1. 小明所住小区的“燃气收费阶梯制度”收费方案是:每户每个月不超过30立方米,每立方米收费x元;超过30立方米,超过的部分每立方米加收1元.小明家上个月所用燃气35立方米,缴纳费用110元.根据题意列出关于x的方程正确的是 ()

A.$30x+5(x+1)=110$
B.$30x+5(x-1)=110$
C.$30(x+1)=110$
D.$30x+5×1=110$

1. A

【分析】
解决阶梯收费类问题，首先要判断实际用量是否超过第一阶梯上限：本题中小明家上月用燃气35立方米，超过了30立方米的第一阶梯上限，因此总费用需要分两部分计算：①未超过30立方米的部分，按每立方米x元收费；②超过30立方米的部分，先算出超出的气量，再按“每立方米加收1元”即单价为（x+1）元的标准收费，最后把两部分费用相加等于总缴纳费用110元，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 计算超出第一阶梯的燃气量：$35-30=5$（立方米）
2. 计算第一阶梯（30立方米）的费用：单价×用量=$30x$元
3. 计算超出部分的费用：超出部分单价为$(x+1)$元，费用为$5(x+1)$元
4. 总费用为两部分之和，已知总费用110元，因此列方程为：$30x+5(x+1)=110$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，阶梯计费问题
【点评】
本题属于基础类应用题，核心是明确阶梯收费的分段计算规则，区分不同档位的单价，分别计算各档位费用后求和等于总费用即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8

2. 花花家所在城市利用“分时阶梯”的方式计算电价，收费标准如下表：

花花家一月份用电200千瓦时，并且峰时用电量是谷时用电量的$\frac{3}{5}$，则花花家一月需要缴纳电费元。

2. 95

【分析】
解题时首先要明确峰时和谷时的用电量关系，结合总用电量分别求出两个时段的用电量，再根据对应电价分别计算两个时段的电费，最后求和得到总电费。我们可以先把谷时用电量看作单位“1”，峰时用电量是谷时的$\frac{3}{5}$，那么总用电量对应的分率就是$1+\frac{3}{5}$，用总用电量除以对应分率就能得到谷时用电量，再求出峰时用电量，最后分别乘对应电价相加即可得到总电费。
【解析】
1. 计算谷时、峰时用电量
把谷时用电量看作单位“1”，总用电量对应的分率为：$1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$
谷时用电量：$200÷\frac{8}{5}=125$（千瓦时）
峰时用电量：$200-125=75$（千瓦时）
2. 分别计算两个时段的电费
峰时电费：$75×0.60=45$（元）
谷时电费：$125×0.40=50$（元）
3. 计算总电费：$45+50=95$（元）
【答案】
95
【知识点】
分数乘除应用、分段计费计算
【点评】
本题需要先根据比例关系求出不同时段的用电量，再结合电价表的收费标准计算总费用，侧重考查表格信息提取能力和分数运算的实际应用能力，解题时注意区分两个时段的电价，不要混淆计算。
【难度系数】
0.8

3. 褚橙是冰糖橙的一种,是一张云南旅游的美食名片,某水果批发市场批发褚橙的价格如表:

(1)若陈阿姨在该水果市场第一次购买褚橙5千克,需要付费元;
第二次购买褚橙15千克,需要付费元;
第三次购买褚橙$x$千克$(x＞20)$,需要付费元;(用含$x$的代数式表示)
(2)若陈阿姨在该水果市场购买褚橙花了200元,求她买了多少千克的褚橙?
(3)若陈阿姨在该水果市场分两次共购买50千克的褚橙,一共支付了395元,且第一次购买的数量为$a(0＜a≤20)$千克,请问她这两次购买褚橙分别是多少千克?

3. (1)45 130 (6x+50)
(2)她买了25千克的褚橙.
(3)她这两次购买的褚橙分别为17.5千克和32.5千克.

【分析】
本题是分段计费类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 先判断每次购买褚橙的质量所属的计费区间，按对应单价分别计算费用：购买质量不超过10千克直接按9元/千克计算；10~20千克的部分，10千克按9元/千克，超出10千克的部分按8元/千克计算；超过20千克的部分分三段求和后化简代数式即可。
(2) 先计算购买20千克的总费用，和200元对比判断购买量所属区间，再列一元一次方程求解。
(3) 已知两次共买50千克，第一次购买量a的范围是0＜a≤20，可知第二次购买量必然超过20千克，再分a≤10和10＜a≤20两种情况分别列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) ①第一次购买5千克，属于不超过10千克的区间，费用为：$5×9=45$元；
②第二次购买15千克，其中10千克按9元/千克，超出10千克的$15-10=5$千克按8元/千克，费用为：$10×9 + 5×8=90+40=130$元；
③第三次购买$x$千克（$x＞20$），其中10千克按9元/千克，10千克（10~20千克部分）按8元/千克，超出20千克的$(x-20)$千克按6元/千克，费用为：
$10×9 + 10×8 + 6(x-20)=90+80+6x-120=6x+50$元。
(2) 先计算购买20千克的总费用：$10×9 + 10×8=170$元，
因为$200＞170$，所以购买量超过20千克，设购买了$x$千克，根据(1)的结论列方程：
$6x+50=200$
解得：$6x=150$，$x=25$。
(3) 第一次购买$a$千克（$0＜a≤20$），则第二次购买$(50-a)$千克，显然$50-a≥30＞20$，第二次的费用为$6(50-a)+50=350-6a$，分两种情况讨论：
① 当$0＜a≤10$时，第一次费用为$9a$，总费用：
$9a + 350 - 6a=395$
解得$a=15$，不符合$0＜a≤10$的范围，舍去；
② 当$10＜a≤20$时，第一次费用为$10×9 + 8(a-10)=8a+10$，总费用：
$8a+10 + 350 - 6a=395$
化简得$2a=35$，解得$a=17.5$，符合$10＜a≤20$的范围，
则第二次购买量为$50-17.5=32.5$千克。
【答案】
(1) $\boxed{45}$；$\boxed{130}$；$\boxed{(6x+50)}$
(2) 她买了$\boxed{25}$千克的褚橙。
(3) 她这两次购买的褚橙分别为$\boxed{17.5}$千克和$\boxed{32.5}$千克。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；列代数式
【点评】
本题结合生活实际考查分段计费的应用，解题关键是明确不同购买量对应的计费标准，涉及分类讨论思想时要注意验证解是否符合对应的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

