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3. 如图,月历中“田”字形(第一个图中阴影部分)和倒“Z”字形(第二个图中阴影部分)的4个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
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日 一 二 三 四 五 六
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日 一 二 三 四 五 六
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答案
3. 解：
$\begin{array}{|c|c|}\hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline\end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
解析
【分析】
解题前先明确月历的基本数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们先针对“田”字形，设左上角的数为a，根据月历规律表示出其余三个位置的数，再通过计算各数的和寻找等量关系；再用同样的方法分析倒“Z”字形的四个数，通过代数式运算验证规律即可。
【解析】
1. 探究“田”字形规律：
设“田”字形左上角的数为$a$，根据月历数字排列特点：
同一行右侧的数比左侧大1，因此$a$右侧的数为$a+1$；
同一列下方的数比上方大7，因此$a$正下方的数为$a+7$，$a+1$正下方的数为$(a+1)+7=a+8$。
分别计算两组对角的和：
$a+(a+8)=2a+8$，$(a+1)+(a+7)=2a+8$，因此可得等式：$a+(a+8)=(a+1)+(a+7)$。
2. 探究倒“Z”字形规律：
观察倒“Z”字形的数字位置，设上方左侧的数为$a$，则上方右侧的数为$a+1$，$a$正下方的数为$a+7$，$a+7$左侧的数为$a+6$。
分别计算两端数字的和与中间两数的和：
$a+(a+7)=2a+7$，$(a+1)+(a+6)=2a+7$，因此可得等式：$a+(a+7)=(a+1)+(a+6)$。
【答案】
解：
$\begin{array}{|c|c|}\hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline\end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，需要先观察总结月历的数字排列特点，再通过字母表示数、代数式运算推导验证规律，能够有效培养观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确月历的基本数字排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们先针对“田”字形，设左上角的数为a，根据月历规律表示出其余三个位置的数，再通过计算各数的和寻找等量关系；再用同样的方法分析倒“Z”字形的四个数，通过代数式运算验证规律即可。
【解析】
1. 探究“田”字形规律：
设“田”字形左上角的数为$a$，根据月历数字排列特点：
同一行右侧的数比左侧大1，因此$a$右侧的数为$a+1$；
同一列下方的数比上方大7，因此$a$正下方的数为$a+7$，$a+1$正下方的数为$(a+1)+7=a+8$。
分别计算两组对角的和：
$a+(a+8)=2a+8$，$(a+1)+(a+7)=2a+8$，因此可得等式：$a+(a+8)=(a+1)+(a+7)$。
2. 探究倒“Z”字形规律：
观察倒“Z”字形的数字位置，设上方左侧的数为$a$，则上方右侧的数为$a+1$，$a$正下方的数为$a+7$，$a+7$左侧的数为$a+6$。
分别计算两端数字的和与中间两数的和：
$a+(a+7)=2a+7$，$(a+1)+(a+6)=2a+7$，因此可得等式：$a+(a+7)=(a+1)+(a+6)$。
【答案】
解：
$\begin{array}{|c|c|}\hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline\end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，需要先观察总结月历的数字排列特点，再通过字母表示数、代数式运算推导验证规律，能够有效培养观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,月历中“X”字形(如图中阴影部分)的5个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
4. 解：
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).
解析
【分析】
首先观察月历的数字排布特点：横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7。本题以“X”字形正中间的数为a，我们可以先根据月历的排布规律，写出其余四个位置的数与a的关系，再将五个数相加，通过整式的加减运算化简求和结果，即可总结出五个数之间的规律。
【解析】
设“X”字形正中间的数为a，根据月历的排列规律，其余四个数分别为：左上角$\boldsymbol{a-8}$，右上角$\boldsymbol{a-6}$，左下角$\boldsymbol{a+6}$，右下角$\boldsymbol{a+8}$。
计算这5个数的和：
$\begin{split}&(a-8)+(a-6)+a+(a+6)+(a+8)\\=&a-8+a-6+a+a+6+a+8\\=&5a\end{split}$
即5个数的和为5a，由此可得出对应规律。
【答案】
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究，需要先掌握月历的数字排布特点，用代数式表示出各位置的数后，通过整式加减运算即可推导得到规律，能有效锻炼归纳总结能力和代数式运算能力。
【难度系数】
0.8
首先观察月历的数字排布特点：横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7。本题以“X”字形正中间的数为a，我们可以先根据月历的排布规律，写出其余四个位置的数与a的关系，再将五个数相加，通过整式的加减运算化简求和结果，即可总结出五个数之间的规律。
【解析】
设“X”字形正中间的数为a，根据月历的排列规律，其余四个数分别为：左上角$\boldsymbol{a-8}$，右上角$\boldsymbol{a-6}$，左下角$\boldsymbol{a+6}$，右下角$\boldsymbol{a+8}$。
计算这5个数的和：
$\begin{split}&(a-8)+(a-6)+a+(a+6)+(a+8)\\=&a-8+a-6+a+a+6+a+8\\=&5a\end{split}$
即5个数的和为5a，由此可得出对应规律。
【答案】
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究，需要先掌握月历的数字排布特点，用代数式表示出各位置的数后，通过整式加减运算即可推导得到规律，能有效锻炼归纳总结能力和代数式运算能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图,月历中“工”字形(如图中阴影部分)的7个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
5. 解：
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline a-8 & a-7 & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & a+7 & a+8 \\ \hline\end{array}$
$(a-6)+(a+6)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)=7a.$
规律:“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline a-8 & a-7 & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & a+7 & a+8 \\ \hline\end{array}$
$(a-6)+(a+6)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)=7a.$
规律:“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍(答案不唯一).
