登录
例1 (1)已知$(m-1)a^{|m+1|}b^3$是关于$a,b$的五次单项式，求$m$的值；
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值；
(3)已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值。
(2)多项式$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式，求$m$的值；
(3)已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式，求$ab$的值。
答案
解:(1)-3;(2)2;(3)2.
解析
【分析】
本题围绕单项式、多项式的核心概念命题，解题需紧扣两个核心规则：1.单项式的次数为所有字母的指数之和，且单项式的系数不能为0；2.多项式的次数为最高次项的次数，几项式由所含单项式的个数决定，若为n次多项式，则高于n次的项系数必须为0，且最高次项系数不为0，同时要满足项数的要求。
解题思路：(1)先根据五次单项式的次数要求列方程，再结合系数不为0的限制排除不符合的解；(2)先根据二次多项式确定最高次项的次数，列方程求m的可能值，再结合三项式的要求排除导致项数不足的解；(3)先根据二次多项式的要求消去三次项（令三次项系数为0），再确定最高次项的次数，最后计算ab的值。
【解析】
(1) 已知$(m-1)a^{|m+1|}b^3$是关于$a,b$的五次单项式：
① 单项式系数不能为0，即$m-1≠ 0$，得$m≠ 1$；
② 单项式次数为所有字母指数和，故$|m+1|+3=5$，化简得$|m+1|=2$，解得$m=1$或$m=-3$；
结合①的限制，最终$m=-3$。
(2) 已知$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式：
① 最高次为二次，故$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
② 为三项式需保证一次项存在，即一次项系数不为0：$-(m+2)≠ 0$，得$m≠ -2$；
结合①的结果，最终$m=2$。
(3) 已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式：
① 最高次为二次，故三次项系数需为0：$a-1=0$，得$a=1$；
② 最高次项为$-3x^b$，故$b=2$；
因此$ab=1× 2=2$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$2$；(3)$2$
【知识点】
单项式的概念；多项式的概念；绝对值方程求解
【点评】
本题是整式章节的典型易错题，解题时极易忽略系数不为0、项数要求等限制条件导致多解错误，牢记概念、逐一验证限制条件是避免失分的关键。
【难度系数】
0.65
本题围绕单项式、多项式的核心概念命题，解题需紧扣两个核心规则：1.单项式的次数为所有字母的指数之和，且单项式的系数不能为0；2.多项式的次数为最高次项的次数，几项式由所含单项式的个数决定，若为n次多项式，则高于n次的项系数必须为0，且最高次项系数不为0，同时要满足项数的要求。
解题思路：(1)先根据五次单项式的次数要求列方程，再结合系数不为0的限制排除不符合的解；(2)先根据二次多项式确定最高次项的次数，列方程求m的可能值，再结合三项式的要求排除导致项数不足的解；(3)先根据二次多项式的要求消去三次项（令三次项系数为0），再确定最高次项的次数，最后计算ab的值。
【解析】
(1) 已知$(m-1)a^{|m+1|}b^3$是关于$a,b$的五次单项式：
① 单项式系数不能为0，即$m-1≠ 0$，得$m≠ 1$；
② 单项式次数为所有字母指数和，故$|m+1|+3=5$，化简得$|m+1|=2$，解得$m=1$或$m=-3$；
结合①的限制，最终$m=-3$。
(2) 已知$-\dfrac{1}{5}x^{|m|}-(m+2)x+5$是关于$x$的二次三项式：
① 最高次为二次，故$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
② 为三项式需保证一次项存在，即一次项系数不为0：$-(m+2)≠ 0$，得$m≠ -2$；
结合①的结果，最终$m=2$。
(3) 已知多项式$(a-1)x^3 -3x^b +4x -1$是关于$x$的二次三项式：
① 最高次为二次，故三次项系数需为0：$a-1=0$，得$a=1$；
② 最高次项为$-3x^b$，故$b=2$；
因此$ab=1× 2=2$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$2$；(3)$2$
【知识点】
单项式的概念；多项式的概念；绝对值方程求解
【点评】
本题是整式章节的典型易错题，解题时极易忽略系数不为0、项数要求等限制条件导致多解错误，牢记概念、逐一验证限制条件是避免失分的关键。
【难度系数】
0.65
例2 已知$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项，则x的值为
1或3
，y的值为2
。答案
x的值为1或3，y的值为2
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。观察题目中的两个单项式，均含有字母a、b，因此只需根据“相同字母的指数相等”列等式即可。针对字母a，第一个单项式中a的指数为|x-2|，第二个单项式中a的指数为1（省略的指数默认是1），因此可列方程|x-2|=1；针对字母b，第一个单项式中b的指数为2，第二个单项式中b的指数为y，因此可得y=2。最后根据绝对值的性质解绝对值方程，即可求出x的取值，注意绝对值等于正数时对应两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}|x-2|=1\\y=2\end{cases}$
