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例4 已知关于$a,b$的单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$，求多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$的值。
答案
解:10.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“两个单项式的和仍为单项式”的含义：说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义，即所含字母相同、相同字母的指数也分别相等，我们可以列出关于x、y的方程，求出x和y的取值，再将x、y的值代入给定的多项式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$
∴ 这两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x=2 \\x+y=5\end{cases}$
把$x=2$代入$x+y=5$，得$2+y=5$，解得$y=3$
将$x=2$，$y=3$代入多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}× 2^3 - \frac{1}{6}× 2× 3^2 + \frac{1}{3}× 3^3 \\&=\frac{1}{2}×8 - \frac{1}{6}×2×9 + \frac{1}{3}×27 \\&=4 - 3 + 9 \\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
1.同类项的定义 2.代数式求值
【点评】
本题核心是利用“两个单项式的和为单项式”的条件判断同类项，再通过列方程求出未知指数的值，最后代入多项式计算，是整式章节的常见基础题型，需要熟练掌握同类项的判断方法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确“两个单项式的和仍为单项式”的含义：说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义，即所含字母相同、相同字母的指数也分别相等，我们可以列出关于x、y的方程，求出x和y的取值，再将x、y的值代入给定的多项式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 单项式$-2a^2b^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^xb^5$的和仍为单项式，且$ab≠0$
∴ 这两个单项式是同类项，根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x=2 \\x+y=5\end{cases}$
把$x=2$代入$x+y=5$，得$2+y=5$，解得$y=3$
将$x=2$，$y=3$代入多项式$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}xy^2 + \frac{1}{3}y^3$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}× 2^3 - \frac{1}{6}× 2× 3^2 + \frac{1}{3}× 3^3 \\&=\frac{1}{2}×8 - \frac{1}{6}×2×9 + \frac{1}{3}×27 \\&=4 - 3 + 9 \\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
1.同类项的定义 2.代数式求值
【点评】
本题核心是利用“两个单项式的和为单项式”的条件判断同类项，再通过列方程求出未知指数的值，最后代入多项式计算，是整式章节的常见基础题型，需要熟练掌握同类项的判断方法。
【难度系数】
0.8
例5 先化简,再求值:$2x^2 - [3(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2] - 2(x^2 - xy + 2y^2)$,其中$x,y$满足$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$.
答案
解:原式=$x^2-2y^2$. 由题意易知,$x=\frac{1}{2},y=-1$,所以原式=$-\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题分为两个部分：第一部分是整式化简，先去小括号、再去中括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，之后合并同类项得到最简式；第二部分是求x、y的值，根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：第一步：化简整式
$\begin{aligned}原式&=2x^2 - [3(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2] - 2(x^2 - xy + 2y^2)\\&=2x^2 - (-x^2 + 2xy - 2y^2) - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=2x^2 + x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=(2x^2+x^2-2x^2)+(-2xy+2xy)+(2y^2-4y^2)\\&=x^2-2y^2\end{aligned}$
第二步：求x、y的取值
∵ $\left|x - \frac{1}{2}\right|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$
∴ $x-\frac{1}{2}=0$，$y+1=0$
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$
第三步：代入最简式计算
将$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$代入$x^2-2y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{2})^2 - 2×(-1)^2\\&=\frac{1}{4} - 2\\&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$x^2-2y^2$，求值结果为$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式的加减运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，综合考查了去括号、合并同类项的运算规则以及非负数的性质，解题的易错点为去括号时的符号处理、代入计算时负数乘方的运算，计算时需注意细节避免出错。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题分为两个部分：第一部分是整式化简，先去小括号、再去中括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，之后合并同类项得到最简式；第二部分是求x、y的值，根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：第一步：化简整式
$\begin{aligned}原式&=2x^2 - [3(-\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}xy) - 2y^2] - 2(x^2 - xy + 2y^2)\\&=2x^2 - (-x^2 + 2xy - 2y^2) - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=2x^2 + x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x^2 + 2xy - 4y^2\\&=(2x^2+x^2-2x^2)+(-2xy+2xy)+(2y^2-4y^2)\\&=x^2-2y^2\end{aligned}$
第二步：求x、y的取值
∵ $\left|x - \frac{1}{2}\right|≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$\left|x - \frac{1}{2}\right| + (y + 1)^2 = 0$
∴ $x-\frac{1}{2}=0$，$y+1=0$
解得$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$
第三步：代入最简式计算
将$x=\frac{1}{2}$，$y=-1$代入$x^2-2y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{2})^2 - 2×(-1)^2\\&=\frac{1}{4} - 2\\&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$x^2-2y^2$，求值结果为$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式的加减运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，综合考查了去括号、合并同类项的运算规则以及非负数的性质，解题的易错点为去括号时的符号处理、代入计算时负数乘方的运算，计算时需注意细节避免出错。
【难度系数】
0.7
例6 已知$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$，求$3A - [(2A - B) -4(A - B)]$的值，其中$|x|=5$，$y^2=9$，且$x+y=-2$。
答案
解:原式=$-x^2+8xy-4y^2$. 由题意易知,$x=-5$,y=3,所以原式=-181.
