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1. 某月的月历如图所示,任意选取横行相邻的3个数(如图中阴影部分),则这3个数的和不可能是 (
A.6
B.18
C.87
D.16
D
)A.6
B.18
C.87
D.16
答案
1. D
解析
【分析】
首先观察月历中横行相邻数字的特点：横行相邻两个数相差1，我们可以设中间的数为x，那么前一个数为x-1，后一个数为x+1，将三个数相加化简后可发现和是3的倍数，因此只需判断选项中的数是否为3的倍数，再结合月历中数字的实际范围验证即可。
【解析】
设横行相邻3个数中间的数为x，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$。
三个数的和为：$(x-1)+x+(x+1)=3x$，即三个数的和一定是3的倍数。
逐一分析选项：
A选项：若$3x=6$，解得$x=2$，三个数为1、2、3，符合月历实际，存在；
B选项：若$3x=18$，解得$x=6$，三个数为5、6、7，符合月历实际，存在；
C选项：若$3x=87$，解得$x=29$，三个数为28、29、30，符合月历实际，存在；
D选项：16不是3的倍数，不可能是这三个数的和。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式加减
【点评】
本题考查月历中的数字规律问题，解题关键是抓住横行相邻数差为1的特征，通过设未知数推导得到三个数的和是3的倍数这一核心结论，即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
首先观察月历中横行相邻数字的特点：横行相邻两个数相差1，我们可以设中间的数为x，那么前一个数为x-1，后一个数为x+1，将三个数相加化简后可发现和是3的倍数，因此只需判断选项中的数是否为3的倍数，再结合月历中数字的实际范围验证即可。
【解析】
设横行相邻3个数中间的数为x，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$。
三个数的和为：$(x-1)+x+(x+1)=3x$，即三个数的和一定是3的倍数。
逐一分析选项：
A选项：若$3x=6$，解得$x=2$，三个数为1、2、3，符合月历实际，存在；
B选项：若$3x=18$，解得$x=6$，三个数为5、6、7，符合月历实际，存在；
C选项：若$3x=87$，解得$x=29$，三个数为28、29、30，符合月历实际，存在；
D选项：16不是3的倍数，不可能是这三个数的和。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式加减
【点评】
本题考查月历中的数字规律问题，解题关键是抓住横行相邻数差为1的特征，通过设未知数推导得到三个数的和是3的倍数这一核心结论，即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
2. 某月的月历如图所示，任意选择“田”字形的4个数（如图中阴影部分），设左上角的数为$ a $，则下列叙述中正确的是（
A.右上角的数为$ a-1 $
B.左下角的数为$ a+8 $
C.右下角的数为$ a+7 $
D.所选的4个数相加，结果是4的倍数
D
）A.右上角的数为$ a-1 $
B.左下角的数为$ a+8 $
C.右下角的数为$ a+7 $
D.所选的4个数相加，结果是4的倍数
答案
2. D
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。已知田字形左上角的数为$a$，先根据规律推导另外三个数的表达式，再逐一判断选项的正误，最后计算四个数的和验证其特征即可。
【解析】
根据月历数字排列规律，若左上角数为$a$：
1. 右上角的数与$a$同一行，在$a$右侧，应为$a+1$，故A选项错误；
2. 左下角的数与$a$同一列，在$a$下一行，应为$a+7$，故B选项错误；
3. 右下角的数可看作右上角的数向下一行，即$(a+1)+7=a+8$，也可看作左下角的数向右一格，即$(a+7)+1=a+8$，故C选项错误；
4. 四个数的和为：$a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16=4(a+4)$，结果是4的倍数，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算
【点评】
本题属于数字规律探究类题目，解题关键是掌握月历的数字排列特点，通过代数式表示各数后结合运算验证结论，难度较低。
【难度系数】
0.75
首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。已知田字形左上角的数为$a$，先根据规律推导另外三个数的表达式，再逐一判断选项的正误，最后计算四个数的和验证其特征即可。
【解析】
根据月历数字排列规律，若左上角数为$a$：
1. 右上角的数与$a$同一行，在$a$右侧，应为$a+1$，故A选项错误；
2. 左下角的数与$a$同一列，在$a$下一行，应为$a+7$，故B选项错误；
3. 右下角的数可看作右上角的数向下一行，即$(a+1)+7=a+8$，也可看作左下角的数向右一格，即$(a+7)+1=a+8$，故C选项错误；
4. 四个数的和为：$a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16=4(a+4)$，结果是4的倍数，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算
【点评】
本题属于数字规律探究类题目，解题关键是掌握月历的数字排列特点，通过代数式表示各数后结合运算验证结论，难度较低。
【难度系数】
0.75
3. 某月的月历如图所示，从中用“U”形框任意选取7个数（如图中阴影部分），请你运用所学的数学知识来探究，这7个数的和不可能是 (
A.78
B.70
C.84
D.105
A
)A.78
B.70
C.84
D.105
答案
3. A
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历的数字规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们可以通过设未知数的方式表示出U形框中的7个数，再对这7个数求和，找到和的数字特征，最后结合选项判断哪个数不符合该特征即可。
【解析】
设U形框最上方一行中间的数为$x$，则其余6个数分别为：
最上方一行左右两个数：$x-1$，$x+1$；
第二行左右两个数：$(x-1)+7=x+6$，$(x+1)+7=x+8$；
第三行左右两个数：$(x+6)+7=x+13$，$(x+8)+7=x+15$。
这7个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+8)+(x+13)+(x+15)\\=&x-1+x+x+1+x+6+x+8+x+13+x+15\\=&7x + 42\\=&7(x+6)\end{aligned}$
