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6. 如图，某公路局施工队要修建一条公路AB，已知C点周围300 m范围内为古建筑保护群，在点A处测得C在A的北偏东$45°$方向上，从A向东走900 m到达B处，测得C在点B的北偏西$60°$方向上（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$）。
(1)AB是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划每天修建多少米公路？
(1)AB是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划每天修建多少米公路？
答案
解:(1)不穿过古建筑保护群.理由如下:
如图，过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H，
设 $CH=x\ \mathrm{m},$
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE⊥ AB,FB⊥ AB,$
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°,$
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$AH=CH=x\ \mathrm{m},$
在 $\mathrm{Rt}△ HBC$ 中，$\tan∠ HBC=\frac{CH}{HB},$
$\therefore HB=\frac{CH}{\tan 30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}.$
$\because AH+HB=AB,\therefore x+\sqrt{3}x=900,$
解得 $x=\frac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m}),329＞300,$
$\therefore AB$ 不穿过古建筑保护群.
(2)设原计划每天修建 $a\ \mathrm{m}$ 公路，
根据题意，得 $\frac{900}{a}=\frac{900}{(1+25\%)a}+5,$ 解得 $a=36,$
经检验，$a=36$ 是原方程的根，且符合题意.
答:原计划每天修建 36 m 公路.
解析
【分析】
(1)要判断AB是否穿过古建筑保护群，只需计算点C到AB的距离，再与300m比较大小即可。我们可过点C作CH⊥AB于H，设CH的长为x m，结合方向角的条件，可得Rt△ACH为等腰直角三角形，Rt△BCH中∠CBH=30°，分别用x表示出AH、HB的长度，再根据AH+HB=AB=900m列方程求解x，比较x和300的大小就能得出结论。
(2)第二问属于工程问题，核心等量关系为：原计划工作时间=效率提升后的工作时间+5天。设原计划每天修建a m公路，分别表示出原计划用时和提高效率后的用时，列分式方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【解析】
(1)AB不穿过古建筑保护群，理由如下：
如图，过点C作$CH ⊥ AB$于点H，
设$CH=x\ \mathrm{m},$
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE⊥ AB,FB⊥ AB,$
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°,$
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$AH=CH=x\ \mathrm{m},$
在$\mathrm{Rt}△ HBC$中，$\tan∠ HBC=\frac{CH}{HB},$
$\therefore HB=\frac{CH}{\tan 30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}.$
$\because AH+HB=AB,\therefore x+\sqrt{3}x=900,$
解得 $x=\frac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m}),329＞300,$
$\therefore AB$不穿过古建筑保护群。
(2)设原计划每天修建$a\ \mathrm{m}$公路，
根据题意，得 $\frac{900}{a}=\frac{900}{(1+25\%)a}+5,$ 解得 $a=36,$
经检验，$a=36$是原方程的根，且符合题意。
【答案】
(1)AB不穿过古建筑保护群；
(2)原计划每天修建36 m公路。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 分式方程的应用
【点评】
本题结合实际施工场景考察知识点应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形建立边长等量关系，以及准确找到工程问题中的时间等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1)要判断AB是否穿过古建筑保护群，只需计算点C到AB的距离，再与300m比较大小即可。我们可过点C作CH⊥AB于H，设CH的长为x m，结合方向角的条件，可得Rt△ACH为等腰直角三角形，Rt△BCH中∠CBH=30°，分别用x表示出AH、HB的长度，再根据AH+HB=AB=900m列方程求解x，比较x和300的大小就能得出结论。
(2)第二问属于工程问题，核心等量关系为：原计划工作时间=效率提升后的工作时间+5天。设原计划每天修建a m公路，分别表示出原计划用时和提高效率后的用时，列分式方程求解即可，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【解析】
(1)AB不穿过古建筑保护群，理由如下：
如图，过点C作$CH ⊥ AB$于点H，
设$CH=x\ \mathrm{m},$
$\because ∠ EAC=45°,∠ FBC=60°,AE⊥ AB,FB⊥ AB,$
$\therefore ∠ CAH=45°,∠ CBA=30°,$
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$AH=CH=x\ \mathrm{m},$
在$\mathrm{Rt}△ HBC$中，$\tan∠ HBC=\frac{CH}{HB},$
$\therefore HB=\frac{CH}{\tan 30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}.$
$\because AH+HB=AB,\therefore x+\sqrt{3}x=900,$
解得 $x=\frac{900}{1+\sqrt{3}}\approx329(\mathrm{m}),329＞300,$
$\therefore AB$不穿过古建筑保护群。
(2)设原计划每天修建$a\ \mathrm{m}$公路，
根据题意，得 $\frac{900}{a}=\frac{900}{(1+25\%)a}+5,$ 解得 $a=36,$
经检验，$a=36$是原方程的根，且符合题意。
【答案】
(1)AB不穿过古建筑保护群；
(2)原计划每天修建36 m公路。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 分式方程的应用
【点评】
本题结合实际施工场景考察知识点应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形建立边长等量关系，以及准确找到工程问题中的时间等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
7. (2026 衡阳月考)
探究车牌识别系统的识别角度
材料1 图①是某小区地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$BC⊥ AC$，$AC$长$14.4\ \mathrm{m}$
