19. (2024·德州)已知抛物线$y=x^2 - 4mx + 2m + 1$，$m$为实数.
（1）如果该抛物线经过点$(4,3)$，求此抛物线的顶点坐标；
（2）当$2m - 3≤ x≤ 2m + 1$时，$y$的最大值为$4$，求$m$的值；
（3）已知点$O(0,0)$，$A(1,0)$，该抛物线与线段$OA$（不含端点）恰有一个交点，求$m$的取值范围.

解：（1）$\because$抛物线$y=x^{2}-4mx + 2m + 1$经过点$(4,3)，$$\therefore16-16m + 2m + 1 = 3，$ $17-14m = 3，$$14m = 14，$解得$m = 1。$$\therefore y=x^{2}-4x + 3。$$\because y=x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1，$$\therefore$此抛物线的顶点坐标为$(2,-1)。$ （2）$\because y=x^{2}-4mx + 2m + 1=(x - 2m)^{2}-4m^{2}+2m + 1，$$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x = 2m。$ $\because$当$2m-3\leqslant x\leqslant2m + 1$时，$y$的最大值为$4，$$\therefore$当$x = 2m-3$时，$y = 4。$ $\therefore(2m-3-2m)^{2}-4m^{2}+2m + 1 = 4，$$9-4m^{2}+2m + 1 = 4，$$4m^{2}-2m - 6 = 0，$$2m^{2}-m - 3 = 0，$ 因式分解得$(2m - 3)(m + 1)=0，$解得$m=\frac{3}{2}$或$m=-1。$ （3）$\because$抛物线$y=x^{2}-4mx + 2m + 1$与线段$OA$（不含端点）恰有一个交点， $\therefore\begin{cases}2m + 1\gt0\\1-4m + 2m + 1\lt0\end{cases}$或$\begin{cases}2m + 1\lt0\\1-4m + 2m + 1\gt0\end{cases}，$ 解$\begin{cases}2m + 1\gt0\\1-4m + 2m + 1\lt0\end{cases}，$由$2m + 1\gt0$得$m\gt-\frac{1}{2}，$由$1-4m + 2m + 1\lt0$得$2-2m\lt0，$$m\gt1，$取交集得$m\gt1；$ 解$\begin{cases}2m + 1\lt0\\1-4m + 2m + 1\gt0\end{cases}，$由$2m + 1\lt0$得$m\lt-\frac{1}{2}，$由$1-4m + 2m + 1\gt0$得$2-2m\gt0，$$m\lt1，$取交集得$m\lt-\frac{1}{2}；$ $\therefore m\gt1$或$m\lt-\frac{1}{2}。$

20. 一座拱桥的示意图如图①所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米.已知桥洞的拱桥呈抛物线形.
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式.
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度.
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其通过拱桥时的截面如图②所示.为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位(水面宽16米)的基础上最多能上升多少米(结果精确到0.1米)?

解：（1）建立平面直角坐标系不唯一，如图①，$AB$为宽$16$米的水面，$C$为拱桥最高点，以$AB$的中点$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，$OC$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。由题意，得$OA = OB=\frac{1}{2}AB = 8$米，$OC = 4$米，$\therefore C(0,4)，$$B(8,0)。$$\therefore$设该抛物线对应的函数解析式为$y = ax^{2}+4，$将$B(8,0)$代入，得$a\cdot8^{2}+4 = 0，$$64a=-4，$解得$a =-\frac{1}{16}。$$\therefore$该抛物线对应的函数解析式为$y =-\frac{1}{16}x^{2}+4。$ （2）在$y =-\frac{1}{16}x^{2}+4$中，令$y = 2，$则$-\frac{1}{16}x^{2}+4 = 2，$$-\frac{1}{16}x^{2}=-2，$$x^{2}=32，$解得$x=\pm4\sqrt{2}。$$\therefore$此时水面的宽度为$4\sqrt{2}-(-4\sqrt{2})=8\sqrt{2}$（米）。 （3）如图②，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到点$O'$所在水平位置处，此时$EF$交$y$轴于点$G，$$\because$货船的高为$2.6$米，宽为$3.2$米，$\therefore GF=\frac{1}{2}\times3.2 = 1.6$（米），$O'G = 2.6$米。设$OO' = m$米，则$OG = OO'+O'G=(m + 2.6)$米。$\therefore$点$F$的坐标为$(1.6,m + 2.6)。$将$F(1.6,m + 2.6)$代入$y =-\frac{1}{16}x^{2}+4，$得$-\frac{1}{16}\times1.6^{2}+4 = m + 2.6，$$-0.16 + 4 = m + 2.6，$$3.84 = m + 2.6，$解得$m = 1.24。$$\therefore$为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位（水面宽$16$米）的基础上最多能上升$1.2$米。 ;

21. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-1$,且抛物线经过$A(1,0),C(0,3)$两点,与$x$轴交于点$B$.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点$M$,使点$M$到点$A$的距离与到点$C$的距离之和最小,求出点$M$的坐标及距离之和的最小值；
（3）如果点$P(x_1,n)$和点$Q(x_2,n)$在函数$y=ax^2+bx+c$的图象上,且$x_1＜x_2$,$PQ=2m$,求$x_1^2 - mx_2 - 3m + 6$的值.

解：（1）由题意，得$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-1\\a + b + c = 0\\c = 3\end{cases}，$将$c = 3$代入$a + b + c = 0$得$a + b=-3，$由$-\frac{b}{2a}=-1$得$b = 2a，$把$b = 2a$代入$a + b=-3$得$a + 2a=-3，$$3a=-3，$解得$a=-1，$$b=-2。$$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-x^{2}-2x + 3。$ （2）连接$MA，$$MB，$$MC。$$\because M$是抛物线的对称轴上一点，$\therefore MA = MB。$$\therefore MA + MC$的最小值即为$MB + MC$的最小值。$\therefore$直线$BC$与对称轴直线$x=-1$的交点即为$M。$ $\because$抛物线$y=-x^{2}-2x + 3$的对称轴为直线$x=-1，$$A(1,0)，$$\therefore B(-3,0)。$设直线$BC$对应的函数解析式为$y = kx + b，$把$C(0,3)，$$B(-3,0)$代入得$\begin{cases}b = 3\\-3k + b = 0\end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1\\b = 3\end{cases}。$$\therefore$直线$BC$对应的函数解析式为$y = x + 3。$把$x=-1$代入$y = x + 3，$得$y = 2，$$\therefore M(-1,2)。$ 由题意，得$OB = 3，$$OC = 3，$在$Rt\triangle BOC$中，$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{9 + 9}=3\sqrt{2}。$$\therefore$距离之和的最小值为$3\sqrt{2}。$ （3）$\because P(x_{1},n)，$$Q(x_{2},n)，$$\therefore PQ$与$x$轴平行。$\therefore$点$P，$$Q$关于对称轴直线$x=-1$对称。又$\because PQ = 2m，$$x_{1}\lt x_{2}，$$\therefore x_{1}=-1-m，$$x_{2}=-1 + m。$ $\therefore x_{1}^{2}-mx_{2}-3m + 6=(-1-m)^{2}-m(-1 + m)-3m + 6=1 + 2m + m^{2}+m - m^{2}-3m + 6=7。$ ;