2.【数学文化】小提琴的设计中蕴含着数学知识。如图，AC，BC，AB各部分长度的比满足$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，小提琴AB的长为56 cm，则下列结论不正确的是（）。

A.点C是AB的黄金分割点
B.$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.BC的长为$(28\sqrt{5}-28)\mathrm{cm}$
D.$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$

2.B

【分析】
本题考查黄金分割的相关知识，解题时先结合黄金分割的定义，再根据题目给出的线段比例关系，逐个分析选项：首先根据比例特征判断点C是否为黄金分割点，再推导各线段的比值、长度，和选项内容对比，即可选出错误的结论。
【解析】
已知$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$AB=56\mathrm{cm}$，逐一分析选项：
1. 分析选项A：黄金分割点的定义为：将一条线段分为两部分，若较长部分与总长度的比值等于较短部分与较长部分的比值（比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则该分点为线段的黄金分割点。本题中BC为较长段，AC为较短段，满足$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此点C是AB的黄金分割点，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：由$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，分母有理化得$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此B结论错误，符合题意。
3. 分析选项C：由$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$AB=56\mathrm{cm}$，得$BC=56×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(28\sqrt{5}-28)\mathrm{cm}$，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：$AC=AB-BC$，因此$\frac{AC}{AB}=1-\frac{BC}{AB}=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，即$AC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB$，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割；比例的性质；二次根式化简
【点评】
本题结合生活中的设计背景考查黄金分割的应用，需要熟练掌握黄金分割的定义和比例关系，注意区分长短线段的比值，避免混淆原比值和它的倒数。
【难度系数】
0.7

3. 我们把宽与长的比等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形称为黄金矩形。如图，在黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边BC上取一点E，使CE=AB，连接AE，则$\frac{BE}{AB}$的值为（）。

3.B

【分析】
首先回忆黄金矩形的定义：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知$AB＜BC$，因此$AB$是黄金矩形的宽，$BC$是长，即$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。要求$\frac{BE}{AB}$的值，我们可以通过设参数的方法，先设$AB$的长度为一个参数，结合$CE=AB$的条件，用含参数的式子表示出$BE$的长度，最后作比时参数会消去，即可得到所求比值。
【解析】
解：设$AB=a$（$a＞0$）。
∵ 四边形$ABCD$是黄金矩形，且$AB＜BC$，
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则$BC=AB÷\frac{\sqrt{5}-1}{2}=a×\frac{2}{\sqrt{5}-1}$，
对分母有理化可得：$\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴ $BC=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}$。
又
∵ $CE=AB=a$，
∴ $BE=BC-CE=\frac{(\sqrt{5}+1)a}{2}-a=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}$，
∴ $\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
黄金矩形定义，分母有理化，代数式运算
【点评】
本题核心是对黄金矩形定义的理解与应用，通过设参数的方式简化计算，消参后即可得到比值，解题时要注意区分黄金矩形的长和宽，避免比例关系用反。
【难度系数】
0.7

4.【数学应用】美是一种感觉，人体下半身长与身高的比值越接近0.618，越给人一种美感。某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）。

A.3 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

4.C

【分析】
解题时可按照以下思路推导：①先根据题干给出的原比值计算出该女士原本的下半身长度；②明确穿高跟鞋时，不仅下半身长度会增加高跟鞋的高度，整体身高也会增加相同的高度；③结合黄金分割的比值0.618，列等量关系求解高跟鞋高度即可。
【解析】
首先计算该女士原下半身长度：
已知原身高$ l=165\mathrm{cm} $，原下半身与身高比值为0.60，因此原下半身长$ x=165×0.60=99\mathrm{cm} $。
设她应穿的高跟鞋高度为$ h\mathrm{cm} $，根据题意，穿高跟鞋后下半身长与总身高的比值为0.618，可列方程：
$\frac{99+h}{165+h}=0.618$
解方程：
$\begin{aligned}99+h&=0.618×(165+h)\\99+h&=101.97+0.618h\\h-0.618h&=101.97-99\\0.382h&=2.97\\h&\approx7.77\end{aligned}$
计算结果约为8cm，因此对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；分式方程的应用
【点评】
本题结合生活美感的实际场景考察黄金分割的应用，易错点是列方程时忽略总身高也需要加上高跟鞋的高度，解题时需注意变量变化的一致性。
【难度系数】
0.7

5.【数学文化】20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图，EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点且AE＜BE，AB=2 m，则BE的长为 m。

5.$(\sqrt{5}-1)$

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：一条线段被一点分割为两部分，若较长部分与总长度的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个点就是线段的黄金分割点，较长部分与总长度的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知E是AB的黄金分割点，且AE＜BE，可得BE是分割后的较长线段，因此只需用AB的总长度乘以黄金比即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵E为AB的黄金分割点，且AE＜BE，
∴BE为分割后的较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=2 m代入上式：
$BE=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（m）
【答案】
$(\sqrt{5}-1)$
【知识点】
黄金分割，线段计算
【点评】
本题结合华罗庚教授的黄金分割“优选法”这一数学文化背景，考查黄金分割的基本应用，解题关键是准确判断较长的分割线段对应的比例关系，属于基础题，易错点是混淆长短线段对应的比例。
【难度系数】
0.7

6.【数学应用】把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，则这个比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$为黄金比，它被公认为是最能引起美感的比值。杭州亚运会会徽由中国美术学院袁由敏教授设计，其中浪潮的设计借助了黄金分割比。如图，点C可看作是线段AB的黄金分割点$(AC＜BC)$，若$AB=40\ \mathrm{cm}$，则AC的长为cm。

6.$(60-20\sqrt{5})$

【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题思路如下：首先根据黄金分割的定义，结合$AC＜BC$的条件，确定较长线段为BC，且BC与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；先代入AB的长度求出BC的长，再根据$AC=AB-BC$计算即可得到AC的长度。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，
∴较长线段BC满足$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AB=40\ \mathrm{cm}$，代入得：
$BC=40×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=20(\sqrt{5}-1)=(20\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=AB-BC=40-(20\sqrt{5}-20)=40-20\sqrt{5}+20=(60-20\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$60-20\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是准确判断黄金分割点对应的较长线段，熟记黄金比的含义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

7.【数学应用】如图，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm。

7.$(80\sqrt{5}-160)$

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个分点就是黄金分割点。解题时先确定两个黄金分割点对应的较长线段：支撑点C是靠近B的黄金分割点，故较长线段为AC；支撑点D是靠近A的黄金分割点，故较长线段为BD。再观察线段和差关系可得$AC+BD = AB + CD$，变形得到CD的计算式后代入数值求解即可。
【解析】
解：已知黄金分割的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的黄金分割点，
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵ $AB=80\mathrm{cm}$，
∴ $AC = 80 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1) \mathrm{cm}$。
同理，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1) \mathrm{cm}$。
根据线段的和差关系可得：$AC + BD = AB + CD$，
变形得：$CD = AC + BD - AB$，
代入数值计算：
$\begin{aligned}CD &= 40(\sqrt{5}-1) + 40(\sqrt{5}-1) - 80\\&= 80(\sqrt{5}-1) -80\\&= 80\sqrt{5} -80 -80\\&= (80\sqrt{5} - 160) \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题是黄金分割的实际应用问题，解题关键是准确判断黄金分割点对应的较长线段，结合线段的和差关系推导计算式即可求解，需牢记黄金分割的比值。
【难度系数】
0.7