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3.【跨学科】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”通过调整支点位置和力臂长度，就能用较小的力撬动重物。图①是用杠杆撬石头的示意图，当从杠杆的一端用力下压时，杠杆的另一端就会撬动石头。如图②，动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$，阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为(
A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
B
)。A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察图②的几何图形，∠A和∠OBD均为直角，且∠COA与∠DOB是对顶角，根据两角分别相等可判定△COA和△DOB相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的OA、OB、BD的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得$∠ A=∠ OBD=90°$，
又$\because ∠ COA=∠ DOB$（对顶角相等），
$\therefore △ COA ∽ △ DOB$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得：$AC=20×3=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合杠杆撬重物的生活场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用对应边成比例列式求解，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
首先观察图②的几何图形，∠A和∠OBD均为直角，且∠COA与∠DOB是对顶角，根据两角分别相等可判定△COA和△DOB相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的OA、OB、BD的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得$∠ A=∠ OBD=90°$，
又$\because ∠ COA=∠ DOB$（对顶角相等），
$\therefore △ COA ∽ △ DOB$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得：$AC=20×3=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合杠杆撬重物的生活场景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用对应边成比例列式求解，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$AB// CD// EF$，$AD:AF=3:5$，$BE=12$，那么$BC$的长为
$\frac{36}{5}$
。答案
4.$\frac{36}{5}$
解析
【分析】
看到题目给出三条平行直线被两条截线所截的图形，首先想到运用平行线分线段成比例定理解题。我们需要找到和所求线段BC对应的成比例线段：已知AD:AF=3:5，BE长度为12，根据定理可知BC与BE的比等于AD与AF的比，代入已知数值即可求出BC的长度。
【解析】
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{BC}{BE}=\frac{AD}{AF}$
已知$AD:AF=3:5$，即$\frac{AD}{AF}=\frac{3}{5}$，$BE=12$，代入比例式得：
$\frac{BC}{12}=\frac{3}{5}$
解得 $BC=12×\frac{3}{5}=\frac{36}{5}$
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确找到两条截线上的对应线段，列出比例式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
看到题目给出三条平行直线被两条截线所截的图形，首先想到运用平行线分线段成比例定理解题。我们需要找到和所求线段BC对应的成比例线段：已知AD:AF=3:5，BE长度为12，根据定理可知BC与BE的比等于AD与AF的比，代入已知数值即可求出BC的长度。
【解析】
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，可得
$\frac{BC}{BE}=\frac{AD}{AF}$
已知$AD:AF=3:5$，即$\frac{AD}{AF}=\frac{3}{5}$，$BE=12$，代入比例式得：
$\frac{BC}{12}=\frac{3}{5}$
解得 $BC=12×\frac{3}{5}=\frac{36}{5}$
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是准确找到两条截线上的对应线段，列出比例式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 已知线段$a,b,c$,求作线段$x$,使$x=\frac{ac}{b}$,下列作法正确的是(
C
)。答案
5.C
解析
【分析】
要作线段$x=\frac{ac}{b}$，首先将等式变形为比例式$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，我们可以利用平行线分线段成比例的性质作图：先构造一个角，在角的一条边上从顶点开始依次截取长度为$b$、$a$的两条线段，在角的另一条边上从顶点开始截取长度为$c$的线段，连接长度为$b$的线段外端点和长度为$c$的线段外端点，过长度为$a$的线段外端点作上述连线的平行线，与角的另一条边相交，截得的线段就是所求的$x$，再逐一比对选项即可。
【解析】
先对$x=\frac{ac}{b}$变形，交叉相乘得$bx=ac$，即比例式$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，结合平行线分线段成比例的性质分析各选项：
选项A：对应比例为$\frac{x}{c}=\frac{b}{a}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
选项B：对应比例为$\frac{b}{a}=\frac{x}{c}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
选项C：对应比例为$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，即$x=\frac{ac}{b}$，符合要求，正确；