由此可知，这7个数的和一定是7的倍数。
对各选项逐一判断：
A选项：$78÷7\approx11.14$，不是整数，即78不是7的倍数，符合题意；
B选项：$70÷7=10$，是7的倍数，不符合题意；
C选项：$84÷7=12$，是7的倍数，不符合题意；
D选项：$105÷7=15$，是7的倍数，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，整式的加减，规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类题目，解题的关键是抓住月历中数字的行列差的特点，通过设参数、化简求和得到7个数和的特征，即可快速判断选项，这类题能有效考查观察归纳和代数运算的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确月历的数字规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们可以通过设未知数的方式表示出U形框中的7个数，再对这7个数求和，找到和的数字特征，最后结合选项判断哪个数不符合该特征即可。
【解析】
设U形框最上方一行中间的数为$x$，则其余6个数分别为：
最上方一行左右两个数：$x-1$，$x+1$；
第二行左右两个数：$(x-1)+7=x+6$，$(x+1)+7=x+8$；
第三行左右两个数：$(x+6)+7=x+13$，$(x+8)+7=x+15$。
这7个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+8)+(x+13)+(x+15)\\=&x-1+x+x+1+x+6+x+8+x+13+x+15\\=&7x + 42\\=&7(x+6)\end{aligned}$
由此可知，这7个数的和一定是7的倍数。
对各选项逐一判断：
A选项：$78÷7\approx11.14$，不是整数，即78不是7的倍数，符合题意；
B选项：$70÷7=10$，是7的倍数，不符合题意；
C选项：$84÷7=12$，是7的倍数，不符合题意；
D选项：$105÷7=15$，是7的倍数，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
月历数字规律，整式的加减，规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类题目，解题的关键是抓住月历中数字的行列差的特点，通过设参数、化简求和得到7个数和的特征，即可快速判断选项，这类题能有效考查观察归纳和代数运算的能力。
【难度系数】
0.8
请同学们根据课本 P106 页“活动 2”中的方法分别表示三位数、四位数、五位数、六位数等，并继续研究这些数满足什么条件时能被 3 整除.
答案
解：
1. 三位数的表示与整除条件：
设三位数的百位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），个位数字为$c$（$0≤ c≤9$，且$c$为整数），则该三位数可表示为：
$100a + 10b + c$
变形得：
$100a+10b+c = 99a + 9b + (a+b+c) = 3(33a+3b) + (a+b+c)$
其中$3(33a+3b)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当三位数各数位数字之和$a+b+c$能被3整除时，这个三位数能被3整除。
2. 四位数的表示与整除条件：
设四位数的千位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），百位数字为$b$，十位数字为$c$，个位数字为$d$（$b,c,d$均为0~9的整数），则该四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10c + d$
变形得：
$1000a+100b+10c+d = 999a + 99b + 9c + (a+b+c+d) = 3(333a+33b+3c) + (a+b+c+d)$
其中$3(333a+33b+3c)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当四位数各数位数字之和$a+b+c+d$能被3整除时，这个四位数能被3整除。
3. 五位数的表示与整除条件：
设五位数的万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e$（均为0~9的整数），则该五位数可表示为：
$10000a + 1000b + 100c + 10d + e$
变形得：
$10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a+b+c+d+e) = 3(3333a+333b+33c+3d) + (a+b+c+d+e)$
其中$3(3333a+333b+33c+3d)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当五位数各数位数字之和$a+b+c+d+e$能被3整除时，这个五位数能被3整除。
4. 六位数的表示与整除条件：
设六位数的十万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），万位、千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e,f$（均为0~9的整数），则该六位数可表示为：
$100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$
变形得：
$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f = 99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e + (a+b+c+d+e+f) = 3(33333a+3333b+333c+333d+3e) + (a+b+c+d+e+f)$
其中$3(33333a+3333b+333c+333d+3e)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当六位数各数位数字之和$a+b+c+d+e+f$能被3整除时，这个六位数能被3整除。
综上可得：任意一个多位正整数，所有数位上的数字之和能被3整除时，这个数本身就可以被3整除。
1. 三位数的表示与整除条件：
设三位数的百位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），个位数字为$c$（$0≤ c≤9$，且$c$为整数），则该三位数可表示为：
$100a + 10b + c$
变形得：
