活动1 生活中的阶梯计价问题
活动目标
1. 通过数学活动,探索用字母表示数,能根据阶梯计价的问题情境列代数式;
2. 会求代数式的值,能解决与阶梯计价相关的规律探索和实际应用问题,理解分段函数的思想.
活动导引
某市为鼓励居民节约用水,对自来水用户按阶梯水价收费,收费标准如下:

内容探究
探究不同用水量下的水费计算规律
思考下列问题:
1. 若该市某户居民某月用水5吨,则该月需要缴纳水费元;某月用水15吨,则该月需要缴纳水费元;某月用水25吨,则该月需要缴纳水费元.
2. 若该市某户居民某月用水18吨,则该月需要缴纳多少元水费?
3. 若该市某户居民某月用水30吨,则该月需要缴纳多少元水费? 你是怎样计算的?
4. 如果用x表示该市某户居民某月的用水量(吨),请分别写出不同用水量区间的水费表达式:
(1)当$0＜x≤10$时,水费为元;
(2)当$10＜x≤20$时,水费为元;
(3)当$x＞20$时,水费为元.
5. 若该市某户居民本月缴纳水费70元,请问该户居民本月用水多少吨?

1. 10 35 75
2. 该月需要缴纳44元水费.
3. 该月需要缴纳100元水费,按阶梯分段累加计算.
4. (1)2x (2)(3x-10) (3)(5x-50)
5. 该户居民本月用水24吨.

【分析】
解决阶梯计价类问题的核心是分类讨论，首先明确不同用水量对应的单价区间，解题时先判断用水量落在哪个区间，再按“分段计算、累加求和”的规则计算水费；列代数式时，分别对每个区间的费用列式化简即可；已知水费反推用水量时，先计算各区间最高水费，判断水费对应的区间，再代入对应表达式列方程求解即可。
1. 计算固定用水量的水费：先拆分用水量到对应计价区间，各区间用水量乘对应单价后求和；
2. 列水费表达式：对每个区间，先算前序区间的总费用，再加上当前区间的费用，化简得到代数式；
3. 已知水费求用水量：先计算各区间最高水费，确定用水量所在区间，再代入对应表达式解方程得到结果。
【解析】
1. （1）用水5吨，属于$0＜x≤10$区间，水费：$5×2=10$元；
（2）用水15吨，其中10吨按2元/吨计费，超出10吨的$15-10=5$吨按3元/吨计费，水费：$10×2 + 5×3=20+15=35$元；
（3）用水25吨，其中10吨按2元/吨计费，10吨（10~20吨部分）按3元/吨计费，超出20吨的$25-20=5$吨按5元/吨计费，水费：$10×2 +10×3 +5×5=20+30+25=75$元。
2. 用水18吨，属于$10＜x≤20$区间，前10吨费用20元，超出10吨的$18-10=8$吨按3元/吨计费，总水费：$10×2 + 8×3=20+24=44$元。
3. 用水30吨，属于$x＞20$区间，前20吨总费用为$10×2+10×3=50$元，超出20吨的$30-20=10$吨按5元/吨计费，总水费：$50 +10×5=100$元，计算方法为按阶梯分段计算各区间费用，再累加求和。
4. （1）当$0＜x≤10$时，单价为2元/吨，水费为$2x$元；
（2）当$10＜x≤20$时，前10吨费用为20元，超出10吨的$(x-10)$吨按3元/吨计费，总水费：$20 + 3(x-10)=3x-10$元；
（3）当$x＞20$时，前20吨费用为50元，超出20吨的$(x-20)$吨按5元/吨计费，总水费：$50 +5(x-20)=5x-50$元。
5. 先计算各区间最高水费：用水量为10吨时，最高水费20元；用水量为20吨时，最高水费$10×2+10×3=50$元。
已知水费70元＞50元，说明用水量超过20吨，代入$x＞20$的水费表达式：
$5x-50=70$
解得$x=24$。
【答案】
1. 10；35；75
2. 该月需要缴纳44元水费。
3. 该月需要缴纳100元水费，按阶梯分段累加计算。
4. (1)$2x$；(2)$3x-10$；(3)$5x-50$
5. 该户居民本月用水24吨。
【知识点】
阶梯计费问题；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
这类问题是生活中常见的实际应用题型，核心是分类讨论思想的运用，解题关键是明确阶梯区间的划分标准，计算时先确定数量所属区间，再按规则计算；反向求解时要先锁定区间再计算，能有效提升将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7