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先对含有A、B的代数式去括号、合并同类项，化简为最简的A、B表达式；第二步将A、B的代数式代入化简后的式子，再次合并同类项，得到仅含x、y的最简整式；第三步根据已知的$|x|=5$、$y^2=9$和$x+y=-2$的条件，筛选出符合要求的x、y取值，最后代入最简整式计算结果即可。先化简再代值能大幅减少计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简含A、B的原式
$\begin{aligned}3A - [(2A - B) -4(A - B)]&=3A - (2A - B -4A +4B)\\&=3A - (-2A + 3B)\\&=3A +2A -3B\\&=5A -3B\end{aligned}$
第二步：代入A、B的表达式并化简
将$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$代入得：
$\begin{aligned}5A -3B&=5(x^2 - 2xy + y^2) - 3(2x^2 -6xy +3y^2)\\&=5x^2 -10xy +5y^2 -6x^2 +18xy -9y^2\\&=-x^2 +8xy -4y^2\end{aligned}$
第三步：确定x、y的取值
由$|x|=5$得$x=5$或$x=-5$；由$y^2=9$得$y=3$或$y=-3$。
结合$x+y=-2$验证：
若$x=5$，则$y=-2-5=-7$，不符合y的取值范围，舍去；
若$x=-5$，则$y=-2 - (-5)=3$，符合要求，故$x=-5,y=3$。
第四步：代入计算
将$x=-5,y=3$代入$-x^2 +8xy -4y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=-(-5)^2 +8×(-5)×3 -4×3^2\\&=-25 -120 -36\\&=-181\end{aligned}$
【答案】
$-181$
【知识点】
整式的加减运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，解题核心是先化简再求值，可有效降低计算复杂度，需要注意去括号时的符号变化，以及根据约束条件筛选未知数的正确取值，避免多解漏算。
【难度系数】
0.7
这是整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先对含有A、B的代数式去括号、合并同类项，化简为最简的A、B表达式；第二步将A、B的代数式代入化简后的式子，再次合并同类项，得到仅含x、y的最简整式；第三步根据已知的$|x|=5$、$y^2=9$和$x+y=-2$的条件，筛选出符合要求的x、y取值，最后代入最简整式计算结果即可。先化简再代值能大幅减少计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简含A、B的原式
$\begin{aligned}3A - [(2A - B) -4(A - B)]&=3A - (2A - B -4A +4B)\\&=3A - (-2A + 3B)\\&=3A +2A -3B\\&=5A -3B\end{aligned}$
第二步：代入A、B的表达式并化简
将$A=x^2 - 2xy + y^2$，$B=2x^2 -6xy +3y^2$代入得：
$\begin{aligned}5A -3B&=5(x^2 - 2xy + y^2) - 3(2x^2 -6xy +3y^2)\\&=5x^2 -10xy +5y^2 -6x^2 +18xy -9y^2\\&=-x^2 +8xy -4y^2\end{aligned}$
第三步：确定x、y的取值
由$|x|=5$得$x=5$或$x=-5$；由$y^2=9$得$y=3$或$y=-3$。
结合$x+y=-2$验证：
若$x=5$，则$y=-2-5=-7$，不符合y的取值范围，舍去；
若$x=-5$，则$y=-2 - (-5)=3$，符合要求，故$x=-5,y=3$。
第四步：代入计算
将$x=-5,y=3$代入$-x^2 +8xy -4y^2$得：
$\begin{aligned}原式&=-(-5)^2 +8×(-5)×3 -4×3^2\\&=-25 -120 -36\\&=-181\end{aligned}$
【答案】
$-181$
【知识点】
整式的加减运算，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，解题核心是先化简再求值，可有效降低计算复杂度，需要注意去括号时的符号变化，以及根据约束条件筛选未知数的正确取值，避免多解漏算。
【难度系数】
0.7
素养 运算能力(整体思想)
在进行多项式的运算时,常用到的一种数学思想是整体思想.整体思想就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的思想方法.在本章中,常用于整体代入求整式的值.
