1. 尺规作图的工具是 （）

A.刻度尺和圆规
B.三角尺和量角器
C.直尺和量角器
D.无刻度的直尺和圆规

1. D

【分析】
本题考查尺规作图的基础概念，解题核心是牢记尺规作图对工具的明确要求：其中“尺”特指无刻度的直尺，仅可用来画直线类图形，不能用于测量长度；“规”特指圆规，可用来画圆、圆弧或截取等长线段，只需对照选项逐一匹配要求即可选出正确答案。
【解析】
尺规作图的定义为：限定仅使用无刻度的直尺和圆规两种工具完成作图的方法。我们逐一分析选项：
A选项：刻度尺带有刻度，不符合尺规作图对“尺”的要求，排除；
B选项：三角尺、量角器均不属于尺规作图的指定工具，排除；
C选项：量角器不属于尺规作图工具，排除；
D选项：无刻度的直尺和圆规完全符合尺规作图的工具要求，当选。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对尺规作图工具要求的识记，只要熟练掌握相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. (教材练习 T2 变式)如图 54-G-1,已知线段$a,b$,作一条线段,使它等于$2a + b$.

2. 解:(1)如图,作射线 AM；
(2)在射线 AM 上顺次截取$AB=a$,$BC=a$,$CD=b$.
则线段 AD 就是所求作的线段.

【分析】
要作出长度为$2a+b$的线段，首先明确该线段的长度是2个线段$a$的长度与1个线段$b$的长度之和，因此可以用尺规作图中“在射线上顺次截取线段”的方法构造：先画一条射线作为作图基准，再依次截取2次长度为$a$的线段，接着截取1次长度为$b$的线段，从射线端点到最后一个截点的线段总长度就是$2a+b$。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 作射线$AM$；
2. 用圆规量取线段$a$的长度，在射线$AM$上从点$A$出发截取$AB=a$；
3. 保持圆规开度不变，从点$B$出发沿射线方向截取$BC=a$，此时$AC=2a$；
4. 再用圆规量取线段$b$的长度，从点$C$出发沿射线方向截取$CD=b$。
此时线段$AD$的长度为$AB+BC+CD=a+a+b=2a+b$，即为所求作的线段。
【答案】
(1)如图,作射线 AM；(2)在射线 AM 上顺次截取$AB=a$,$BC=a$,$CD=b$.则线段 AD 就是所求作的线段.
【知识点】
尺规作线段；线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，解题的关键是掌握在射线上顺次截取指定长度线段的作图方法，理解线段和的几何意义即可轻松完成作图。
【难度系数】
0.9

3. 用圆规比较两条线段$A'B'$和$AB$的长短，如图54-G-2，下列结论正确的是（）


A.$A'B'＞AB$
B.$A'B'=AB$
C.$A'B'＜AB$
D.不确定

3. A

【分析】
比较两条线段的长短可使用叠合法，本题用圆规操作的思路为：首先用圆规固定住线段$A'B'$的长度，再将圆规的一端与线段$AB$的端点$A$重合，观察圆规另一端的位置即可判断两条线段的长短：若另一端落在$B$点外侧，说明$A'B'$更长；落在$B$点内侧说明$A'B'$更短；与$B$点重合说明两条线段长度相等。
【解析】
使用圆规通过叠合法比较线段长度：
1. 把圆规的两个脚尖分别对准$A'$、$B'$两点，固定圆规的张开幅度，此时圆规两脚间距等于$A'B'$的长度；
2. 将圆规的一个脚尖与$AB$的端点$A$重合，观察另一个脚尖的位置：由图可见，另一个脚尖落在点$B$的右侧，说明$A'B'$的长度大于$AB$的长度，即$A'B'＞AB$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
线段长短比较、叠合法
【点评】
本题考查线段长短比较的实操方法，难度较低，只要掌握叠合法的操作规则，准确观察端点重合后的相对位置即可正确作答。
【难度系数】
0.9

