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回顾与思考(三) 图形的相似
大单元知识结构图
相似多边形
成比例线段→黄金分割
图形的位似
等比性质
平行线分线段成比例
判定
判定1：两角分别①
判定2：两边成比例且夹角②
判定3：三边成③
相似三角形
性质
1.相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于④
2.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的⑤
大单元知识结构图
相似多边形
成比例线段→黄金分割
图形的位似
等比性质
平行线分线段成比例
判定
判定1：两角分别①
相等
判定2：两边成比例且夹角②
相等
判定3：三边成③
比例
相似三角形
性质
1.相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于④
相似比
2.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的⑤
平方
答案
①相等 ②相等 ③比例 ④相似比 ⑤平方
解析
【分析】
本题为图形的相似单元的基础概念考查题，解题核心是熟练识记相似三角形的判定定理与性质内容。解题时可逐一对应空缺位置回忆相关知识点：首先回忆相似三角形的3条判定定理，对应填写前3个空；再回忆相似三角形的相关性质，对应填写后2个空即可。
【解析】
①根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，故此处填相等；
②根据相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此处填相等；
③根据相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似，故此处填比例；
④根据相似三角形的性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，故此处填相似比；
⑤根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故此处填平方。
【答案】
①相等 ②相等 ③比例 ④相似比 ⑤平方
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、相似图形基础
【点评】
本题是相似单元的基础题型，侧重考查核心概念的识记掌握情况，相关知识点是解决相似类几何综合题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题为图形的相似单元的基础概念考查题，解题核心是熟练识记相似三角形的判定定理与性质内容。解题时可逐一对应空缺位置回忆相关知识点：首先回忆相似三角形的3条判定定理，对应填写前3个空；再回忆相似三角形的相关性质，对应填写后2个空即可。
【解析】
①根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，故此处填相等；
②根据相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此处填相等；
③根据相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似，故此处填比例；
④根据相似三角形的性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，故此处填相似比；
⑤根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故此处填平方。
【答案】
①相等 ②相等 ③比例 ④相似比 ⑤平方
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、相似图形基础
【点评】
本题是相似单元的基础题型，侧重考查核心概念的识记掌握情况，相关知识点是解决相似类几何综合题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 下列各组线段的长度成比例的是 （
A.4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
D.25 cm,35 cm,45 cm,55 cm
C
）A.4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
D.25 cm,35 cm,45 cm,55 cm
答案
1.C
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的性质：若四条线段按从小到大排序为a、b、c、d，满足ad=bc，则这四条线段成比例。解题步骤为：1. 确认所有线段单位统一（本题均为cm，无需换算）；2. 将每个选项的四条线段按从小到大排序；3. 计算排序后最小线段与最长线段的乘积、中间两条线段的乘积，对比两个乘积是否相等，相等则为成比例线段。
【解析】
使用乘积法逐个验证选项：
A. 四条线段排序为：1cm，2cm，3cm，4cm。计算乘积：$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例；
B. 四条线段排序为：2cm，3cm，5cm，6cm。计算乘积：$2×6=12$，$3×5=15$，$12≠15$，不成比例；
C. 四条线段排序为：1cm，2cm，20cm，40cm。计算乘积：$1×40=40$，$2×20=40$，$40=40$，满足成比例条件；
D. 四条线段排序为：25cm，35cm，45cm，55cm。计算乘积：$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，不成比例。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，解题时注意先将线段排序再用乘积法验证，可大幅提高解题效率和准确率，避免直接按原顺序计算比例出现错误。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的性质：若四条线段按从小到大排序为a、b、c、d，满足ad=bc，则这四条线段成比例。解题步骤为：1. 确认所有线段单位统一（本题均为cm，无需换算）；2. 将每个选项的四条线段按从小到大排序；3. 计算排序后最小线段与最长线段的乘积、中间两条线段的乘积，对比两个乘积是否相等，相等则为成比例线段。
【解析】
使用乘积法逐个验证选项：