解$|x-2|=1$：
由绝对值的性质可知，$x-2=1$或$x-2=-1$
当$x-2=1$时，$x=3$；当$x-2=-1$时，$x=1$
因此x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
x的值为1或3，y的值为2
【知识点】
同类项的定义；绝对值方程的解法
【点评】
本题考查同类项相关的计算，解题关键是抓住同类项中“相同字母的指数相等”这一核心条件列等式，求解绝对值方程时要注意分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。观察题目中的两个单项式，均含有字母a、b，因此只需根据“相同字母的指数相等”列等式即可。针对字母a，第一个单项式中a的指数为|x-2|，第二个单项式中a的指数为1（省略的指数默认是1），因此可列方程|x-2|=1；针对字母b，第一个单项式中b的指数为2，第二个单项式中b的指数为y，因此可得y=2。最后根据绝对值的性质解绝对值方程，即可求出x的取值，注意绝对值等于正数时对应两个解，不要漏解。
【解析】
解：
∵$-a^{|x-2|}b^{2}$与$\frac{1}{3}ab^{y}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}|x-2|=1\\y=2\end{cases}$
解$|x-2|=1$：
由绝对值的性质可知，$x-2=1$或$x-2=-1$
当$x-2=1$时，$x=3$；当$x-2=-1$时，$x=1$
因此x的值为1或3，y的值为2。
【答案】
x的值为1或3，y的值为2
【知识点】
同类项的定义；绝对值方程的解法
【点评】
本题考查同类项相关的计算，解题关键是抓住同类项中“相同字母的指数相等”这一核心条件列等式，求解绝对值方程时要注意分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.75
例3 已知关于x，y的单项式$2mx^a y^3$与$-4nx^{3a-6}y^3$是同类项(其中$xy≠0$).
(1)求a的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值.
(1)求a的值；
(2)若这两个单项式的和为零，求$(m-2n-1)^{2025}$的值.
答案
解:(1)3;(2)-1.
解析
【分析】
(1) 求a的值需结合同类项的定义思考：同类项要求相同字母的指数相等，本题中两个单项式y的指数都是3，已满足相等条件，只需让x的指数相等，即可列出关于a的一元一次方程，解方程就能得到a的值。
(2) 求代数式的值时，已知两个单项式的和为零，说明二者是同类项且系数互为相反数，由此可推导出m和n的数量关系，再将该关系整体代入所求代数式，结合乘方的运算规律即可算出结果。
【解析】
(1) 根据同类项的定义，两个单项式中x的指数相等，可得：
$\begin{aligned}a&=3a-6\\a-3a&=-6\\-2a&=-6\\a&=3\end{aligned}$
(2) 因为两个单项式的和为零，所以二者的系数之和为0，可得：
$\begin{aligned}2m+(-4n)&=0\\2m&=4n\\m&=2n\end{aligned}$
将$m=2n$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
$\begin{aligned}(m-2n-1)^{2025}&=(2n-2n-1)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1)3；(2)-1
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数的乘方
【点评】
本题考查同类项相关的基础应用，解题核心是抓住同类项的指数特征、和为0的系数关系，整体代入的方法能有效简化计算，是同类项考点的典型基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 求a的值需结合同类项的定义思考：同类项要求相同字母的指数相等，本题中两个单项式y的指数都是3，已满足相等条件，只需让x的指数相等，即可列出关于a的一元一次方程，解方程就能得到a的值。
(2) 求代数式的值时，已知两个单项式的和为零，说明二者是同类项且系数互为相反数，由此可推导出m和n的数量关系，再将该关系整体代入所求代数式，结合乘方的运算规律即可算出结果。
【解析】
(1) 根据同类项的定义，两个单项式中x的指数相等，可得：
$\begin{aligned}a&=3a-6\\a-3a&=-6\\-2a&=-6\\a&=3\end{aligned}$
(2) 因为两个单项式的和为零，所以二者的系数之和为0，可得：
$\begin{aligned}2m+(-4n)&=0\\2m&=4n\\m&=2n\end{aligned}$
将$m=2n$代入$(m-2n-1)^{2025}$得：
$\begin{aligned}(m-2n-1)^{2025}&=(2n-2n-1)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1)3；(2)-1
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数的乘方
【点评】
本题考查同类项相关的基础应用，解题核心是抓住同类项的指数特征、和为0的系数关系，整体代入的方法能有效简化计算，是同类项考点的典型基础题。
【难度系数】
0.8
