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12. 如图54-G-8所示，C是线段AB的一个三等分点，且AC＞BC，M是线段AB的中点。若AB＝9 cm，则BM＝
4.5
cm，BC＝3
cm，MC＝1.5
cm。答案
12. 4.5 3 1.5
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知M是AB中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为长度相等的两段，因此BM的长度是AB的一半；②已知C是AB的三等分点且AC＞BC，说明较短的BC段占AB总长的三分之一，可求出BC的长度；③观察线段位置关系，MC的长度等于BM减去BC的长度，代入数值计算即可。
【解析】
解：1. 求BM的长度：
∵M是线段AB的中点，AB=9cm
∴$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9=4.5$cm
2. 求BC的长度：
∵C是线段AB的三等分点，且AC＞BC
∴$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×9=3$cm
3. 求MC的长度：
由线段的和差关系可得$MC=BM-BC=4.5-3=1.5$cm
【答案】
4.5；3；1.5
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是准确理解线段中点、三等分点的含义，结合线段的和差关系列式计算即可，解题时要注意结合图形判断各线段的位置关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：①已知M是AB中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为长度相等的两段，因此BM的长度是AB的一半；②已知C是AB的三等分点且AC＞BC，说明较短的BC段占AB总长的三分之一，可求出BC的长度；③观察线段位置关系，MC的长度等于BM减去BC的长度，代入数值计算即可。
【解析】
解：1. 求BM的长度：
∵M是线段AB的中点，AB=9cm
∴$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9=4.5$cm
2. 求BC的长度：
∵C是线段AB的三等分点，且AC＞BC
∴$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×9=3$cm
3. 求MC的长度：
由线段的和差关系可得$MC=BM-BC=4.5-3=1.5$cm
【答案】
4.5；3；1.5
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是准确理解线段中点、三等分点的含义，结合线段的和差关系列式计算即可，解题时要注意结合图形判断各线段的位置关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
13. 如图54-G-9，C是线段AB上的点，D是线段BC的中点。
(1)若$AB=10$，$AC=6$，求$CD$的长；
(2)若$AC=30$，$BD=10$，求$AB$的长。
(1)若$AB=10$，$AC=6$，求$CD$的长；
(2)若$AC=30$，$BD=10$，求$AB$的长。
答案
13. 解:(1)因为 $AB=10,AC=6$,
所以 $BC=AB-AC=10-6=4$.
因为 D 是线段 BC 的中点,所以 $CD=\frac{1}{2}BC=2$.
(2)因为 D 是线段 BC 的中点,
所以 $BC=2BD=2×10=20$.
所以 $AB=AC+BC=30+20=50$.
所以 $BC=AB-AC=10-6=4$.
因为 D 是线段 BC 的中点,所以 $CD=\frac{1}{2}BC=2$.
(2)因为 D 是线段 BC 的中点,
所以 $BC=2BD=2×10=20$.
所以 $AB=AC+BC=30+20=50$.
解析
【分析】
本题围绕线段的和差运算与线段中点性质展开解题：
(1) 要求CD的长度，首先已知D是BC的中点，因此需先求出BC的长度，结合已知的AB、AC的长度，利用BC=AB-AC即可求出BC，再根据中点性质得到CD为BC的一半，即可算出CD；
(2) 要求AB的长度，根据AB=AC+BC，已知AC长度，首先利用D是BC中点的性质，由BD的长度求出BC的长度，再将AC与BC相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=10$，$AC=6$，根据线段和差关系可得：
$BC=AB-AC=10-6=4$
又因为D是线段BC的中点，根据线段中点的定义：
$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$
(2) 已知D是线段BC的中点，根据线段中点的定义可得：
$BC=2BD$
代入$BD=10$，得$BC=2×10=20$
再根据线段和差关系，$AB=AC+BC$，代入$AC=30$：
$AB=30+20=50$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{50}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础典型题，解题核心是理清各线段之间的数量关系，结合线段中点的性质逐步推导即可得出结果，有助于掌握线段的基本运算方法。
【难度系数】
0.9
本题围绕线段的和差运算与线段中点性质展开解题：
(1) 要求CD的长度，首先已知D是BC的中点，因此需先求出BC的长度，结合已知的AB、AC的长度，利用BC=AB-AC即可求出BC，再根据中点性质得到CD为BC的一半，即可算出CD；
(2) 要求AB的长度，根据AB=AC+BC，已知AC长度，首先利用D是BC中点的性质，由BD的长度求出BC的长度，再将AC与BC相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=10$，$AC=6$，根据线段和差关系可得：
$BC=AB-AC=10-6=4$
又因为D是线段BC的中点，根据线段中点的定义：
$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$
(2) 已知D是线段BC的中点，根据线段中点的定义可得：
$BC=2BD$
代入$BD=10$，得$BC=2×10=20$
再根据线段和差关系，$AB=AC+BC$，代入$AC=30$：
$AB=30+20=50$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{50}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础典型题，解题核心是理清各线段之间的数量关系，结合线段中点的性质逐步推导即可得出结果，有助于掌握线段的基本运算方法。