A. 四条线段排序为：1cm，2cm，3cm，4cm。计算乘积：$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例；
B. 四条线段排序为：2cm，3cm，5cm，6cm。计算乘积：$2×6=12$，$3×5=15$，$12≠15$，不成比例；
C. 四条线段排序为：1cm，2cm，20cm，40cm。计算乘积：$1×40=40$，$2×20=40$，$40=40$，满足成比例条件；
D. 四条线段排序为：25cm，35cm，45cm，55cm。计算乘积：$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，不成比例。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，解题时注意先将线段排序再用乘积法验证，可大幅提高解题效率和准确率，避免直接按原顺序计算比例出现错误。
【难度系数】
0.8
2. 已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，有两种常用解题思路：第一种是利用分式拆分规则，将待求式拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，也就是$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知的$\frac{a}{b}$的数值即可计算；第二种是参数法，根据$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$设$a=2k$、$b=3k$（$k≠0$），再代入待求式化简消去参数即可得到结果，两种方法均符合九年级知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一：分式拆分法
根据分式的运算规则可得：
$\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1$
将已知条件$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$代入上式：
原式$=\frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$
方法二：参数法
∵$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
∴可设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$，避免分母为0）
将$a=2k$、$b=3k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$
综上，本题答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题方法灵活，熟练掌握比例性质或参数法都可以快速求解，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.85
本题已知a与b的比值，求含a、b的分式的值，有两种常用解题思路：第一种是利用分式拆分规则，将待求式拆分为$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，也就是$\frac{a}{b}+1$，直接代入已知的$\frac{a}{b}$的数值即可计算；第二种是参数法，根据$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$设$a=2k$、$b=3k$（$k≠0$），再代入待求式化简消去参数即可得到结果，两种方法均符合九年级知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一：分式拆分法
根据分式的运算规则可得：
$\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1$
将已知条件$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$代入上式：
原式$=\frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$
方法二：参数法
∵$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
∴可设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$，避免分母为0）
将$a=2k$、$b=3k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$
综上，本题答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的性质、分式的运算
【点评】
本题属于比例相关的基础题型，解题方法灵活，熟练掌握比例性质或参数法都可以快速求解，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.85
3.如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠,使边DA落在边DC上,点A落在点H处,折痕为DE;使边CB落在边CD上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为
$\sqrt{2}+1$
.答案
3.$\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
解题时先根据折叠的性质得到相等线段，结合矩形对边相等的性质，用未知数表示出小矩形HEFG的边长；再利用相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程并结合实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
设$CD$的长为$x$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=1$，
∴ $BC=AD=1$。
由折叠的性质可得：$DH=AD=1$，$CG=BC=1$，$HE=AD=1$，且四边形$HEFG$为矩形，
∴ $HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2$。
∵ 矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，