解析
【分析】
首先观察月历的数字排列特点：同一行中相邻两个数相差1，同一列中上下两个数相差7。我们可以设“工”字形正中间的数为a，再根据上述排列规律分别表示出其余6个数字，最后将7个数字相加，通过整式的加减运算即可总结出规律。
【解析】
设“工”字形正中间的数为$a$，根据月历的数字排列规律可得：
“工”字形最上方一行的三个数从左到右依次为$a-8$、$a-7$、$a-6$，中间数为$a$，最下方一行的三个数从左到右依次为$a+6$、$a+7$、$a+8$。
计算7个数的和：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-7)+(a-6)+a+(a+6)+(a+7)+(a+8)\\=&a-8+a-7+a-6+a+a+6+a+7+a+8\\=&7a\end{aligned}$
【答案】
“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍，即7个数的和为$7a$（$a$为正中间的数，答案不唯一）
【知识点】
月历数字规律；列代数式；整式加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，需要先找到月历的基础数字排列规则，再通过设未知数、列式化简的方式推导通用规律，有助于提升观察归纳和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察月历的数字排列特点：同一行中相邻两个数相差1，同一列中上下两个数相差7。我们可以设“工”字形正中间的数为a，再根据上述排列规律分别表示出其余6个数字，最后将7个数字相加，通过整式的加减运算即可总结出规律。
【解析】
设“工”字形正中间的数为$a$，根据月历的数字排列规律可得：
“工”字形最上方一行的三个数从左到右依次为$a-8$、$a-7$、$a-6$，中间数为$a$，最下方一行的三个数从左到右依次为$a+6$、$a+7$、$a+8$。
计算7个数的和：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-7)+(a-6)+a+(a+6)+(a+7)+(a+8)\\=&a-8+a-7+a-6+a+a+6+a+7+a+8\\=&7a\end{aligned}$
【答案】
“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍，即7个数的和为$7a$（$a$为正中间的数，答案不唯一）
【知识点】
月历数字规律；列代数式；整式加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查规律探究能力，需要先找到月历的基础数字排列规则，再通过设未知数、列式化简的方式推导通用规律，有助于提升观察归纳和代数应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,月历中阴影部分的15个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.
答案
6. 解：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline\end{array}$
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a.$
规律:题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一).
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline\end{array}$
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a.$
规律:题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一).
解析
【分析】
我们观察月历可先得到基础排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。要找阴影15个数的规律，我们可以选取这15个数字的正中间数设为a，再根据月历的基础排列规律，把剩下14个数字都用含a的代数式表示，最后将15个数相加化简，就能得到15个数和与中间数a的关系。
【解析】
设阴影部分正中间的数为$a$，根据月历的数字排列规律，其余14个数可表示为：
第一行5个数：$a-9$，$a-8$，$a-7$，$a-6$，$a-5$
第二行5个数：$a-2$，$a-1$，$a$，$a+1$，$a+2$
第三行5个数：$a+5$，$a+6$，$a+7$，$a+8$，$a+9$
计算15个数的和：
$\begin{aligned}&(a-9)+(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-5)+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+(a+5)+(a+6)+(a+7)+(a+8)+(a+9)\\=&15a+(-9+9)+(-8+8)+(-7+7)+(-6+6)+(-5+5)+(-2+2)+(-1+1)\\=&15a\end{aligned}$
【答案】
阴影部分的15个数之和等于正中间数的15倍，用式子表示为15个数的和为$15a$（$a$为阴影部分正中间的数）（答案不唯一）
【知识点】
列代数式；整式的加减；数字规律探究
【点评】
本题属于生活中的数字规律探究题，核心方法是通过设中间量表示其余数字，再通过整式加减化简得到规律，掌握这类方法可以解决大多数网格类数字规律问题。
【难度系数】
0.7
我们观察月历可先得到基础排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下相邻两个数相差7。要找阴影15个数的规律，我们可以选取这15个数字的正中间数设为a，再根据月历的基础排列规律，把剩下14个数字都用含a的代数式表示，最后将15个数相加化简，就能得到15个数和与中间数a的关系。
【解析】
设阴影部分正中间的数为$a$，根据月历的数字排列规律，其余14个数可表示为：
第一行5个数：$a-9$，$a-8$，$a-7$，$a-6$，$a-5$
第二行5个数：$a-2$，$a-1$，$a$，$a+1$，$a+2$
第三行5个数：$a+5$，$a+6$，$a+7$，$a+8$，$a+9$
计算15个数的和：
$\begin{aligned}&(a-9)+(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-5)+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+(a+5)+(a+6)+(a+7)+(a+8)+(a+9)\\=&15a+(-9+9)+(-8+8)+(-7+7)+(-6+6)+(-5+5)+(-2+2)+(-1+1)\\=&15a\end{aligned}$
【答案】
阴影部分的15个数之和等于正中间数的15倍，用式子表示为15个数的和为$15a$（$a$为阴影部分正中间的数）（答案不唯一）
【知识点】
列代数式；整式的加减；数字规律探究
【点评】
本题属于生活中的数字规律探究题，核心方法是通过设中间量表示其余数字，再通过整式加减化简得到规律，掌握这类方法可以解决大多数网格类数字规律问题。
【难度系数】
0.7
