4.【数学应用】有一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进如图所示的上边是半圆、下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径是2 m，长方形的长是2.3 m。
(1) 这辆卡车能否通过此桥洞？说明理由。
(2) 为了适应需求，想把桥洞改成双行线，并且要使宽为1.2 m、高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加多少米？

4. 解:(1)能。理由如下:
如图①,MN 为卡车的宽度,分别过点 M,N 作 AB 的垂线交半圆于点 C,D,连接 CD 交 GH 于点 E,连接 OC,易知$OE⊥ CD$。
因为 $CD=MN=1.6\ \mathrm{m},AB=2\ \mathrm{m}$,
所以 $CE=DE=0.8\ \mathrm{m},OC=OA=1\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中,$OE^2=OC^2-CE^2=0.36$,所以 $OE=0.6\ \mathrm{m}$,所以 $CM=2.3+0.6=2.9(\mathrm{m})$。
因为 $2.9＞2.5$,所以这辆卡车能通过此桥洞。
(2)如图②,根据题意可知 $CG=BE=2.8\ \mathrm{m}$,
$BG=OF=1.2\ \mathrm{m},EF=AD=2.3\ \mathrm{m},BF=0.5\ \mathrm{m}$,
根据勾股定理有 $OA^2=OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.3^2$,所以 $OA=1.3\ \mathrm{m}$,
所以此桥洞的宽至少应增加 $1.3×2-2=0.6(\mathrm{m})$。

5. 如图,已知点 M,N 是线段 AB 上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点 A 为圆心,以 AN 的长为半径画弧;再以点 B 为圆心,以 BM 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 AC,BC,则△ABC 一定是()。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

5. B

6. 如图所示的一块菜地，$AD=12\ \mathrm{m},CD=9\ \mathrm{m},∠ ADC=90°,AB=39\ \mathrm{m},BC=36\ \mathrm{m},$这块菜地的面积为$\underline{\hspace{5cm}}$。

216 m²

7. 如图,已知在$△ ABC$中,$CD\bot AB$于点$D$,$AC=20$,$BC=15$,$DB=9$。
(1)求$CD$,$AB$的长；
(2)试说明$△ ABC$是直角三角形。

解:(1)因为 $CD⊥ AB$,所以$∠ CDB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中,$BC=15$,$BD=9$,由勾股定理可得,$CD^2=15^2-9^2=144=12^2$,所以 $CD=12$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC=20$,$CD=12$,根据勾股定理可知,$AD^2=20^2-12^2=256=16^2$,所以 $AD=16$。
所以 $AB=AD+BD=16+9=25$。
(2)因为 $AC=20$,$BC=15$,$AB=25$,
所以 $AC^2+BC^2=20^2+15^2=625$,$AB^2=625$,
所以 $AC^2+BC^2=AB^2$,
所以$△ ABC$ 是直角三角形,且$∠ ACB=90°$。

8. 如图,在动物园有两只猴子在一棵树CD上的点B处,BC=5 m,它们都要到池塘A处吃东西。猴子甲先沿树爬至树底C处,再沿CA走到离树24 m处的池塘A处。猴子乙先爬到树顶D处,再沿缆绳DA滑到A处。已知猴子甲经过的路程比猴子乙经过的路程多2 m,设BD=x m。
(1)请用含x的整式表示线段AD的长为 m。
(2)这棵树高多少米？

8. 解:(1)(27−x) 解析:因为 $BD+AD+2=BC+AC$,即 $x+AD+2=5+24$,所以 $AD=(27-x)\ \mathrm{m}$。
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,因为 $∠ C=90°$,所以 $AD^2=AC^2+DC^2$,即 $24^2+(x+5)^2=(27-x)^2$,解得 $x=2$。
所以 $CD=x+5=2+5=7(\mathrm{m})$,
所以这棵树高 7 m。