$100a+10b+c = 99a + 9b + (a+b+c) = 3(33a+3b) + (a+b+c)$
其中$3(33a+3b)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当三位数各数位数字之和$a+b+c$能被3整除时，这个三位数能被3整除。
2. 四位数的表示与整除条件：
设四位数的千位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），百位数字为$b$，十位数字为$c$，个位数字为$d$（$b,c,d$均为0~9的整数），则该四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10c + d$
变形得：
$1000a+100b+10c+d = 999a + 99b + 9c + (a+b+c+d) = 3(333a+33b+3c) + (a+b+c+d)$
其中$3(333a+33b+3c)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当四位数各数位数字之和$a+b+c+d$能被3整除时，这个四位数能被3整除。
3. 五位数的表示与整除条件：
设五位数的万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e$（均为0~9的整数），则该五位数可表示为：
$10000a + 1000b + 100c + 10d + e$
变形得：
$10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a+b+c+d+e) = 3(3333a+333b+33c+3d) + (a+b+c+d+e)$
其中$3(3333a+333b+33c+3d)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当五位数各数位数字之和$a+b+c+d+e$能被3整除时，这个五位数能被3整除。
4. 六位数的表示与整除条件：
设六位数的十万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），万位、千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e,f$（均为0~9的整数），则该六位数可表示为：
$100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$
变形得：
$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f = 99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e + (a+b+c+d+e+f) = 3(33333a+3333b+333c+333d+3e) + (a+b+c+d+e+f)$
其中$3(33333a+3333b+333c+333d+3e)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当六位数各数位数字之和$a+b+c+d+e+f$能被3整除时，这个六位数能被3整除。
综上可得：任意一个多位正整数，所有数位上的数字之和能被3整除时，这个数本身就可以被3整除。
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①先正确用字母表示多位数：多位数的每一位数字对应不同的计数单位，最高位数字范围是1~9，其余数位为0~9，将各数字乘对应计数单位相加即可得到多位数的表达式；②对表达式做拆项变形，把计数单位拆为“9、99、999……+1”的形式，由于9、99等数都是3的倍数，拆分后整个式子可分为两部分：一部分是3的倍数（必然能被3整除），另一部分是所有数位的数字之和；③根据整除的性质，若两数之和能被3整除，其中一个加数已为3的倍数，则另一个加数也需为3的倍数，即可推出多位数能被3整除的条件。
【解析】
1. 三位数的表示与整除条件：
设三位数的百位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），个位数字为$c$（$0≤ c≤9$，且$c$为整数），则该三位数可表示为：
$100a + 10b + c$
变形得：
$100a+10b+c = 99a + 9b + (a+b+c) = 3(33a+3b) + (a+b+c)$
其中$3(33a+3b)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当三位数各数位数字之和$a+b+c$能被3整除时，这个三位数能被3整除。
2. 四位数的表示与整除条件：
设四位数的千位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），百位数字为$b$，十位数字为$c$，个位数字为$d$（$b,c,d$均为0~9的整数），则该四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10c + d$
变形得：
$1000a+100b+10c+d = 999a + 99b + 9c + (a+b+c+d) = 3(333a+33b+3c) + (a+b+c+d)$
其中$3(333a+33b+3c)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当四位数各数位数字之和$a+b+c+d$能被3整除时，这个四位数能被3整除。
3. 五位数的表示与整除条件：
设五位数的万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e$（均为0~9的整数），则该五位数可表示为：
$10000a + 1000b + 100c + 10d + e$
变形得：
$10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a+b+c+d+e) = 3(3333a+333b+33c+3d) + (a+b+c+d+e)$
其中$3(3333a+333b+33c+3d)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当五位数各数位数字之和$a+b+c+d+e$能被3整除时，这个五位数能被3整除。
4. 六位数的表示与整除条件：
设六位数的十万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），万位、千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e,f$（均为0~9的整数），则该六位数可表示为：
$100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$
变形得：