∴ 两个矩形的长宽比相等，即$\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，
代入得：$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$，
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$（长度为正，舍去）。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是折叠与相似结合的典型题型，解题关键是利用折叠的性质找到线段间的数量关系，再结合相似的性质构建方程求解，解题时需注意相似多边形对应边的比例关系不要弄反，同时要舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.6
解题时先根据折叠的性质得到相等线段，结合矩形对边相等的性质，用未知数表示出小矩形HEFG的边长；再利用相似多边形对应边成比例的性质列出方程，求解方程并结合实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
设$CD$的长为$x$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=1$，
∴ $BC=AD=1$。
由折叠的性质可得：$DH=AD=1$，$CG=BC=1$，$HE=AD=1$，且四边形$HEFG$为矩形，
∴ $HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2$。
∵ 矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，
∴ 两个矩形的长宽比相等，即$\frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG}$，
代入得：$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-2}$，
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$（长度为正，舍去）。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是折叠与相似结合的典型题型，解题关键是利用折叠的性质找到线段间的数量关系，再结合相似的性质构建方程求解，解题时需注意相似多边形对应边的比例关系不要弄反，同时要舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.6
4. 如图,已知∠ACB=∠D=90°,下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是 (
A.AB//CD
B.BC平分∠ABD
C.∠ABC+∠DBC=90°
D.AB:BC=BD:CD
D
)A.AB//CD
B.BC平分∠ABD
C.∠ABC+∠DBC=90°
D.AB:BC=BD:CD
答案
4.D
解析
【分析】
已知△ABC和△BCD都是直角三角形，已经有一组直角∠ACB=∠D=90°相等，要判定二者相似，只需再找到一组对应角相等，或者两组对应边成比例即可。我们逐个分析每个选项的条件是否能推出相似的判定条件，最终选出不能判定相似的选项。
【解析】
已知∠ACB=∠D=90°，即两个三角形已有一组对应直角相等：
选项A：若AB//CD，根据平行线内错角相等可得∠ABC=∠BCD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项B：若BC平分∠ABD，则∠ABC=∠CBD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项C：若∠ABC+∠DBC=90°，在Rt△BCD中∠DBC+∠BCD=90°，根据同角的余角相等得∠ABC=∠BCD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项D：给出的比例AB:BC=BD:CD中，AB是△ABC的斜边，BC是△ABC的直角边，BD是△BCD的斜边，CD是△BCD的直角边，该比例的边对应关系不匹配，不符合相似三角形的边判定条件，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题核心考查直角三角形相似的判定，解题时要先确定已有的相等角，再结合各选项条件推导角相等或边成比例，其中边判定时需注意对应边的匹配关系，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
已知△ABC和△BCD都是直角三角形，已经有一组直角∠ACB=∠D=90°相等，要判定二者相似，只需再找到一组对应角相等，或者两组对应边成比例即可。我们逐个分析每个选项的条件是否能推出相似的判定条件，最终选出不能判定相似的选项。
【解析】
已知∠ACB=∠D=90°，即两个三角形已有一组对应直角相等：
选项A：若AB//CD，根据平行线内错角相等可得∠ABC=∠BCD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项B：若BC平分∠ABD，则∠ABC=∠CBD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项C：若∠ABC+∠DBC=90°，在Rt△BCD中∠DBC+∠BCD=90°，根据同角的余角相等得∠ABC=∠BCD，两组角对应相等，可判定△ABC∽△BCD，不符合题意；
选项D：给出的比例AB:BC=BD:CD中，AB是△ABC的斜边，BC是△ABC的直角边，BD是△BCD的斜边，CD是△BCD的直角边，该比例的边对应关系不匹配，不符合相似三角形的边判定条件，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题核心考查直角三角形相似的判定，解题时要先确定已有的相等角，再结合各选项条件推导角相等或边成比例，其中边判定时需注意对应边的匹配关系，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上.若$S_{△ ADF}=9$,$S_{△ BEF}=4$,且$AD=9$,则CE的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
5.A
解析
【分析】