4. 如图54-G-3,点C在线段AB上,则下列说法正确的是（）


A.$AC=BC$
B.$AC＞BC$
C.图中共有两条线段
D.$AB=AC+BC$

4. D

【分析】
解题时需逐个分析选项，结合线段的相关概念判断：首先判断A、B选项，题目未说明点C是线段AB的中点，因此无法确定AC和BC的大小关系，二者不一定相等，也不能确定AC一定大于BC，直接排除A、B；再判断C选项，按顺序数出所有线段，看数量是否为2；最后判断D选项，根据线段和的定义，点C在线段AB上时，AB的长度就是AC与BC的长度之和，由此确定正确选项。
【解析】
已知点C在线段AB上，未给出C为AB中点的条件：
选项A：只有当C是AB中点时才有AC=BC，题目无此条件，该说法错误；
选项B：点C的位置未明确，AC与BC的长度大小无法确定，该说法错误；
选项C：图中的线段有线段AC、线段BC、线段AB，共3条，该说法错误；
选项D：根据线段和的定义，点C在线段AB上时，AB=AC+BC，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差、线段的计数、线段大小比较
【点评】
本题考查线段的基础概念，属于基础题，解题时需注意：若题目没有给出点的特殊位置（如中点），不能默认线段存在相等或固定的大小关系；数线段时要按顺序枚举，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.9

5. 如图54-G-4所示的线段x的长为（）


A.$2a - b + c$
B.$2a + b - c$
C.$2a + b + c$
D.$2a$

5. B

【分析】
解题时首先明确上下标注的是同一条线段，总长度相等。第一步先根据上方的分段标注计算出整条线段的总长度，第二步根据下方的分段关系可知总长度等于x与c的和，因此x等于总长度减去c，代入总长度的表达式即可求出x的长度。
【解析】
观察图形可知，整条线段的总长度可通过上方分段求和计算：
总长度 = $a + a + b = 2a + b$
从下侧分段看，整条线段的总长度也可表示为：
总长度 = $x + c$
由于两者表示同一条线段的长度，因此有：
$x + c = 2a + b$
等式两边同时减去c，得：
$x = 2a + b - c$
【答案】
B
【知识点】
1. 线段的和差运算
2. 等量代换
【点评】
本题考查线段长度的计算，解题核心是抓住同一条线段总长度不变的特点，通过建立等量关系求解，是线段运算的典型基础题。
【难度系数】
0.8

6. (2025伊犁州期末)下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是 （）

A.用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B.把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C.植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D.利用圆规可以比较两条线段的大小关系

6. B

【分析】
解题时首先要明确两个核心几何基本事实的区别：“两点确定一条直线”是描述直线的确定性原理，“两点之间，线段最短”是描述两点间路径长度的规律。接下来逐一分析每个选项对应的原理，排除不符合题意的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”的基本事实，不符合题意；
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是因为改直后两地之间的路径变为线段，根据“两点之间，线段最短”，总路程会更短，符合题意；
C. 植树时定出两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，利用的是“两点确定一条直线”的基本事实，不符合题意；
D. 利用圆规比较两条线段的大小关系，是线段大小比较的叠合法应用，和“两点之间，线段最短”无关，不符合题意。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线；线段大小比较
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对几何基本事实的理解和场景应用，只要准确区分两个易混淆的基本事实的适用场景，结合生活实例就能快速判断。
【难度系数】
0.8

7. 如图54-G-5，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最短，其蕴含的数学道理是。

7. 两点之间，线段最短

【分析】
首先确定题中的两个地点：长春站和胜利公园可看作平面内的两个定点，走人民大街的路径是连接这两个点的线段，其他路径都是连接这两点的折线。回忆线段的相关性质，两点的所有连线中，线段的长度是最短的，据此即可得出对应的数学道理。
【解析】
把长春站、胜利公园分别看作平面内的两个固定点，人民大街是连接这两个点的线段，其余道路是连接两点的折线。根据线段的性质：两点之间，线段最短，因此走人民大街的路程比走其他道路更短。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题结合生活中路线选择的实际场景，考查线段基本性质的应用，体现了数学在生活中的实用性，题目侧重对基础概念的理解和应用，只要掌握线段的核心性质就能顺利作答。
【难度系数】
0.9

8. 如图54-G-6所示，从点A到点F的所有路线中，最短的是。

8. $A→B→E→F$

【分析】
要找到从A到F的最短路线，首先观察路线构成：所有从A到F的路线都需要经过E点，且E到F只有唯一的线段EF，因此只需比较从A到E的不同路径的长度即可。我们可以利用“两点之间，线段最短”的性质，逐一对比各段路径的长度，排除更长的路径，最终得到最短路线。
【解析】
第一步：梳理所有可能的从A到F的路线，可知所有路线都经过E点，且E到F仅有线段EF这一条路径，该段长度固定，因此只需比较A到E的各路径长度。
第二步：根据线段的性质“两点之间，线段最短”对比A到E的路径：
1. 路径A→B→E的长度为$AB+BE$；
2. 路径A→C→E的长度为$AC+CE=AB+BC+CE$，因为B到E之间线段BE最短，所以$BC+CE＞BE$，因此$AB+BE＜AB+BC+CE$，即A→B→E比A→C→E短；
3. 路径A→D→E的长度为$AD+DE=AB+BC+CD+DE$，因为C到E之间线段CE最短，所以$CD+DE＞CE$，因此$AB+BC+CD+DE＞AB+BC+CE＞AB+BE$，即A→D→E比前两条路径都长。
第三步：综上，A到E的最短路径为A→B→E，结合固定段E→F，可得从A到F的最短路线。
【答案】
$A→B→E→F$
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径判断
【点评】
本题是线段性质的基础应用类题目，解题时可先拆分路线，排除长度固定的路段，再结合线段性质对比剩余路段的长度，即可快速得出结论，解题的核心是熟练掌握两点之间线段最短的性质。
【难度系数】
0.8