活动2 木杆挂重物问题
请同学们根据课本P143页“活动2”中的相关步骤进行操作、记录、分析，并与其他人分享你的发现。

解：
操作记录
1. 取一根均匀木杆，找到木杆的中点作为支点，将木杆悬挂，使木杆可绕支点自由转动。
2. 在支点左侧距离支点15cm的位置悬挂总质量为100g的重物，在支点右侧悬挂不同质量的重物，调整右侧重物到支点的距离，直到木杆保持水平静止，记录实验数据如下：
| 左侧重物质量（g） | 左侧重物到支点的距离（cm） | 右侧重物质量（g） | 右侧重物到支点的距离（cm） |
|------------------|----------------------------|------------------|----------------------------|
| 100 | 15 | 50 | 30 |
| 100 | 15 | 100 | 15 |
| 100 | 15 | 150 | 10 |
| 100 | 15 | 300 | 5 |
我的发现
木杆水平平衡时，左侧重物的质量和它到支点距离的乘积，等于右侧重物的质量和它到支点距离的乘积。
如果固定左侧重物的质量和它到支点的距离，设右侧重物质量为$m$，对应平衡时到支点的距离为$l$，可得$100×15 = m· l$，即$l=\frac{1500}{m}$：右侧重物的质量越大，它平衡时到支点的距离就越小，二者的乘积是固定不变的数值。

【分析】
这是实践探究类活动，解题思路可分为三步：首先完成实验操作：取均匀木杆找到中点作为支点悬挂，保证木杆可自由转动，固定左侧重物质量和其到支点的距离，更换不同质量的右侧重物，调整右侧重物位置直到木杆水平静止，依次记录对应的右侧重物质量、右侧重物到支点的距离；其次整理记录的实验数据，分别计算每组数据中“左侧重物质量×左侧到支点距离”、“右侧重物质量×右侧到支点距离”的结果；最后对比两组乘积的数值，总结两个变量之间的等量关系和变化规律即可。
【解析】
操作记录
1. 取一根均匀木杆，找到木杆的中点作为支点，将木杆悬挂，使木杆可绕支点自由转动。
2. 在支点左侧距离支点15cm的位置悬挂总质量为100g的重物，在支点右侧悬挂不同质量的重物，调整右侧重物到支点的距离，直到木杆保持水平静止，记录实验数据如下：
| 左侧重物质量（g） | 左侧重物到支点的距离（cm） | 右侧重物质量（g） | 右侧重物到支点的距离（cm） |
|------------------|----------------------------|------------------|----------------------------|
| 100 | 15 | 50 | 30 |
| 100 | 15 | 100 | 15 |
| 100 | 15 | 150 | 10 |
| 100 | 15 | 300 | 5 |
我的发现
木杆水平平衡时，左侧重物的质量和它到支点距离的乘积，等于右侧重物的质量和它到支点距离的乘积。
如果固定左侧重物的质量和它到支点的距离，设右侧重物质量为$m$，对应平衡时到支点的距离为$l$，可得$100×15 = m· l$，即$l=\frac{1500}{m}$：右侧重物的质量越大，它平衡时到支点的距离就越小，二者的乘积是固定不变的数值。
【答案】
解：
操作记录
1. 取一根均匀木杆，找到木杆的中点作为支点，将木杆悬挂，使木杆可绕支点自由转动。
2. 在支点左侧距离支点15cm的位置悬挂总质量为100g的重物，在支点右侧悬挂不同质量的重物，调整右侧重物到支点的距离，直到木杆保持水平静止，记录实验数据如下：
| 左侧重物质量（g） | 左侧重物到支点的距离（cm） | 右侧重物质量（g） | 右侧重物到支点的距离（cm） |
|------------------|----------------------------|------------------|----------------------------|
| 100 | 15 | 50 | 30 |
| 100 | 15 | 100 | 15 |
| 100 | 15 | 150 | 10 |
| 100 | 15 | 300 | 5 |
我的发现
木杆水平平衡时，左侧重物的质量和它到支点距离的乘积，等于右侧重物的质量和它到支点距离的乘积。
如果固定左侧重物的质量和它到支点的距离，设右侧重物质量为$m$，对应平衡时到支点的距离为$l$，可得$100×15 = m· l$，即$l=\frac{1500}{m}$：右侧重物的质量越大，它平衡时到支点的距离就越小，二者的乘积是固定不变的数值。
【知识点】
反比例关系、数据整理分析、等量关系构建
【点评】
本活动将动手操作与数学规律探究相结合，引导大家从实验数据中总结变量间的内在联系，既锻炼了实践操作能力，也能直观理解乘积为定值的两个变量之间的变化规律。
【难度系数】
0.8