k=\frac{8}{7}$
$\therefore BD=4k=4×\frac{8}{7}=\frac{32}{7}$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查平行线分线段成比例推论的使用，解题的关键是准确找到对应线段的比例关系，通过设参数的方法即可快速计算出结果，掌握基础定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住已知条件$DE// BC$，联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。结合已知$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$和$AB=8$，我们可以通过设参数表示AD和BD的长度，再利用$AD+BD=AB$列方程求解，即可得到BD的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例推论，得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
已知$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，因此$\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$
设$AD=3k$，$BD=4k$（$k≠0$）
$\because AB=AD+BD=8$
$\therefore 3k+4k=8$，解得$k=\frac{8}{7}$
$\therefore BD=4k=4×\frac{8}{7}=\frac{32}{7}$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查平行线分线段成比例推论的使用，解题的关键是准确找到对应线段的比例关系，通过设参数的方法即可快速计算出结果，掌握基础定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
2.【数学应用】如图所示的是某景区大门的示意图，已知$AD// BE// CF$，$AC=16\ \mathrm{m}$，$DF:DE=4:3$，则$AB$的长为（
A.10 m
B.11 m
C.12 m
D.13 m
C
）。A.10 m
B.11 m
C.12 m
D.13 m
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察题目条件，存在三条互相平行的线段AD//BE//CF，它们分别截两条直线AC、DF，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。接下来我们需要找准对应成比例的线段，结合已知的DF与DE的比例关系和AC的总长度，通过列比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD// BE// CF$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，
已知$DF:DE=4:3$，即$\frac{DE}{DF}=\frac{3}{4}$，且$AC=16\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{AB}{16}=\frac{3}{4}$，
解得：$AB=16×\frac{3}{4}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确找到对应成比例的线段，代入数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件，存在三条互相平行的线段AD//BE//CF，它们分别截两条直线AC、DF，符合平行线分线段成比例定理的适用条件。接下来我们需要找准对应成比例的线段，结合已知的DF与DE的比例关系和AC的总长度，通过列比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD// BE// CF$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，
已知$DF:DE=4:3$，即$\frac{DE}{DF}=\frac{3}{4}$，且$AC=16\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{AB}{16}=\frac{3}{4}$，
解得：$AB=16×\frac{3}{4}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确找到对应成比例的线段，代入数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
