17. 如图54-G-12，A，B，C，D四点在同一条直线上，且$AB=CD$.
(1)若$AC=12\ \mathrm{cm}$，求$BD$的长；
(2)若$AB:BC=1:2$，$M$是$AB$的中点，$N$是$CD$的中点，$MN=18\ \mathrm{cm}$，求$AD$的长.

17. 解:(1)因为 $AB=CD$,
所以 $AB+BC=CD+BC$,即 $AC=BD$.
因为 $AC=12\ \mathrm{cm}$,所以 $BD=12\ \mathrm{cm}$.
(2)设 $AB=x\ \mathrm{cm}$.
因为 $AB:BC=1:2$,所以 $BC=2x\ \mathrm{cm}$.
如图：

因为 M 是 AB 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$.
因为 $AB=CD$,所以 $CD=x\ \mathrm{cm}$.
因为 N 是 CD 的中点,
所以 $CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$.
又因为 $MN=BM+BC+CN$,
所以 $\frac{1}{2}x+2x+\frac{1}{2}x=18$,解得 $x=6$.
所以 $AB=CD=6\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$.
所以 $AD=AB+BC+CD=24\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1) 要得到BD的长度，先观察已知条件和线段的组成关系：已知AB=CD，AC由AB和BC组成，BD由BC和CD组成，二者都包含公共线段BC，根据等式的性质，在AB=CD两边同时加上BC即可得到AC=BD，代入AC的数值就能直接求出BD。
(2) 题目给出线段比例、中点和MN的长度，适合用设未知数的方法求解：先设AB的长度为x，根据比例关系表示出BC的长度，再结合AB=CD得到CD的长度；然后根据线段中点的性质，分别表示出BM、CN的长度；观察可知MN由BM、BC、CN三部分组成，根据MN的长度列方程解出x，最后将AB、BC、CD的长度相加即可得到AD的总长。
【解析】
(1) 因为 $AB=CD$，
所以 $AB+BC=CD+BC$，即 $AC=BD$。
因为 $AC=12\ \mathrm{cm}$，所以 $BD=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 设 $AB=x\ \mathrm{cm}$。
因为 $AB:BC=1:2$，所以 $BC=2x\ \mathrm{cm}$。

因为 M 是 AB 的中点，
所以 $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
因为 $AB=CD$，所以 $CD=x\ \mathrm{cm}$。
因为 N 是 CD 的中点，
所以 $CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$。
又因为 $MN=BM+BC+CN$，
所以 $\frac{1}{2}x+2x+\frac{1}{2}x=18$，解得 $x=6$。
所以 $AB=CD=6\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$。
所以 $AD=AB+BC+CD=6+12+6=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $BD=12\ \mathrm{cm}$
(2) $AD=24\ \mathrm{cm}$

【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义；方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，第一小问通过公共线段实现相等线段的转化，第二小问结合比例、中点性质用方程求解，解题时要注意梳理线段的组成关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

18. 已知平面上有一条线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，探讨下列问题：
(1)平面上是否存在一点$C$，使它到$A$，$B$两点的距离之和等于$8\ \mathrm{cm}$？请说明理由；
(2)平面上是否存在一点$D$，使它到$A$，$B$两点的距离之和等于$10\ \mathrm{cm}$？若存在，它的位置唯一吗？
(3)当点$E$到$A$，$B$两点的距离之和等于$20\ \mathrm{cm}$时，点$E$一定在直线$AB$外吗？请举例说明。

18. 解:(1)不存在.
理由:因为两点之间,线段最短,
所以 $AC+BC≥ AB$.
而 $AB=10\ \mathrm{cm}$,所以$AC+BC≥ 10\ \mathrm{cm}$.
即平面上不存在一点 C,使它到 A,B 两点的距离之和等于8 cm.
(2)存在.点 D 的位置不唯一,它是线段 AB 上的任意一点.
(3)不一定.如图所示(当点 E 在线段 AB 的延长线上,且$BE=5\ \mathrm{cm}$时也符合题意):

【分析】
解决本题需围绕“两点之间，线段最短”这一核心性质分层思考：
1. 解答第(1)问时，先明确平面内任意一点到A、B两点的距离之和的最小值为线段AB的长度，将题目给出的8cm与AB长度10cm对比，若小于最小值则不存在符合要求的点。
2. 解答第(2)问时，当距离之和等于AB长度时，只有点落在线段AB上时满足要求，线段上有无数个点，因此位置不唯一。
3. 解答第(3)问时，距离之和大于AB长度时，点的位置可分为两类：直线AB外，或直线AB上线段AB之外的部分（延长线/反向延长线），举直线上符合要求的例子即可判断结论。
【解析】
(1) 不存在点C。
根据两点之间线段最短的性质，平面内任意一点C都满足$AC+BC≥ AB$，已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，因此$AC+BC≥10\ \mathrm{cm}$，$8\ \mathrm{cm}＜10\ \mathrm{cm}$，不存在符合要求的点。
(2) 存在点D，位置不唯一。
当点D在线段AB上时，$AD+BD=AB=10\ \mathrm{cm}$，线段AB上任意一点都满足要求，因此有无数个符合条件的点，位置不唯一。
(3) 点E不一定在直线AB外。
例：点E在线段BA的延长线上，$EA=5\ \mathrm{cm}$时，$EB=EA+AB=15\ \mathrm{cm}$，此时$EA+EB=20\ \mathrm{cm}$，满足条件且该点在直线AB上，因此点E不一定在直线AB外。
【答案】
(1)不存在.
理由:因为两点之间,线段最短,
所以 $AC+BC≥ AB$.
而 $AB=10\ \mathrm{cm}$,所以$AC+BC≥ 10\ \mathrm{cm}$.
即平面上不存在一点 C,使它到 A,B 两点的距离之和等于8 cm.
(2)存在.点 D 的位置不唯一,它是线段 AB 上的任意一点.
(3)不一定.如图所示(当点 E 在线段 AB 的延长线上,且$BE=5\ \mathrm{cm}$时也符合题意):

【知识点】
两点之间线段最短；线段的和差计算；点与直线的位置关系
【点评】
本题考查线段基本性质的应用，解题时需要分类讨论点的不同位置，避免遗漏点在直线AB延长线、反向延长线的情况，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.8