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一、选择题
1. 下列方程中，属于一元一次方程的有(
① $2x + 3 = 7$；② $1 + 7 = 15 - 8 + 1$；③ $3x + 2y = 1$；④ $2x + 5$；⑤ $x = 2$；
⑥ $x - 1 ＜ 3$；⑦ $x^2 + 3x + 2 = 0$；⑧ $\dfrac{1}{x} = 2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列方程中，属于一元一次方程的有(
B
)。① $2x + 3 = 7$；② $1 + 7 = 15 - 8 + 1$；③ $3x + 2y = 1$；④ $2x + 5$；⑤ $x = 2$；
⑥ $x - 1 ＜ 3$；⑦ $x^2 + 3x + 2 = 0$；⑧ $\dfrac{1}{x} = 2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判断条件：①必须是含有未知数的等式（即首先得是方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1，且等号两边都是整式。接下来我们逐个验证每个式子是否满足这几个条件，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的等式。我们逐个分析所给式子：
①$2x + 3 = 7$：是含未知数$x$的等式，未知数只有1个，次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
②$1 + 7 = 15 - 8 + 1$：是等式，但不含未知数，不是方程，不符合；
③$3x + 2y = 1$：含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
④$2x + 5$：不是等式，是代数式，不是方程，不符合；
⑤$x = 2$：是含未知数$x$的等式，未知数只有1个，次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
⑥$x - 1 ＜ 3$：是不等式，不是等式，不符合；
⑦$x^2 + 3x + 2 = 0$：未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合；
⑧$\dfrac{1}{x} = 2$：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，符合一元一次方程定义的是①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义，方程的判断，整式方程识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次方程的判断标准，做题时要注意区分代数式、等式、不等式、不同类型方程的差异，避免因概念混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判断条件：①必须是含有未知数的等式（即首先得是方程）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是1，且等号两边都是整式。接下来我们逐个验证每个式子是否满足这几个条件，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的等式。我们逐个分析所给式子：
①$2x + 3 = 7$：是含未知数$x$的等式，未知数只有1个，次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
②$1 + 7 = 15 - 8 + 1$：是等式，但不含未知数，不是方程，不符合；
③$3x + 2y = 1$：含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
④$2x + 5$：不是等式，是代数式，不是方程，不符合；
⑤$x = 2$：是含未知数$x$的等式，未知数只有1个，次数为1，两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
⑥$x - 1 ＜ 3$：是不等式，不是等式，不符合；
⑦$x^2 + 3x + 2 = 0$：未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合；
⑧$\dfrac{1}{x} = 2$：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，符合一元一次方程定义的是①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义，方程的判断，整式方程识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢牢掌握一元一次方程的判断标准，做题时要注意区分代数式、等式、不等式、不同类型方程的差异，避免因概念混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中的变形属于移项的是(
A.由 $3x - 2y - 7$, 得 $-2y - 7 + 3x$
B.由 $3x - 5 = 2x + 1$, 得 $3x - 5 = 1 + 2x$
C.由 $5x = 3x + 3$, 得 $5x - 3x = 3$
D.由 $3x + 1 = 2x - 6$, 得 $2x - 6 = 3x + 1$
C
).A.由 $3x - 2y - 7$, 得 $-2y - 7 + 3x$
B.由 $3x - 5 = 2x + 1$, 得 $3x - 5 = 1 + 2x$
C.由 $5x = 3x + 3$, 得 $5x - 3x = 3$