9. 若C是线段AB的中点，且BC=3 cm，则AB的长是 （）

A.3 cm
B.4.5 cm
C.6 cm
D.12 cm

9. C

【分析】
解题时首先回忆线段中点的定义：若一个点把一条线段分成两条长度相等的线段，这个点就是该线段的中点，此时整条线段的长度等于其中任意一段等长线段的2倍。本题已知C是AB的中点，且BC的长度为3cm，只需利用中点性质，用BC的长度乘2即可得到AB的长度，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可得：AB = 2BC，
又
∵BC = 3 cm，
∴AB = 2×3 = 6 cm。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；线段长度计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是对线段中点性质的直接应用，掌握中点的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9

10. 点C在线段AB上，下列条件不能确定C为线段AB的中点的是（）

A.$AB=2AC$
B.$AC=2BC$
C.$AC=BC$
D.$BC=\frac{1}{2}AB$

10. B

【分析】
首先回忆线段中点的定义：若点C在线段AB上，且满足$AC=BC=\frac{1}{2}AB$（或$AB=2AC=2BC$），则C是线段AB的中点。本题要求选出不能确定C为中点的选项，我们结合“C在线段AB上”的前提，逐一验证每个选项是否符合中点的等量关系即可。
【解析】
已知点C在线段AB上，因此线段满足$AB=AC+BC$，结合中点定义逐一判断：
选项A：由$AB=2AC$，代入$AB=AC+BC$可得$2AC=AC+BC$，化简得$AC=BC$，符合中点定义，可确定C是AB中点，不符合题意；
选项B：$AC=2BC$，说明AC的长度是BC的2倍，不满足中点要求的$AC=BC$，无法确定C是AB中点，符合题意；
选项C：$AC=BC$，直接符合线段中点的定义，可确定C是AB中点，不符合题意；
选项D：由$BC=\frac{1}{2}AB$，代入$AB=AC+BC$可得$BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，两边同乘2得$2BC=AC+BC$，化简得$AC=BC$，符合中点定义，可确定C是AB中点，不符合题意。
【答案】B
【知识点】线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】本题是线段中点判定的基础题，解题关键是牢记线段中点的判定条件，注意结合点在线段上的前提推导等量关系，避免漏看前提导致判断错误。
【难度系数】0.8

11. 如图54-G-7，A，B，C，D四点在一条直线上，根据图形填空：
(1)AC=++；
(2)AB=AC-；
(3)DB+BC=-AD.

11. (1) AD DB BC (2) BC (3) AC

【分析】
解题前先明确同一直线上四点的顺序为A、D、B、C，所有线段的和差运算都基于该顺序推导：
1. 第一问要写出AC的分段和，只需要将AC从A到C的路径上的小段依次列出相加即可；
2. 第二问要将AB表示为AC减去某线段，观察AC包含AB和BC两部分，减去BC即可得到AB；
3. 第三问先化简左边DB+BC，可得DB+BC=DC，再找哪条线段减去AD等于DC，显然AC=AD+DC，因此AC-AD=DC，即可得到答案。
【解析】
根据四点在直线上的顺序A、D、B、C可得：
(1) 线段AC被D、B两点分为三段，因此$AC=AD+DB+BC$；
(2) 由线段和的关系可知$AC=AB+BC$，变形可得$AB=AC-BC$；
(3) 先计算左边：$DB+BC=DC$，又因为$AC=AD+DC$，变形得$DC=AC-AD$，因此$DB+BC=AC-AD$。
【答案】
(1) $\boxed{AD}$，$\boxed{DB}$，$\boxed{BC}$
(2) $\boxed{BC}$
(3) $\boxed{AC}$
【知识点】
线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差的基础练习题，重点考查对同一直线上线段拆分、合并关系的理解，只要理清各点的排列顺序，就能快速求解，是复杂线段计算的必备基础。
【难度系数】
0.9