【难度系数】
0.9
14. (2025和田地区期末)如图54-G-10,已知线段AB=4 cm,BC=2 cm,若M为AC的中点,则线段BM的长为
1
cm.答案
14. 1
解析
【分析】
本题属于线段长度计算类题目，解题思路如下：首先明确三点A、B、C共线，且点B位于A、C之间，先通过线段的和求出AC的总长度；再根据线段中点的定义，算出中点M到A的长度；最后通过线段的差即可求出BM的长度。
【解析】
解：由题意可知点B在A、C之间，
∴ $AC = AB + BC = 4\ \mathrm{cm} + 2\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$，
∵ M是AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BM = AB - AM = 4\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题型，重点考查对线段中点概念的掌握，以及分析线段之间位置、数量关系的能力，解题时理清各线段的和差关系是关键。
【难度系数】
0.8
本题属于线段长度计算类题目，解题思路如下：首先明确三点A、B、C共线，且点B位于A、C之间，先通过线段的和求出AC的总长度；再根据线段中点的定义，算出中点M到A的长度；最后通过线段的差即可求出BM的长度。
【解析】
解：由题意可知点B在A、C之间，
∴ $AC = AB + BC = 4\ \mathrm{cm} + 2\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$，
∵ M是AC的中点，
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$，
∴ $BM = AB - AM = 4\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题型，重点考查对线段中点概念的掌握，以及分析线段之间位置、数量关系的能力，解题时理清各线段的和差关系是关键。
【难度系数】
0.8
15. 数学思想分类讨论（2025伊犁州期末）A，B，C三点在同一直线上，$AB=7\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为
10 cm 或 4 cm
。答案
15. 10 cm 或 4 cm
解析
【分析】
题目仅说明A、B、C三点共线，未明确点C的相对位置，因此需要分类讨论两种情况：①点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB与BC的长度和；②点C在线段AB上，此时AC为AB与BC的长度差，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 7\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$
因此AC的长度为10cm或4cm。
【答案】
10 cm 或 4 cm
【知识点】
线段的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题关键是明确三点共线且点的位置不明确时，要分类讨论所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目仅说明A、B、C三点共线，未明确点C的相对位置，因此需要分类讨论两种情况：①点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB与BC的长度和；②点C在线段AB上，此时AC为AB与BC的长度差，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 7\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$
因此AC的长度为10cm或4cm。
【答案】
10 cm 或 4 cm
【知识点】
线段的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题关键是明确三点共线且点的位置不明确时，要分类讨论所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
16. (2025 喀什地区期末)如图54-G-11所示，AB=20，M是AB的中点，点N在BM上，MN=4NB，则AN的长为
18
。答案
16. 18
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据M是AB中点的性质，先求出BM的长度；再根据MN和NB的倍数关系，将BM转化为用NB表示的式子，求出NB的长度；最后利用线段和差关系，用AB的长度减去NB的长度即可得到AN的长。
【解析】
解：
∵ M是AB的中点，AB=20
∴ $BM = AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×20 = 10$
∵ 点N在BM上，$MN=4NB$，且$BM = MN + NB$
∴ $BM = 4NB + NB = 5NB$
∴ $NB = \frac{1}{5}BM = \frac{1}{5}×10 = 2$
∴ $AN = AB - NB = 20 - 2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是明确各线段之间的数量关系，先借助中点性质得到相等线段，再结合线段的倍分关系求出小线段的长度，最终得到目标线段的长度，掌握线段的基本运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先根据M是AB中点的性质，先求出BM的长度；再根据MN和NB的倍数关系，将BM转化为用NB表示的式子，求出NB的长度；最后利用线段和差关系，用AB的长度减去NB的长度即可得到AN的长。
【解析】
解：
∵ M是AB的中点，AB=20
∴ $BM = AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×20 = 10$
∵ 点N在BM上，$MN=4NB$，且$BM = MN + NB$
∴ $BM = 4NB + NB = 5NB$
∴ $NB = \frac{1}{5}BM = \frac{1}{5}×10 = 2$
∴ $AN = AB - NB = 20 - 2 = 18$
【答案】
18
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是明确各线段之间的数量关系，先借助中点性质得到相等线段，再结合线段的倍分关系求出小线段的长度，最终得到目标线段的长度，掌握线段的基本运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