D.由 $3x + 1 = 2x - 6$, 得 $2x - 6 = 3x + 1$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断变形是否属于移项，首先要明确移项的核心特征：一是变形必须在等式中进行，二是要有项从等号的一侧移动到另一侧，且移动的项符号要发生改变。解题时先回忆移项的定义，再逐一比对四个选项的变形是否符合上述特征即可。
【解析】
首先明确移项的定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
对各选项逐一分析：
A. $3x - 2y - 7$不是等式，仅为多项式调整项的排列顺序，不属于移项；
B. 仅在等号右侧交换$2x$和$1$的位置，没有项跨越等号，属于加法交换律的应用，不属于移项；
C. 将等号右侧的$3x$改变符号为$-3x$后移到等号左侧，符合移项的定义，属于移项；
D. 仅将等式左右两边整体互换位置，没有项发生移动并变号，不属于移项。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
移项的概念、等式的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对移项定义的理解，解题时需注意区分移项和加法交换律、等式对称性的区别，牢记移项必须满足“跨等号、变符号”两个要点，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于移项，首先要明确移项的核心特征：一是变形必须在等式中进行，二是要有项从等号的一侧移动到另一侧，且移动的项符号要发生改变。解题时先回忆移项的定义，再逐一比对四个选项的变形是否符合上述特征即可。
【解析】
首先明确移项的定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
对各选项逐一分析：
A. $3x - 2y - 7$不是等式，仅为多项式调整项的排列顺序，不属于移项；
B. 仅在等号右侧交换$2x$和$1$的位置，没有项跨越等号，属于加法交换律的应用，不属于移项；
C. 将等号右侧的$3x$改变符号为$-3x$后移到等号左侧，符合移项的定义，属于移项；
D. 仅将等式左右两边整体互换位置，没有项发生移动并变号，不属于移项。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
移项的概念、等式的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对移项定义的理解，解题时需注意区分移项和加法交换律、等式对称性的区别，牢记移项必须满足“跨等号、变符号”两个要点，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
二、填空题
3. 若 $ x = 4 $ 是方程 $ mx - 3 = 5 $ 的解，则 $ m = $
3. 若 $ x = 4 $ 是方程 $ mx - 3 = 5 $ 的解，则 $ m = $
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=4是给定方程的解，说明把x=4代入原方程后，方程左右两边一定相等，代入后就能得到一个只含未知数m的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ $x=4$ 是方程 $mx-3=5$ 的解
∴ 将$x=4$代入原方程，可得：
$4m - 3 = 5$
移项，得：
$4m = 5 + 3$
合并同类项，得：
$4m = 8$
系数化为1，得：
$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程解的应用，只要掌握方程解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，计算时注意移项要变号，避免低级错误。
【难度系数】
0.9
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=4是给定方程的解，说明把x=4代入原方程后，方程左右两边一定相等，代入后就能得到一个只含未知数m的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ $x=4$ 是方程 $mx-3=5$ 的解
∴ 将$x=4$代入原方程，可得：
$4m - 3 = 5$
移项，得：
$4m = 5 + 3$
合并同类项，得：
$4m = 8$
系数化为1，得：
$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程解的应用，只要掌握方程解的定义，将已知解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，计算时注意移项要变号，避免低级错误。
【难度系数】
0.9
4.小虎在解关于$x$的方程$5a - x = 13$时，误将$-x$看作$+x$，得方程的解为$x = -2$，则原方程的解为$x = \_\_\_\_\_\_$。
答案
4. 2
解析
【分析】
解题的关键是利用“错解”的有效性：小虎看错符号后得到的方程是错误的，但他算出的$x=-2$是这个看错后方程的正确解。我们可以先把$x=-2$代入看错后的方程求出参数$a$的值，再将$a$代入原正确方程，即可求出原方程的解。
【解析】
第一步：确定小虎看错后解的方程
小虎误将$-x$看作$+x$，因此他实际解的方程为：$\boldsymbol{5a + x = 13}$
第二步：将错解$x=-2$代入看错的方程求$a$
把$x=-2$代入$5a + x = 13$，得：
$5a + (-2) = 13$
化简得：$5a - 2 = 13$
移项计算：$5a = 13 + 2 = 15$
解得：$a = 3$
第三步：将$a=3$代入原方程求解
原方程为$5a - x =13$，代入$a=3$得：
