7. 如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA.
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

7.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD//BC.
∴∠AMB=∠EAF. 又
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠AFE.
∴△ABM∽△EFA. (2)
∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM=$\sqrt{12^2+5^2}$=13,AD=12.
∵F是AM的中点,
∴AF=$\frac{1}{2}$AM=6.5.
∵△ABM∽△EFA,
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{EA}$,即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{EA}$,解得EA=16. 9.
∴DE=EA-AD=4.9.

【分析】
(1)要证明△ABM∽△EFA，首先结合正方形的性质找相等的角：正方形ABCD中∠B为直角，且AD//BC可得内错角∠AMB=∠EAF；再由EF⊥AM得∠AFE=90°，即可得到两组对应角相等，满足两角分别相等的两个三角形相似的判定条件。
(2)求DE的长，首先在Rt△ABM中用勾股定理算出AM的长度，结合F是AM中点得到AF的长度；再利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例，求出AE的长度，最后DE=AE-AD（AD等于正方形边长AB）即可算出结果。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又
∵EF⊥AM，垂足为F，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA。
(2)解：
∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=$\sqrt{12^2+5^2}$=13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{EA}$，即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{EA}$，解得EA=16.9，
∴DE=EA-AD=16.9-12=4.9。
【答案】
(1)△ABM∽△EFA得证；(2)DE的长为4.9
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用正方形的性质找到相似三角形的对应等角，再结合勾股定理和相似三角形的边角关系求解线段长度，是相似章节的典型常考题，需要熟练掌握相似的判定及性质的应用。
【难度系数】
0.7

8.“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例进行分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形“黄金格”的边长为4 cm，则四个黄金分割点组成的正方形的边长为 cm.
（注：黄金分割比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）

8.$(4\sqrt{5}-8)$

【分析】
解题时首先明确黄金分割的定义：线段上的黄金分割点将线段分成长、短两段，长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中正方形边上共有2个黄金分割点，两条竖分割线的水平间距、两条横分割线的竖直间距都等于同一条边上两个黄金分割点的距离，该距离就是四个分割点组成的正方形的边长。解题步骤为：先计算边长为4cm的线段被黄金分割后得到的长、短段长度，再求同一边上两个黄金分割点的间距，即可得到所求正方形的边长。
【解析】
已知正方形“黄金格”的边长为4cm，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$：
1. 计算边长为4cm的线段被黄金分割后的较长段长度：
$4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
2. 计算较短线段的长度：
$4 - 2(\sqrt{5}-1)=6-2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
3. 同一条边上两个黄金分割点的间距为长段减短段，也就是所求小正方形的边长：
$2(\sqrt{5}-1)-(6-2\sqrt{5})=2\sqrt{5}-2-6+2\sqrt{5}=4\sqrt{5}-8\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(4\sqrt{5}-8)$
【知识点】
黄金分割、正方形的性质
【点评】
本题结合传统书法的楷书结构规则考查黄金分割的实际应用，将几何知识和生活场景结合，解题的核心是准确理解黄金分割的比例关系，明确所求边长和边上黄金分割点间距的对应关系，计算过程需要注意二次根式的运算规则。
【难度系数】
0.6

9. 如图，$CD=3BD$，$AF=FD$，则$AE:AC=$.

9. 1:5

【分析】
本题要求AE与AC的比值，已知AF=FD（F是AD中点）、CD=3BD，可通过作平行线构造全等三角形和相似三角形求解：首先过D作AC的平行线交BE于G，利用AAS证明△AFE和△DFG全等，将AE转化为DG；再根据平行线判定△BDG与△BCE相似，结合已知的BD与CD的关系求出相似比，得到DG与EC的比值，最后推导AE与AC的比例关系。
【解析】
过点D作$DG// AC$，交BE于点G。
1. 证明$△ AFE ≌ △ DFG$：
∵ $DG// AC$，
∴ $∠ FAE = ∠ FDG$（两直线平行，内错角相等）
又
∵ $AF=FD$，$∠ AFE = ∠ DFG$（对顶角相等）
∴ $△ AFE ≌ △ DFG$（AAS），
∴ $AE=DG$。
2. 证明$△ BDG ∼ △ BCE$：
∵ $DG// AC$，即$DG// EC$，
∴ $△ BDG ∼ △ BCE$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
3. 求线段比值：
已知$CD=3BD$，则$BC=BD+CD=BD+3BD=4BD$，
∴ $△ BDG$与$△ BCE$的相似比为$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴ $\frac{DG}{EC}=\frac{1}{4}$，即$EC=4DG$。
结合$AE=DG$，得$EC=4AE$，
∴ $AC=AE+EC=AE+4AE=5AE$，
∴ $AE:AC=1:5$。
【答案】
$1:5$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是线段比例求解的典型题型，解题核心是通过作平行线构造全等、相似三角形，将未知线段比和已知线段比建立关联，掌握此类辅助线的构造技巧可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.6

10.已知下列图中的虚线均为平行线,则线段a,b,c,d的数量关系为ab=cd的是 ()

