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9. 如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为边AB上一动点，DP交AC于点Q。
(1)求证：$△ APQ ∽ △ CDQ$。
(2)点P从点A出发沿边AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒。
①当t为何值时，$DP ⊥ AC$？
②设$S_{△ APQ} + S_{△ DCQ} = y$，写出y与t之间的函数表达式。
(1)求证：$△ APQ ∽ △ CDQ$。
(2)点P从点A出发沿边AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒。
①当t为何值时，$DP ⊥ AC$？
②设$S_{△ APQ} + S_{△ DCQ} = y$，写出y与t之间的函数表达式。
答案
9. (1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AB// CD$,
∴ ∠QPA = ∠QDC, ∠QAP = ∠QCD,
∴ $△ APQ ∽ △ CDQ$.
(2) ① 当 $DP ⊥ AC$ 时, ∠QCD + ∠QDC = 90°.
∵ ∠ADQ + ∠QDC = 90°,
∴ ∠DCA = ∠ADP.
∵ ∠ADC = ∠DAP = 90°,
∴ $△ ADC ∽ △ PAD$,
∴ $\dfrac{AD}{PA}=\dfrac{DC}{AD}$,
∴ $\dfrac{10}{PA}=\dfrac{20}{10}$, 解得 PA = 5,
∴ t = 5.
② 设 $△ APQ$ 的边 AP 上的高为 h, 则 $△ QDC$ 的边 DC 上的高为 10-h.
∵ $△ APQ ∽ △ CDQ$,
∴ $\dfrac{h}{10-h}=\dfrac{AP}{DC}=\dfrac{t}{20}$, 解得 $h=\dfrac{10t}{20+t}$,
∴ $10-h=10-\dfrac{10t}{20+t}=\dfrac{200}{20+t}$,
∴ $S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}AP·h=\dfrac{5t^2}{20+t}$,$S_{△ DCQ}=\dfrac{1}{2}DC·(10-h)=\dfrac{2000}{20+t}$,
∴ $y=S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}=\dfrac{5t^2}{20+t}+\dfrac{2000}{20+t}=\dfrac{5t^2+2000}{20+t}(0＜t≤20)$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ $AB// CD$,
∴ ∠QPA = ∠QDC, ∠QAP = ∠QCD,
∴ $△ APQ ∽ △ CDQ$.
(2) ① 当 $DP ⊥ AC$ 时, ∠QCD + ∠QDC = 90°.
∵ ∠ADQ + ∠QDC = 90°,
∴ ∠DCA = ∠ADP.
∵ ∠ADC = ∠DAP = 90°,
∴ $△ ADC ∽ △ PAD$,
∴ $\dfrac{AD}{PA}=\dfrac{DC}{AD}$,
∴ $\dfrac{10}{PA}=\dfrac{20}{10}$, 解得 PA = 5,
∴ t = 5.
② 设 $△ APQ$ 的边 AP 上的高为 h, 则 $△ QDC$ 的边 DC 上的高为 10-h.
∵ $△ APQ ∽ △ CDQ$,
∴ $\dfrac{h}{10-h}=\dfrac{AP}{DC}=\dfrac{t}{20}$, 解得 $h=\dfrac{10t}{20+t}$,
∴ $10-h=10-\dfrac{10t}{20+t}=\dfrac{200}{20+t}$,
∴ $S_{△ APQ}=\dfrac{1}{2}AP·h=\dfrac{5t^2}{20+t}$,$S_{△ DCQ}=\dfrac{1}{2}DC·(10-h)=\dfrac{2000}{20+t}$,
∴ $y=S_{△ APQ}+S_{△ DCQ}=\dfrac{5t^2}{20+t}+\dfrac{2000}{20+t}=\dfrac{5t^2+2000}{20+t}(0＜t≤20)$.
10. 阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
【例题】
有一块三角形余料ABC,它的边BC = 120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,问加工成的正方形零件的边长是多少毫米?
【点拨】解:∵四边形EGHF为正方形,
∴BC//EF,∴△AEF∽△ABC,设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x mm,AK=(80−x)mm.∵AD⊥BC,∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80−x}{80}$,解得x = 48.故这个正方形零件的边长是48 mm.
【问题探究】
(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图①,此时,这个矩形零件的相邻两条边长分别是多少?
(2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形,如图②,求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的相邻两条边长.
【例题】
有一块三角形余料ABC,它的边BC = 120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,问加工成的正方形零件的边长是多少毫米?
【点拨】解:∵四边形EGHF为正方形,
∴BC//EF,∴△AEF∽△ABC,设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x mm,AK=(80−x)mm.∵AD⊥BC,∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80−x}{80}$,解得x = 48.故这个正方形零件的边长是48 mm.
【问题探究】
(1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形组成,如图①,此时,这个矩形零件的相邻两条边长分别是多少?
(2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形,如图②,求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的相邻两条边长.
答案
10. (1) 设 PN = 2y, 则 PQ = y, 由题意知 $△ APN ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$, 即 $\dfrac{2y}{120}=\dfrac{80-y}{80}$, 解得 $y=\dfrac{240}{7}$,
∴ $PN=\dfrac{240}{7}×2=\dfrac{480}{7}(mm)$, 故这个矩形零件的相邻两条边长分别是 $\dfrac{240}{7}$ mm, $\dfrac{480}{7}$ mm.
(2) 设 PN = x, 矩形 PQMN 的面积为 S, 由题意知 $△ APN ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$, 即 $\dfrac{x}{120}=\dfrac{80-PQ}{80}$, 解得 $PQ=80-\dfrac{2}{3}x$,
∴ $S=PN·PQ=x(80-\dfrac{2}{3}x)=-\dfrac{2}{3}x^2+80x=-\dfrac{2}{3}(x-60)^2+2400$,
∴ S 的最大值为 2400 mm², 此时 PN = 60 mm, $PQ=80-\dfrac{2}{3}×60=40(mm)$.
∴ $\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$, 即 $\dfrac{2y}{120}=\dfrac{80-y}{80}$, 解得 $y=\dfrac{240}{7}$,
∴ $PN=\dfrac{240}{7}×2=\dfrac{480}{7}(mm)$, 故这个矩形零件的相邻两条边长分别是 $\dfrac{240}{7}$ mm, $\dfrac{480}{7}$ mm.
(2) 设 PN = x, 矩形 PQMN 的面积为 S, 由题意知 $△ APN ∽ △ ABC$,
∴ $\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AE}{AD}$, 即 $\dfrac{x}{120}=\dfrac{80-PQ}{80}$, 解得 $PQ=80-\dfrac{2}{3}x$,
∴ $S=PN·PQ=x(80-\dfrac{2}{3}x)=-\dfrac{2}{3}x^2+80x=-\dfrac{2}{3}(x-60)^2+2400$,
∴ S 的最大值为 2400 mm², 此时 PN = 60 mm, $PQ=80-\dfrac{2}{3}×60=40(mm)$.