$5×3 - x =13$
计算得：$15 - x =13$
移项得：$-x = 13 - 15 = -2$
系数化为1得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于错解类基础题型，核心是理解错解是看错后所得方程的正确解，以此为桥梁先求出未知参数，再求解原方程即可，解题时注意移项要变号的规则。
【难度系数】
0.8
解题的关键是利用“错解”的有效性：小虎看错符号后得到的方程是错误的，但他算出的$x=-2$是这个看错后方程的正确解。我们可以先把$x=-2$代入看错后的方程求出参数$a$的值，再将$a$代入原正确方程，即可求出原方程的解。
【解析】
第一步：确定小虎看错后解的方程
小虎误将$-x$看作$+x$，因此他实际解的方程为：$\boldsymbol{5a + x = 13}$
第二步：将错解$x=-2$代入看错的方程求$a$
把$x=-2$代入$5a + x = 13$，得：
$5a + (-2) = 13$
化简得：$5a - 2 = 13$
移项计算：$5a = 13 + 2 = 15$
解得：$a = 3$
第三步：将$a=3$代入原方程求解
原方程为$5a - x =13$，代入$a=3$得：
$5×3 - x =13$
计算得：$15 - x =13$
移项得：$-x = 13 - 15 = -2$
系数化为1得：$x = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于错解类基础题型，核心是理解错解是看错后所得方程的正确解，以此为桥梁先求出未知参数，再求解原方程即可，解题时注意移项要变号的规则。
【难度系数】
0.8
5. 若关于$x$的方程$2+3x=1$与$3a-(1+x)=0$的解相同，则$a=$
$\dfrac{2}{9}$
。答案
5. $\dfrac{2}{9}$
解析
【分析】
本题的核心是“两个方程解相同”，即第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分两步走：第一步先求解不含参数的方程$2+3x=1$，得到$x$的具体数值；第二步把求出的$x$代入含参数$a$的方程$3a-(1+x)=0$，得到只关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$2+3x=1$：
移项得：$3x=1-2$
合并同类项得：$3x=-1$
系数化为1得：$x=-\dfrac{1}{3}$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=-\dfrac{1}{3}$代入$3a-(1+x)=0$：
$3a-(1-\dfrac{1}{3})=0$
化简得：$3a-\dfrac{2}{3}=0$
移项得：$3a=\dfrac{2}{3}$
系数化为1得：$a=\dfrac{2}{9}$
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
同解方程的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是理解同解方程的定义，计算难度较低，熟练掌握一元一次方程的基本解法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
本题的核心是“两个方程解相同”，即第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分两步走：第一步先求解不含参数的方程$2+3x=1$，得到$x$的具体数值；第二步把求出的$x$代入含参数$a$的方程$3a-(1+x)=0$，得到只关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$2+3x=1$：
移项得：$3x=1-2$
合并同类项得：$3x=-1$
系数化为1得：$x=-\dfrac{1}{3}$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=-\dfrac{1}{3}$代入$3a-(1+x)=0$：
$3a-(1-\dfrac{1}{3})=0$
化简得：$3a-\dfrac{2}{3}=0$
移项得：$3a=\dfrac{2}{3}$
系数化为1得：$a=\dfrac{2}{9}$
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
同解方程的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，解题关键是理解同解方程的定义，计算难度较低，熟练掌握一元一次方程的基本解法就能快速作答。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6. 分析下列解方程时错误的原因，并改正.
（1）解方程：$4(2x + 3)=8(1 + x)-5(x - 1)$.
解 $8x + 3=8 + x -5x +1$. ①
$12x =6$. ②
$x=\frac{1}{2}$. ③
错在：；原因：.
正解：
（2）解方程：$2(y + 3)-5(1 - y)=3(y - 1)$.
解 $2y -6 -5 -5y=3y -3$. ①
$-6y=-4$. ②
$y=\frac{2}{3}$. ③
错在：；原因：.
正解：
6. 分析下列解方程时错误的原因，并改正.
（1）解方程：$4(2x + 3)=8(1 + x)-5(x - 1)$.
解 $8x + 3=8 + x -5x +1$. ①
$12x =6$. ②
$x=\frac{1}{2}$. ③
错在：；原因：.
正解：
（2）解方程：$2(y + 3)-5(1 - y)=3(y - 1)$.
解 $2y -6 -5 -5y=3y -3$. ①
$-6y=-4$. ②
$y=\frac{2}{3}$. ③
错在：；原因：.