例(1)已知$a-b=-3$,求$3(a-b)-a+b+5$的值;
(2)已知$x^2-2y-5=0$,求$3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y$的值.
在进行多项式的运算时,常用到的一种数学思想是整体思想.整体思想就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的思想方法.在本章中,常用于整体代入求整式的值.
例(1)已知$a-b=-3$,求$3(a-b)-a+b+5$的值;
(2)已知$x^2-2y-5=0$,求$3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y$的值.
答案
解:(1)原式=2(a-b)+5. 因为$a-b=-3$,所以原式=-1;
(2)原式=2($x^2-2y$). 因为$x^2-2y-5=0$,所以$x^2-2y=5$,所以原式=10.
(2)原式=2($x^2-2y$). 因为$x^2-2y-5=0$,所以$x^2-2y=5$,所以原式=10.
解析
【分析】
本题考查整体思想在整式求值中的应用，解题思路如下：
(1) 观察已知条件给出$a-b=-3$，待求式中含有$a-b$结构，先对待求式变形，将$-a+b$转化为$-(a-b)$，合并同类项后得到含$a-b$的整体式子，再代入已知值计算即可。
(2) 先将待求整式去括号、合并同类项，化简后变形为含有$x^2-2y$的结构，再根据已知条件求出$x^2-2y$的值，整体代入计算即可。
【解析】
(1) 对$3(a-b)-a+b+5$变形：
$=3(a-b)-(a-b)+5$
合并同类项得：
$=2(a-b)+5$
将$a-b=-3$代入上式：
$=2×(-3)+5=-6+5=-1$
(2) 先化简$3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y$：
去括号得：
$=3x^2-6xy -x^2 +6xy -4y$
合并同类项：
$=(3x^2 -x^2)+(-6xy+6xy)-4y$
$=2x^2 -4y$
提取公因式得：
$=2(x^2-2y)$
由$x^2-2y-5=0$可得$x^2-2y=5$，代入上式：
$=2×5=10$
【答案】
(1) $-1$；(2) $10$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题是整式求值的典型题型，核心是运用整体思想简化运算，无需计算单个字母的取值，只需将待求式变形为与已知条件匹配的整体结构即可代入求解，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查整体思想在整式求值中的应用，解题思路如下：
(1) 观察已知条件给出$a-b=-3$，待求式中含有$a-b$结构，先对待求式变形，将$-a+b$转化为$-(a-b)$，合并同类项后得到含$a-b$的整体式子，再代入已知值计算即可。
(2) 先将待求整式去括号、合并同类项，化简后变形为含有$x^2-2y$的结构，再根据已知条件求出$x^2-2y$的值，整体代入计算即可。
【解析】
(1) 对$3(a-b)-a+b+5$变形：
$=3(a-b)-(a-b)+5$
合并同类项得：
$=2(a-b)+5$
将$a-b=-3$代入上式：
$=2×(-3)+5=-6+5=-1$
(2) 先化简$3(x^2-2xy)-(x^2-6xy)-4y$：
去括号得：
$=3x^2-6xy -x^2 +6xy -4y$
合并同类项：
$=(3x^2 -x^2)+(-6xy+6xy)-4y$
$=2x^2 -4y$
提取公因式得：
$=2(x^2-2y)$
由$x^2-2y-5=0$可得$x^2-2y=5$，代入上式：
$=2×5=10$
【答案】
(1) $-1$；(2) $10$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题是整式求值的典型题型，核心是运用整体思想简化运算，无需计算单个字母的取值，只需将待求式变形为与已知条件匹配的整体结构即可代入求解，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