选项D：对应比例为$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；比例的基本性质；作比例线段
【点评】
本题考查利用平行线分线段成比例作第四比例项的方法，解题核心是先将所求线段的表达式转化为对应比例式，再判断作图中线段的对应位置是否匹配比例关系，是基础的几何作图类题型。
【难度系数】
0.7
要作线段$x=\frac{ac}{b}$，首先将等式变形为比例式$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，我们可以利用平行线分线段成比例的性质作图：先构造一个角，在角的一条边上从顶点开始依次截取长度为$b$、$a$的两条线段，在角的另一条边上从顶点开始截取长度为$c$的线段，连接长度为$b$的线段外端点和长度为$c$的线段外端点，过长度为$a$的线段外端点作上述连线的平行线，与角的另一条边相交，截得的线段就是所求的$x$，再逐一比对选项即可。
【解析】
先对$x=\frac{ac}{b}$变形，交叉相乘得$bx=ac$，即比例式$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，结合平行线分线段成比例的性质分析各选项：
选项A：对应比例为$\frac{x}{c}=\frac{b}{a}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
选项B：对应比例为$\frac{b}{a}=\frac{x}{c}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误；
选项C：对应比例为$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$，即$x=\frac{ac}{b}$，符合要求，正确；
选项D：对应比例为$\frac{a}{b}=\frac{c}{x}$，即$x=\frac{bc}{a}$，不符合要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；比例的基本性质；作比例线段
【点评】
本题考查利用平行线分线段成比例作第四比例项的方法，解题核心是先将所求线段的表达式转化为对应比例式，再判断作图中线段的对应位置是否匹配比例关系，是基础的几何作图类题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$MN// BC$,$DM// BN$,给出下列结论:①$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{AB}$;②$\frac{AD}{DN}=\frac{AM}{MB}$;③$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$;④$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}$。其中正确的结论有
②③④
。(填序号)答案
6.②③④
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质来逐一验证各结论：首先根据MN//BC得到△AMN和△ABC相似，且对应线段成比例；再根据DM//BN得到△ADM和△ANB相似，对应线段成比例，最后结合比例的等量代换判断各个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 对于结论①：
∵MN//BC，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{MB}$，而非$\frac{AM}{AB}$，故①错误；
2. 对于结论②：
∵DM//BN，在△ABN中，DM平行于BN，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AD}{DN}=\frac{AM}{MB}$，故②正确；
3. 对于结论③：
∵MN//BC，在△ABC中，MN平行于BC，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$，故③正确；
4. 对于结论④：
由DM//BN可得$\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AB}$，
由MN//BC可证△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
等量代换得$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}$，故④正确。
综上，正确的结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是找准平行线对应的截线与被截线，明确比例的对应边，必要时通过等量代换推导比例关系，做题时注意不要混淆比例的前后项。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质来逐一验证各结论：首先根据MN//BC得到△AMN和△ABC相似，且对应线段成比例；再根据DM//BN得到△ADM和△ANB相似，对应线段成比例，最后结合比例的等量代换判断各个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 对于结论①：
∵MN//BC，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{MB}$，而非$\frac{AM}{AB}$，故①错误；
2. 对于结论②：
∵DM//BN，在△ABN中，DM平行于BN，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AD}{DN}=\frac{AM}{MB}$，故②正确；
3. 对于结论③：
∵MN//BC，在△ABC中，MN平行于BC，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$，故③正确；
4. 对于结论④：
由DM//BN可得$\frac{AD}{AN}=\frac{AM}{AB}$，
由MN//BC可证△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
等量代换得$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}$，故④正确。
综上，正确的结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是找准平行线对应的截线与被截线，明确比例的对应边，必要时通过等量代换推导比例关系，做题时注意不要混淆比例的前后项。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,延长$CB$至点$D$,使$DB=BC$,在$AC$上取一点$F$,连接$DF$交$AB$于点$E$,过点$F$作$FH // AB$交$CD$于点$H$。已知$AC=\frac{12}{5}, DE=3, EF=2$。
(1)求$DB:BH$的值;
(2)求$AF$的长。
(1)求$DB:BH$的值;
