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1. (2025 黄冈)若关于 x 的二次函数$y= ax^{2}+bx+a^{2}-4$的图象如图,则 a 的值为____,b 的值为____.
答案
2 -4 解:把$(0,0)$代入,
得$a^{2}-4=0$,解得$a=\pm 2$,
∵图象开口向上,$\therefore a=2$.
由$-\frac {b}{2a}=1$,可得$b=-2a=-4$.
得$a^{2}-4=0$,解得$a=\pm 2$,
∵图象开口向上,$\therefore a=2$.
由$-\frac {b}{2a}=1$,可得$b=-2a=-4$.
2. (2025 大连)如图,抛物线$y= -ax^{2}-2ax+3a$与x 轴交于A,B 两点,与 y 轴交于点 C,且$OC= OA$.求抛物线的解析式.
答案
解:由$-ax^{2}-2ax+3a=0$,
解得$x_{1}=-3,x_{2}=1$,
$\therefore A(-3,0),B(1,0)$,
$\therefore OC=OA=3,\therefore C(0,3)$,
$\therefore 3a=3$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=-x^{2}-2x+3$.
解得$x_{1}=-3,x_{2}=1$,
$\therefore A(-3,0),B(1,0)$,
$\therefore OC=OA=3,\therefore C(0,3)$,
$\therefore 3a=3$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=-x^{2}-2x+3$.
3. 如图,抛物线$y= ax^{2}-8ax+c$与x 轴交于A,B 两点,顶点为 C,若$AB= 4$,且$\triangle ABC$的面积为 8,求抛物线的解析式.
答案
解:$\because S_{△ABC}=\frac {1}{2}×4×(-y_{C})=8$,
$\therefore y_{C}=-4$.
又∵对称轴为$x=-\frac {-8a}{2a}=4$,
$\therefore$顶点$C$的坐标为$(4,-4)$,
点$A$的坐标为$(2,0)$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=a(x-4)^{2}-4$,
把$(2,0)$代入,得
$a(2-4)^{2}-4=0$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=(x-4)^{2}-4$.
$\therefore y_{C}=-4$.
又∵对称轴为$x=-\frac {-8a}{2a}=4$,
$\therefore$顶点$C$的坐标为$(4,-4)$,
点$A$的坐标为$(2,0)$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=a(x-4)^{2}-4$,
把$(2,0)$代入,得
$a(2-4)^{2}-4=0$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为
$y=(x-4)^{2}-4$.
4. (2025 武汉外校)如图,抛物线与x 轴交于$A(-3,0)$,B 两点,与 y 轴交于点 C,且$\triangle ABC$的面积为 6,求抛物线的解析式.
答案
解:设抛物线的解析式为
$y=ax^{2}+bx+c$.
∵对称轴为$x=-\frac {b}{2a}=-1,A(-3,0)$.
$\therefore b=2a,B(1,0),\therefore AB=4$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac {1}{2}×4\cdot OC=6$,
$\therefore OC=3,\therefore C(0,-3),\therefore c=-3$,
$\therefore a+2a-3=0$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}+2x-3$.
$y=ax^{2}+bx+c$.
∵对称轴为$x=-\frac {b}{2a}=-1,A(-3,0)$.
$\therefore b=2a,B(1,0),\therefore AB=4$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac {1}{2}×4\cdot OC=6$,
$\therefore OC=3,\therefore C(0,-3),\therefore c=-3$,
$\therefore a+2a-3=0$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}+2x-3$.
5. 如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c$与x 轴交于A,B 两点,与 y 轴交于点 C,$OB= OC,CD// x$轴交抛物线于另一点 D,且$CD= 2$,求抛物线的解析式.
答案
解:$\because CD// x$轴,$CD=2$,
$\therefore$抛物线的对称轴为
$x=-\frac {b}{2×(-1)}=1,\therefore b=2$.
$\because OB=OC,C(0,c),\therefore B(c,0)$,
$\therefore 0=-c^{2}+2c+c$,
解得$c_{1}=3,c_{2}=0$(舍去),$\therefore c=3$,
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.
$\therefore$抛物线的对称轴为
$x=-\frac {b}{2×(-1)}=1,\therefore b=2$.
$\because OB=OC,C(0,c),\therefore B(c,0)$,
$\therefore 0=-c^{2}+2c+c$,
解得$c_{1}=3,c_{2}=0$(舍去),$\therefore c=3$,
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$.