10.C

【分析】
要判断哪个选项满足$ab=cd$，我们可以结合平行线分线段成比例定理、相似三角形对应边成比例的性质，对每个选项分别推导线段的比例关系，再将比例式交叉相乘，和$ab=cd$对比即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由平行线分线段成比例可得$\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}$，交叉相乘得$a(b+d)=b(a+c)$，化简得$ad=bc$，不符合要求。
选项B：根据三条平行线截两条直线，对应线段成比例，可得$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，交叉相乘得$ad=bc$，不符合要求。
选项C：由上下两条虚线平行，可得对顶的两个三角形相似，对应边成比例$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$，交叉相乘得$ab=cd$，符合要求。
选项D：由平行线分线段成比例可得$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{d}$，交叉相乘得$ad=c(a+b)$，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题核心是利用平行线相关的比例性质推导线段关系，解题时需准确对应成比例的线段，再通过比例的基本性质转化为乘积式验证即可，属于基础类的相似应用题型。
【难度系数】
0.7

11.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,两个正方形在原点O同侧,点A,B,E在x轴上,其余顶点在第一象限.若正方形ABCD的边长为2,则点F的坐标为（）

A.(9,6)
B.(3,2)
C.(6,9)
D.(2,3)

11.A

【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似图形对应点连线经过位似中心，对应线段的比等于相似比。解题时第一步先根据相似比和小正方形边长求出大正方形的边长；第二步利用位似对应点O、C、F共线的特征，得到两点坐标满足过原点直线的比例关系，建立OB与OE的等式；第三步结合BE是大正方形边长求出OB的长度，最终推导得到点F的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD与正方形BEFG以O为位似中心位似，相似比为$\frac{1}{3}$，正方形ABCD边长为2，
∴正方形BEFG的边长为$2×3=6$，即$BE=EF=6$。
∵O、C、F是位似对应点，三点共线，点C坐标为$(OB,2)$，点F坐标为$(OE,6)$，两点均在过原点的直线上，
∴两点纵、横坐标的比值相等，即$\frac{2}{OB}=\frac{6}{OE}$，化简得$OE=3OB$。
又
∵$BE=OE-OB=6$，代入$OE=3OB$得$3OB-OB=6$，解得$OB=3$，
∴$OE=3×3=9$，即点F的坐标为$(9,6)$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是位似图形性质的基础应用题型，解题核心是抓住位似对应点共线的特征建立坐标比例关系，难度较低，是图形相似章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

12. NEW 新考向·跨学科融合 如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】如图2,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜,手电筒的灯泡在点G处,灯泡到地面的高度AG=1.2 m,手电筒的光从平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,并落在墙上的点E处.点F到地面的高度CF=1.8 m,灯泡到木板的水平距离AC=6 m,木板到墙的水平距离为CD=4 m.图中点A,B,C,D在同一条直线上.

(1)求AB的长.
(2)求点E到地面的高度DE.

12.解:(1)根据题意,得∠CBF=∠ABG,∠FCB=∠GAB,AG=1.2 m,CF=1.8 m,AC=6 m,
∴△FCB∽△GAB.
∴$\frac{CF}{AG}=\frac{BC}{AB}$.
∴$\frac{1.8}{1.2}=\frac{6-AB}{AB}$.
∴AB=2.4 m. (2)由题意,得∠GAB=∠EDB,∠GBA=∠EBD,
∴△EDB∽△GAB.
∴$\frac{DE}{AG}=\frac{BD}{AB}$.
∴$\frac{DE}{1.2}=\frac{6+4-2.4}{2.4}$.
∴DE=3.8 m.

【分析】
本题是结合物理光的反射定律的几何应用题，解题思路如下：
（1）首先根据光的反射定律“反射角等于入射角”，可推出∠CBF=∠ABG，再结合CF、AG均垂直于地面，得到∠FCB=∠GAB=90°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证△FCB∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的AC长度，设AB为未知数列方程，即可求出AB的长度。
（2）同理，根据反射定律可得∠EBD=∠GBA，又DE和AG都垂直于地面，∠EDB=∠GAB=90°，可证△EDB∽△GAB，先求出BD的长度，再利用相似的比例关系即可求出DE的高度。
【解析】
(1) 根据光的反射定律可得$∠ CBF=∠ ABG$，
$\because CF⊥$地面，$AG⊥$地面，$\therefore ∠ FCB=∠ GAB=90°$，
$\therefore △ FCB ∽ △ GAB$，
$\therefore \frac{CF}{AG}=\frac{BC}{AB}$。
已知$AG=1.2\ \mathrm{m}$，$CF=1.8\ \mathrm{m}$，$AC=6\ \mathrm{m}$，故$BC=AC-AB=6-AB$，代入得：
$\frac{1.8}{1.2}=\frac{6-AB}{AB}$，
交叉相乘化简得$3AB=7.2$，解得$AB=2.4\ \mathrm{m}$。
(2) 根据光的反射定律可得$∠ EBD=∠ GBA$，
$\because DE⊥$地面，$AG⊥$地面，$\therefore ∠ EDB=∠ GAB=90°$，
$\therefore △ EDB ∽ △ GAB$，
$\therefore \frac{DE}{AG}=\frac{BD}{AB}$。
已知$CD=4\ \mathrm{m}$，故$BD=CD+AC-AB=4+6-2.4=7.6\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{DE}{1.2}=\frac{7.6}{2.4}$，
解得$DE=3.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB$的长为$2.4\ \mathrm{m}$；
(2) 点$E$到地面的高度$DE$为$3.8\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；光的反射定律
【点评】
本题为跨学科融合题型，将物理光学知识与数学相似三角形的实际应用相结合，解题核心是利用光的反射定律得到等角，进而证明三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，贴合生活实际，能有效考查知识的迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7