正解：
答案
（1）
错在：第①步；
原因：去括号时，括号外的因数未与括号内的每一项相乘，出现漏乘括号内常数项的错误。
正解：
解：去括号，得
$8x + 12 = 8 + 8x - 5x + 5$
移项，得
$8x - 8x + 5x = 8 + 5 - 12$
合并同类项，得
$5x = 1$
系数化为1，得
$x = \frac{1}{5}$
---
（2）
错在：第①步；
原因：去括号时符号处理错误，括号前为正号时括号内的项符号错误改变，括号前为负号时括号内后项的符号未正确变号。
正解：
解：去括号，得
$2y + 6 - 5 + 5y = 3y - 3$
移项，得
$2y + 5y - 3y = -3 - 6 + 5$
合并同类项，得
$4y = -4$
系数化为1，得
$y = -1$
错在：第①步；
原因：去括号时，括号外的因数未与括号内的每一项相乘，出现漏乘括号内常数项的错误。
正解：
解：去括号，得
$8x + 12 = 8 + 8x - 5x + 5$
移项，得
$8x - 8x + 5x = 8 + 5 - 12$
合并同类项，得
$5x = 1$
系数化为1，得
$x = \frac{1}{5}$
---
（2）
错在：第①步；
原因：去括号时符号处理错误，括号前为正号时括号内的项符号错误改变，括号前为负号时括号内后项的符号未正确变号。
正解：
解：去括号，得
$2y + 6 - 5 + 5y = 3y - 3$
移项，得
$2y + 5y - 3y = -3 - 6 + 5$
合并同类项，得
$4y = -4$
系数化为1，得
$y = -1$
解析
【分析】
本题考查一元一次方程求解中去括号步骤的错误排查与改正。解题需先明确去括号的两个核心规则：一是括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号。我们先检查错解的去括号步骤是否符合上述规则，定位错误后再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解即可。
【解析】
（1）题分析与正解
错解的第①步去括号时，左侧$4(2x+3)$展开应为$8x+12$，错解漏乘了括号内的常数项3，违反了去括号需乘遍每一项的规则。
正解步骤：
去括号，得：$8x + 12 = 8 + 8x - 5x + 5$
移项，得：$8x - 8x + 5x = 8 + 5 - 12$
合并同类项，得：$5x = 1$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{5}$
（2）题分析与正解
错解的第①步去括号时出现两处符号错误：一是$2(y+3)$去括号后常数项应为$+6$，错写为$-6$；二是$-5(1-y)$去括号后$-y$乘$-5$应为$+5y$，错写为$-5y$，符号处理不符合规则。
正解步骤：
去括号，得：$2y + 6 - 5 + 5y = 3y - 3$
移项，得：$2y + 5y - 3y = -3 - 6 + 5$
合并同类项，得：$4y = -4$
系数化为1，得：$y = -1$
【答案】
（1）错在：第①步；原因：去括号时，括号外的因数未与括号内的每一项相乘，出现漏乘括号内常数项的错误。正解：$x=\frac{1}{5}$
（2）错在：第①步；原因：去括号时符号处理错误，括号前为正号时括号内的项符号错误改变，括号前为负号时括号内后项的符号未正确变号。正解：$y=-1$
【知识点】
去括号法则；一元一次方程解法；移项合并同类项
【点评】
本题针对性考查一元一次方程求解过程中的高频易错点，通过找错改错的形式，能强化对去括号规则的理解和运用，帮助大家避免在后续解方程时出现漏乘、符号错误这类基础问题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程求解中去括号步骤的错误排查与改正。解题需先明确去括号的两个核心规则：一是括号外的因数要乘括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号。我们先检查错解的去括号步骤是否符合上述规则，定位错误后再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解即可。
【解析】
（1）题分析与正解
错解的第①步去括号时，左侧$4(2x+3)$展开应为$8x+12$，错解漏乘了括号内的常数项3，违反了去括号需乘遍每一项的规则。
正解步骤：
去括号，得：$8x + 12 = 8 + 8x - 5x + 5$
移项，得：$8x - 8x + 5x = 8 + 5 - 12$
合并同类项，得：$5x = 1$
系数化为1，得：$x = \frac{1}{5}$
（2）题分析与正解
错解的第①步去括号时出现两处符号错误：一是$2(y+3)$去括号后常数项应为$+6$，错写为$-6$；二是$-5(1-y)$去括号后$-y$乘$-5$应为$+5y$，错写为$-5y$，符号处理不符合规则。
正解步骤：
去括号，得：$2y + 6 - 5 + 5y = 3y - 3$
移项，得：$2y + 5y - 3y = -3 - 6 + 5$
合并同类项，得：$4y = -4$
系数化为1，得：$y = -1$
【答案】
（1）错在：第①步；原因：去括号时，括号外的因数未与括号内的每一项相乘，出现漏乘括号内常数项的错误。正解：$x=\frac{1}{5}$
（2）错在：第①步；原因：去括号时符号处理错误，括号前为正号时括号内的项符号错误改变，括号前为负号时括号内后项的符号未正确变号。正解：$y=-1$
【知识点】
去括号法则；一元一次方程解法；移项合并同类项
【点评】
本题针对性考查一元一次方程求解过程中的高频易错点，通过找错改错的形式，能强化对去括号规则的理解和运用，帮助大家避免在后续解方程时出现漏乘、符号错误这类基础问题。
【难度系数】
0.8