(2)求$AF$的长。
答案
7.解:(1)$\because DE=3,EF=2$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\because FH// AB$，
$\therefore \frac{DB}{BH}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
(2)$\because FH// AB,\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2},DB=BC$，
$\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BH}=\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$。
$\because AC=\frac{12}{5}$，
$\therefore \frac{\frac{12}{5}}{AF}=\frac{3}{2}$，
$\therefore AF=\frac{8}{5}$。
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\because FH// AB$，
$\therefore \frac{DB}{BH}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
(2)$\because FH// AB,\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2},DB=BC$，
$\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{BC}{BH}=\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$。
$\because AC=\frac{12}{5}$，
$\therefore \frac{\frac{12}{5}}{AF}=\frac{3}{2}$，
$\therefore AF=\frac{8}{5}$。
解析
【分析】
（1）要求$DB:BH$的值，观察到$FH// AB$，可利用平行线分线段成比例定理分析：在$△ DFH$中，$BE// FH$，因此$DB$与$BH$的比等于$DE$与$EF$的比，代入已知的$DE$、$EF$长度即可求出比值；
（2）要求$AF$的长，仍利用$FH// AB$的条件，在$△ ABC$中根据平行线分线段成比例可得$BC:BH=AC:AF$，结合已知$DB=BC$，可借助第一问的$DB:BH$的比值得到$AC$与$AF$的比例关系，代入$AC$的长度计算即可求出$AF$。
【解析】
(1) $\because DE=3,EF=2$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\because FH// AB$，在$△ DFH$中，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{DB}{BH}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$，即$DB:BH=3:2$。
(2) $\because FH// AB$，在$△ ABC$中，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BC}{BH}=\frac{AC}{AF}$。
$\because DB=BC$，结合(1)的结论$\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{BC}{BH}=\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$，即$\frac{AC}{AF}=\frac{3}{2}$。
将$AC=\frac{12}{5}$代入得：
$\frac{\frac{12}{5}}{AF}=\frac{3}{2}$，
解得$AF=\frac{8}{5}$。
【答案】
(1) $3:2$；(2) $\frac{8}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例式计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是根据平行线找准对应成比例的线段，结合已知条件建立比例关系求解，难度较低，熟练掌握定理的对应线段关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
（1）要求$DB:BH$的值，观察到$FH// AB$，可利用平行线分线段成比例定理分析：在$△ DFH$中，$BE// FH$，因此$DB$与$BH$的比等于$DE$与$EF$的比，代入已知的$DE$、$EF$长度即可求出比值；
（2）要求$AF$的长，仍利用$FH// AB$的条件，在$△ ABC$中根据平行线分线段成比例可得$BC:BH=AC:AF$，结合已知$DB=BC$，可借助第一问的$DB:BH$的比值得到$AC$与$AF$的比例关系，代入$AC$的长度计算即可求出$AF$。
【解析】
(1) $\because DE=3,EF=2$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$。
$\because FH// AB$，在$△ DFH$中，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{DB}{BH}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{2}$，即$DB:BH=3:2$。
(2) $\because FH// AB$，在$△ ABC$中，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BC}{BH}=\frac{AC}{AF}$。
$\because DB=BC$，结合(1)的结论$\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{BC}{BH}=\frac{DB}{BH}=\frac{3}{2}$，即$\frac{AC}{AF}=\frac{3}{2}$。
将$AC=\frac{12}{5}$代入得：
$\frac{\frac{12}{5}}{AF}=\frac{3}{2}$，
解得$AF=\frac{8}{5}$。
【答案】
(1) $3:2$；(2) $\frac{8}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理
2. 比例式计算
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的基础应用，解题的核心是根据平行线找准对应成比例的线段，结合已知条件建立比例关系求解，难度较低，熟练掌握定理的对应线段关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