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可推出AD//BC，进而得到△ADF和△EBF相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，结合已知的两个三角形面积，计算出AD与BE的边长比，代入AD的长度求出BE的长，最后用BC的长度减去BE即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=9
∴∠DAF=∠BEF，∠ADF=∠EBF
∴△ADF∽△EBF
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{AD}{BE})^2$
将$S_{△ ADF}=9$，$S_{△ BEF}=4$代入得：
$\frac{9}{4}=(\frac{AD}{BE})^2$，解得$\frac{AD}{BE}=\frac{3}{2}$（边长为正，取正值）
把AD=9代入得$\frac{9}{BE}=\frac{3}{2}$，解得BE=6
∴CE=BC-BE=9-6=3
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合基础题，解题的核心是通过平行关系找到相似三角形，利用面积比和相似比的关系求解线段长度，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，可推出AD//BC，进而得到△ADF和△EBF相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，结合已知的两个三角形面积，计算出AD与BE的边长比，代入AD的长度求出BE的长，最后用BC的长度减去BE即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=9
∴∠DAF=∠BEF，∠ADF=∠EBF
∴△ADF∽△EBF
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ BEF}}=(\frac{AD}{BE})^2$
将$S_{△ ADF}=9$，$S_{△ BEF}=4$代入得：
$\frac{9}{4}=(\frac{AD}{BE})^2$，解得$\frac{AD}{BE}=\frac{3}{2}$（边长为正，取正值）
把AD=9代入得$\frac{9}{BE}=\frac{3}{2}$，解得BE=6
∴CE=BC-BE=9-6=3
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形的综合基础题，解题的核心是通过平行关系找到相似三角形，利用面积比和相似比的关系求解线段长度，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 生活情境·燕尾夹 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，$AE=CF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=2.5\ \mathrm{cm}$，$BE=DF=6\ \mathrm{cm}$，图3是打开状态的示意图，其中$AC=2\ \mathrm{cm}$，则打开状态下$B$，$D$两点之间的距离为
3.5
cm. 答案
6. 3.5
解析
【分析】
本题是结合生活情境的几何应用题，解题思路如下：首先观察图形可知A、E、B三点共线，C、F、D三点共线，且AC、EF、BD都垂直于CD，因此三条线段互相平行；接下来可通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段长度和比例关系，列方程求解即可得到B、D两点的距离。
【解析】
解：过点A作AN//CD，交EF于点M，交BD于点N，
由燕尾夹的结构可知AC⊥CD，EF⊥CD，BD⊥CD，因此AC//EF//BD，
∴四边形ACFM、四边形MFND均为矩形，
∴MF=AC=2cm，DN=AC=2cm，
∴EM=EF - MF=2.5 - 2=0.5cm，BN=BD - DN=BD - 2 cm，
∵EM//BN，
∴△AEM∽△ABN，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EM}{BN}$，
已知AE=3cm，BE=6cm，因此AB=AE+BE=9cm，
代入得：$\frac{3}{9}=\frac{0.5}{BD - 2}$，
化简得$\frac{1}{3}=\frac{0.5}{BD - 2}$，
解得$BD - 2=1.5$，即$BD=3.5$cm。
【答案】
3.5
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题以生活中常见的燕尾夹为背景，将实际问题转化为相似三角形的数学模型，考查了学生对相似三角形性质的掌握和应用能力，解题的关键是找到平行关系，构造相似三角形列出比例式。
【难度系数】
0.7
本题是结合生活情境的几何应用题，解题思路如下：首先观察图形可知A、E、B三点共线，C、F、D三点共线，且AC、EF、BD都垂直于CD，因此三条线段互相平行；接下来可通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段长度和比例关系，列方程求解即可得到B、D两点的距离。
【解析】
解：过点A作AN//CD，交EF于点M，交BD于点N，
由燕尾夹的结构可知AC⊥CD，EF⊥CD，BD⊥CD，因此AC//EF//BD，
∴四边形ACFM、四边形MFND均为矩形，
∴MF=AC=2cm，DN=AC=2cm，
∴EM=EF - MF=2.5 - 2=0.5cm，BN=BD - DN=BD - 2 cm，
∵EM//BN，
∴△AEM∽△ABN，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EM}{BN}$，
已知AE=3cm，BE=6cm，因此AB=AE+BE=9cm，
代入得：$\frac{3}{9}=\frac{0.5}{BD - 2}$，
化简得$\frac{1}{3}=\frac{0.5}{BD - 2}$，
解得$BD - 2=1.5$，即$BD=3.5$cm。
【答案】
3.5
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题以生活中常见的燕尾夹为背景，将实际问题转化为相似三角形的数学模型，考查了学生对相似三角形性质的掌握和应用能力，解题的关键是找到平行关系，构造相似三角形列出比例式。
【难度系数】
0.7
