9. 改编题 已知$△ ABC$与点$O$,连接$OA,OB,OC$,分别取$OA,OB,OC$的中点$D,E,F$,连接$DE,EF,FD$.
(1) 如图①,如果点$O$在$△ ABC$内,求证:$△ DEF ∽ △ ABC$;
(2) 如果点$O$在$AB$上,请画图并探讨(1)中的结论是否仍成立;
(3) 如图②,如果点$O$在$△ ABC$外,请在图②中按题中的叙述画图,再探讨(1)中的结论是否仍成立.

(1)
∵ 在△AOB 中,D,E 分别是 OA,OB 的中点,
∴ DE 是△AOB 的中位线,
∴ DE = 1/2 AB. 同理可证 EF = 1/2 BC,DF =1/2 AC ,
∴ DE/AB = EF/BC = DF/AC ,
∴ △DEF∽△ABC.
(2)如果点 O 在 AB 上,(1)中的结论仍成立.如图①,
∵ 在△AOC 中,D,F 分别是 OA,OC 的中点,
∴ DF 是△AOC 的中位线,
∴ DF = 1/2 AC . 同理可证 EF = 1/2 BC . 又
∵ D,E 分别是OA,OB 的中点,
∴ DE = 1/2 AB ,
∴ DE/AB = EF/BC = DF/AC ,
∴ △DEF∽△ABC.
(3)如果点 O 在△ABC 外,(1)中的结论仍成立.画图如图②,
∵ 在△AOC 中,D,F 分别是 OA,OC 的中点,
∴ DF 是△AOC 的中位线,
∴ DF = 1/2 AC . 同理可证 EF = 1/2 BC,DE =1/2 AB ,
∴ DE/AB = EF/BC = DF/AC ,
∴ △DEF∽△ABC.

10. 新题型 新定义 (长沙中考)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫作相似四边形.相似四边形对应边的比叫作相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似. 命题;
②三个角分别相等的两个凸四边形相似. 命题;
③两个大小不同的正方形相似. 命题.
(2)如图①,在四边形ABCD和四边形$A_1B_1C_1D_1$中,$∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1$,$∠ BCD = ∠ B_1C_1D_1$,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$.求证:四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似.
(3)如图②,四边形ABCD中,$AB // CD$,AC与BD相交于点O,过点O作$EF // AB$分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为$S_1$,四边形EFCD的面积为$S_2$,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求$\frac{S_2}{S_1}$的值.

10. (1)①假 ②假 ③真 解析:①四边成比例不能保证对应角相等,故为假命题;②三个角分别相等只能推出第四个角相等,不能保证对应边成比例,故为假命题;③任意两个正方形的四个角分别相等,四条对应边成比例,故为真命题.
(2)连接 BD,B₁D₁.
∵ ∠BCD = ∠B₁C₁D₁,且 BC/B₁C₁ = CD/C₁D₁ ,
∴ △BCD∽△B₁C₁D₁,
∴ BD/B₁D₁ = BC/B₁C₁ , ∠CDB = ∠C₁D₁B₁ ,∠CBD = ∠C₁B₁D₁ .
∵ AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CD/C₁D₁ ,
∴ BD/B₁D₁ = AB/A₁B₁ .
∵ ∠ABC = ∠A₁B₁C₁,
∴ ∠ABD = ∠A₁B₁D₁,
∴ △ABD∽△A₁B₁D₁,
∴ AD/A₁D₁ = AB/A₁B₁ , ∠A = ∠A₁ , ∠ADB = ∠A₁D₁B₁ ,
∴ AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CD/C₁D₁ = AD/A₁D₁ , ∠ADC = ∠A₁D₁C₁ .
∵ ∠A =∠A₁ , ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ , ∠BCD = ∠B₁C₁D₁ ,
∴ 四边形ABCD 与四边形 A₁B₁C₁D₁ 相似.
(3)
∵ 四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,
∴ DE/AE = EF/AB .
∵ EF=OE+OF,
∴ DE/AE = (OE+OF)/AB .
∵ EF//AB//CD,
∴ DE/AD =OE/AB , DE/AD = OC/AC = OF/AB ,
∴ DE/AD + DE/AD = OE/AB + OF/AB ,
∴ 2DE/AD = EF/AB ,
∴ 2DE/AD = DE/AE .
∵ AD = DE+AE ,
∴ 2/(DE+AE) = 1/AE ,
∴ 2AE = DE+AE ,
∴ AE = DE , 即四边形 ABFE 与四边形 EFCD 全等,
∴ S₂/S₁ = 1.