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18.（教材习题6.2 T10变式）如图53-G-13所示：
图53-G-13
(1)实验观察：
如果过任意两点画直线，那么：
图①可以画
图②可以画
图③可以画
(2)探索归纳：
如果平面上有$n(n≥3)$个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么过任意两点可以画多少条直线（用含n的代数式表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间比赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
图53-G-13
(1)实验观察：
如果过任意两点画直线，那么：
图①可以画
3
条直线；图②可以画
6
条直线；图③可以画
10
条直线。(2)探索归纳：
如果平面上有$n(n≥3)$个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么过任意两点可以画多少条直线（用含n的代数式表示）？
(3)解决问题：
某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间比赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？
答案
18. (1)3 6 10 (2)$\frac{n(n-1)}{2}$条 (3)15场
解析
【分析】
(1) 解决第一小问时，依据“两点确定一条直线”的性质，按顺序计数每个图中过任意两点的直线，做到不重复、不遗漏即可得到结果。(2) 第二小问探究通用规律，先分析单个点可以和其余多少个点连成直线，再注意每条直线会被两个点重复计数一次，即可推导出n个点对应的直线总数公式。(3) 第三小问是公式的实际应用，将6个班级对应6个点，每两个班的一场比赛对应过两点的一条直线，代入第二问得到的公式计算即可。
【解析】
(1) 图①有3个点，无三点共线，可画直线：$2+1=3$条；
图②有4个点，无三点共线，可画直线：$3+2+1=6$条；
图③有5个点，无三点共线，可画直线：$4+3+2+1=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，每个点都能和剩余的$(n-1)$个点画出$(n-1)$条直线，$n$个点共计数得到$n(n-1)$条直线；由于每条直线会被两个点各计算1次，存在重复计数，因此实际可画直线的数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(3) 单循环赛规则为每两个班级之间仅赛1场，等价于6个点中过两点画直线的问题，将$n=6$代入上述公式得：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$场。
【答案】
(1) 3，6，10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条
(3) 15场
【知识点】
两点确定一条直线；规律探究；代数式应用
【点评】
本题结合图形计数、规律推导、实际应用三类问题，体现了从特殊到一般再到实际应用的数学思想，解题的关键是理解两点确定一条直线的性质，掌握无三点共线时n个点确定直线数量的推导方法。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一小问时，依据“两点确定一条直线”的性质，按顺序计数每个图中过任意两点的直线，做到不重复、不遗漏即可得到结果。(2) 第二小问探究通用规律，先分析单个点可以和其余多少个点连成直线，再注意每条直线会被两个点重复计数一次，即可推导出n个点对应的直线总数公式。(3) 第三小问是公式的实际应用，将6个班级对应6个点，每两个班的一场比赛对应过两点的一条直线，代入第二问得到的公式计算即可。
【解析】
(1) 图①有3个点，无三点共线，可画直线：$2+1=3$条；
图②有4个点，无三点共线，可画直线：$3+2+1=6$条；
图③有5个点，无三点共线，可画直线：$4+3+2+1=10$条。
(2) 平面上有$n(n≥3)$个点，每个点都能和剩余的$(n-1)$个点画出$(n-1)$条直线，$n$个点共计数得到$n(n-1)$条直线；由于每条直线会被两个点各计算1次，存在重复计数，因此实际可画直线的数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
(3) 单循环赛规则为每两个班级之间仅赛1场，等价于6个点中过两点画直线的问题，将$n=6$代入上述公式得：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$场。
【答案】
(1) 3，6，10
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条
(3) 15场
【知识点】
两点确定一条直线；规律探究；代数式应用
【点评】
本题结合图形计数、规律推导、实际应用三类问题，体现了从特殊到一般再到实际应用的数学思想，解题的关键是理解两点确定一条直线的性质，掌握无三点共线时n个点确定直线数量的推导方法。
【难度系数】
0.7