$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f = 99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e + (a+b+c+d+e+f) = 3(33333a+3333b+333c+33d+3e) + (a+b+c+d+e+f)$
其中$3(33333a+3333b+333c+33d+3e)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当六位数各数位数字之和$a+b+c+d+e+f$能被3整除时，这个六位数能被3整除。
综上可得：任意一个多位正整数，所有数位上的数字之和能被3整除时，这个数本身就可以被3整除。
【答案】
1. 三位数表示为$100a+10b+c$，当$a+b+c$能被3整除时该数可被3整除；
2. 四位数表示为$1000a+100b+10c+d$，当$a+b+c+d$能被3整除时该数可被3整除；
3. 五位数表示为$10000a+1000b+100c+10d+e$，当$a+b+c+d+e$能被3整除时该数可被3整除；
4. 六位数表示为$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f$，当$a+b+c+d+e+f$能被3整除时该数可被3整除；
普遍规律：任意多位正整数，若所有数位上的数字之和能被3整除，则这个数本身能被3整除。
【知识点】
多位数的表示、整式加减变形、数的整除特征
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究思路，对不同位数的正整数进行代数变形推导，既总结了能被3整除的数的判断规律，也锻炼了逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①先正确用字母表示多位数：多位数的每一位数字对应不同的计数单位，最高位数字范围是1~9，其余数位为0~9，将各数字乘对应计数单位相加即可得到多位数的表达式；②对表达式做拆项变形，把计数单位拆为“9、99、999……+1”的形式，由于9、99等数都是3的倍数，拆分后整个式子可分为两部分：一部分是3的倍数（必然能被3整除），另一部分是所有数位的数字之和；③根据整除的性质，若两数之和能被3整除，其中一个加数已为3的倍数，则另一个加数也需为3的倍数，即可推出多位数能被3整除的条件。
【解析】
1. 三位数的表示与整除条件：
设三位数的百位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），个位数字为$c$（$0≤ c≤9$，且$c$为整数），则该三位数可表示为：
$100a + 10b + c$
变形得：
$100a+10b+c = 99a + 9b + (a+b+c) = 3(33a+3b) + (a+b+c)$
其中$3(33a+3b)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当三位数各数位数字之和$a+b+c$能被3整除时，这个三位数能被3整除。
2. 四位数的表示与整除条件：
设四位数的千位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），百位数字为$b$，十位数字为$c$，个位数字为$d$（$b,c,d$均为0~9的整数），则该四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10c + d$
变形得：
$1000a+100b+10c+d = 999a + 99b + 9c + (a+b+c+d) = 3(333a+33b+3c) + (a+b+c+d)$
其中$3(333a+33b+3c)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当四位数各数位数字之和$a+b+c+d$能被3整除时，这个四位数能被3整除。
3. 五位数的表示与整除条件：
设五位数的万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e$（均为0~9的整数），则该五位数可表示为：
$10000a + 1000b + 100c + 10d + e$
变形得：
$10000a+1000b+100c+10d+e = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a+b+c+d+e) = 3(3333a+333b+33c+3d) + (a+b+c+d+e)$
其中$3(3333a+333b+33c+3d)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当五位数各数位数字之和$a+b+c+d+e$能被3整除时，这个五位数能被3整除。
4. 六位数的表示与整除条件：
设六位数的十万位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），万位、千位、百位、十位、个位数字分别为$b,c,d,e,f$（均为0~9的整数），则该六位数可表示为：
$100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$
变形得：
$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f = 99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e + (a+b+c+d+e+f) = 3(33333a+3333b+333c+33d+3e) + (a+b+c+d+e+f)$
其中$3(33333a+3333b+333c+33d+3e)$是3的倍数，一定能被3整除，因此当六位数各数位数字之和$a+b+c+d+e+f$能被3整除时，这个六位数能被3整除。
综上可得：任意一个多位正整数，所有数位上的数字之和能被3整除时，这个数本身就可以被3整除。
【答案】
1. 三位数表示为$100a+10b+c$，当$a+b+c$能被3整除时该数可被3整除；
2. 四位数表示为$1000a+100b+10c+d$，当$a+b+c+d$能被3整除时该数可被3整除；
3. 五位数表示为$10000a+1000b+100c+10d+e$，当$a+b+c+d+e$能被3整除时该数可被3整除；
4. 六位数表示为$100000a+10000b+1000c+100d+10e+f$，当$a+b+c+d+e+f$能被3整除时该数可被3整除；
普遍规律：任意多位正整数，若所有数位上的数字之和能被3整除，则这个数本身能被3整除。
【知识点】
多位数的表示、整式加减变形、数的整除特征
【点评】
本题通过从特殊到一般的探究思路，对不同位数的正整数进行代数变形推导，既总结了能被3整除的数的判断规律，也锻炼了逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
