1. 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应中线的比是 （）

A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$

1. D 解析:顺次连接三角形三边的中点,所得三角形与原三角形的相似比为 1 : 2,
∴ 对应中线的比也是 1 : 2.故选 D.

2. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$是它们的对应中线，若$AD = 10$，$A'D' = 6$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为________，对应的角平分线的比为________。

2. 5 : 3 5 : 3 解析:
∵ 两相似三角形的相似比为 AD : A'D' = 10 : 6 = 5 : 3,
∴ 对应角平分线的比为 5 : 3.

3. 如图，D，E分别是AC，AB上的点，且∠CDE+∠B=180°，F，G分别是DE，BC的中点。若AD=3，AB=5，AG=4，则AF的值为。

3. $\dfrac{12}{5}$ 解析:
∵ ∠ADE = 180°−∠CDE = ∠B, 且 ∠A = ∠A,
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{3}{5}$.
∵ AG=4,
∴ $AF=4×\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{5}$.

4. (怀化中考)如图，$△ ABC$为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40 cm，AD=30 cm.
(1)求证：$△ AEH ∽ △ ABC$；
(2)求这个正方形的边长与面积.

4. (1)
∵ 四边形 EFGH 是正方形,
∴ $EH// BC$,
∴ ∠AEH = ∠B, ∠AHE = ∠C,
∴ $△ AEH ∽ △ ABC$.
(2) 设 AD 与 EH 交于点 M.
∵ ∠EFD = ∠FEM = ∠FDM = 90°,
∴ 四边形 EFDM 是矩形,
∴ EF = DM. 设正方形 EFGH 的边长为 x cm.
∵ $△ AEH ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{EH}{BC}=\dfrac{AM}{AD}$, 即 $\dfrac{x}{40}=\dfrac{30-x}{30}$, 解得 $x=\dfrac{120}{7}$,
∴ 正方形 EFGH 的边长为 $\dfrac{120}{7}$ cm, 面积为 $\dfrac{14400}{49}$ cm².

5. (2025·深圳中考)如图,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则$\frac{EF}{CG}$的值为 ()

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

5. D 解析:
∵ 正方形 ABCD 沿 EF 折叠,
∴ AG = GO, $EF// BD$,
∴ $△ AEF ∽ △ ABD$,
∴ $\dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AG}{AO}=\dfrac{1}{2}$,
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BD$, $CG=\dfrac{3}{4}AC$.
∵ 在正方形 ABCD 中, AC = BD,
∴ $\dfrac{EF}{CG}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BD}{\dfrac{3}{4}AC}=\dfrac{2}{3}$.故选 D.

6.（遂宁中考）如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC=8，BC边上的高为6，且DE//BC，则△DEF面积的最大值为（）

A.6
B.8
C.10
D.12

6. A 解析:如图,过点 A 作 $AM⊥BC$ 于点 M,交 DE 于点 N,则 $AN⊥DE$, 设 AN = a.
∵ $DE// BC$,
∴ ∠ADE = ∠B, ∠AED = ∠C,
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AN}{AM}$,
∴ $\dfrac{DE}{8}=\dfrac{a}{6}$,
∴ $DE=\dfrac{4}{3}a$,
∴ $S_{△ DEF}=\dfrac{1}{2}DE·MN=\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}a×(6-a)=-\dfrac{2}{3}a^2+4a=-\dfrac{2}{3}(a-3)^2+6$,
∴ 当 a=3 时,$S_{△ DEF}$ 有最大值,最大值为 6.故选 A.

7. (2025·梧州期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=$\frac{1}{2}AD$,则图中阴影部分的面积为 .

7. 35 解析:如图,过点 G 作 $GN⊥AD$ 于 N, 延长 NG 交 BC 于 M.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD = BC, $AD// BC$.
∵ $EF=\dfrac{1}{2}AD$,
∴ $EF=\dfrac{1}{2}BC$.
∵ $AD// BC$, $GN⊥AD$,
∴ $△ EFG ∽ △ CBG$, $GM⊥BC$,
∴ GN : GM = EF : BC = 1 : 2.又
∵ MN = AB = 6,
∴ GN = 2, GM = 4,
∴ $S_{△ BCG}=\dfrac{1}{2}×10×4=20$,$S_{△ EFG}=\dfrac{1}{2}×5×2=5$.又
∵ $S_{矩形ABCD}=6×10=60$,
∴ $S_{阴影}=60-20-5=35$.

8.（福建中考）求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求:
(1) 根据给出的$△ ABC$及线段$A'B'$、$∠ A'$($∠ A'=∠ A$),以线段$A'B'$为一边,在给出的图形上用尺规作出$△ A'B'C'$,使得$△ A'B'C' ∽ △ ABC$,不写作法,保留作图痕迹;
(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.

8. (1) 如图所示, $△ A'B'C'$ 即为所求.

(2) 已知: 如图, $△ ABC ∽ △ A'B'C'$, $\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}=k$,
D 是 AB 的中点, D' 是 A'B' 的中点, 求证: $\dfrac{C'D'}{CD}=k$.
证明:
∵ D 是 AB 的中点, D' 是 A'B' 的中点,
∴ $AD=\dfrac{1}{2}AB$, $A'D'=\dfrac{1}{2}A'B'$,
∴ $\dfrac{A'D'}{AD}=\dfrac{\dfrac{1}{2}A'B'}{\dfrac{1}{2}AB}=\dfrac{A'B'}{AB}$.
∵ $\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$,
∴ $\dfrac{A'D'}{AD}=\dfrac{A'C'}{AC}$. 又 ∠A' = ∠A,
∴ $△ A'C'D' ∽ △ ACD$,
∴ $\dfrac{C'D'}{CD}=\dfrac{A'C'}{AC}=k$.