材料2 为了便于管理，物业在图①这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图②中摄像头$D$点位于$B$点正上方，$DB=1.1\ \mathrm{m}$，$D,B,C$三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为$EB$，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：$\sin 53°\approx\frac{4}{5}$，$\cos 53°\approx\frac{3}{5}$，$\tan 53°\approx\frac{4}{3}$）
解决问题 (1)求坡面$AB$的坡度. (2)如图②，当$∠ EDB=53°$时，求$BE$长
探究车牌识别系统的识别角度
材料1 图①是某小区地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$BC⊥ AC$，$AC$长$14.4\ \mathrm{m}$
材料2 为了便于管理，物业在图①这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图②中摄像头$D$点位于$B$点正上方，$DB=1.1\ \mathrm{m}$，$D,B,C$三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为$EB$，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：$\sin 53°\approx\frac{4}{5}$，$\cos 53°\approx\frac{3}{5}$，$\tan 53°\approx\frac{4}{3}$）
解决问题 (1)求坡面$AB$的坡度. (2)如图②，当$∠ EDB=53°$时，求$BE$长
答案
解:(1) $\because BC=4.2\ \mathrm{m},BC⊥ AC,AC=14.4\ \mathrm{m},$
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{4.2}{14.4}=\frac{7}{24}.$
故坡面 AB 的坡度为 $\frac{7}{24}.$
(2)如图，作 $EM ⊥ CD$ 于点 M，
则 $∠ EMB=90°,$
$\therefore ∠ BEM+∠ EBM=90°,$
$\because BC⊥ AC,\therefore ∠ C=90°,$
$\therefore ∠ BAC+∠ EBM=90°,\therefore ∠ BAC=∠ BEM,$
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ BEM,\therefore \frac{BM}{EM}=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{24},$
设 $BM=7x,$ 则 $EM=24x,\therefore BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x,$
$\because DB=1.1\ \mathrm{m},∠ EDB=53°,\therefore EM=DM· \tan∠ EDB,$
即 $24x=(1.1+7x)×\frac{4}{3},$ 解得 $x=0.1,$
则 $BE=25x=2.5\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
（1）首先明确坡面坡度的定义是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题中铅直高度为BC，水平宽度为AC，直接代入数值计算比值即可得到AB的坡度。
（2）要求BE的长度，现有图形中没有同时关联∠EDB和BE的直角三角形，因此过E作EM⊥CD于M，构造出Rt△EDM和Rt△BEM：首先根据同角的余角相等可得∠BEM=∠BAC，所以Rt△BEM的两直角边比等于AB的坡度，据此设未知数表示出BM、EM、BE的长度；再在Rt△EDM中，利用53°的正切值建立关于未知数的方程，解方程求出未知数后即可计算得到BE的长度。
【解析】
(1) 已知$BC⊥ AC$，$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$AC=14.4\ \mathrm{m}$，根据坡度的定义：
$\mathrm{坡度}=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}=\frac{4.2}{14.4}=\frac{7}{24}$
(2) 如图，作$EM ⊥ CD$于点M，
则$∠ EMB=90°$，因此$∠ BEM+∠ EBM=90°$。
又$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ C=90°$，可得$∠ BAC+∠ EBM=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BEM$，
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ BEM=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{24}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{7}{24}$。
设$BM=7x$，则$EM=24x$，在Rt△BEM中由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x$。
已知$DB=1.1\ \mathrm{m}$，则$DM=DB+BM=1.1+7x$，
在Rt△EDM中，$∠ EDB=53°$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，因此$EM=DM·\tan∠ EDB$，
代入得：$24x=(1.1+7x)×\frac{4}{3}$，
解方程：$72x=4(1.1+7x)$，$72x=4.4+28x$，$44x=4.4$，解得$x=0.1$，
$\therefore BE=25x=25×0.1=2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 坡面AB的坡度为$\frac{7}{24}$；
(2) $BE$长为$2.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题以生活中的车库车牌识别场景为载体，考查了坡度、三角函数及勾股定理在实际问题中的应用，解题的核心是通过作辅助线构造合适的直角三角形，利用边角关系建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确坡面坡度的定义是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，本题中铅直高度为BC，水平宽度为AC，直接代入数值计算比值即可得到AB的坡度。
（2）要求BE的长度，现有图形中没有同时关联∠EDB和BE的直角三角形，因此过E作EM⊥CD于M，构造出Rt△EDM和Rt△BEM：首先根据同角的余角相等可得∠BEM=∠BAC，所以Rt△BEM的两直角边比等于AB的坡度，据此设未知数表示出BM、EM、BE的长度；再在Rt△EDM中，利用53°的正切值建立关于未知数的方程，解方程求出未知数后即可计算得到BE的长度。
【解析】
(1) 已知$BC⊥ AC$，$BC=4.2\ \mathrm{m}$，$AC=14.4\ \mathrm{m}$，根据坡度的定义：
$\mathrm{坡度}=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}=\frac{4.2}{14.4}=\frac{7}{24}$
(2) 如图，作$EM ⊥ CD$于点M，
则$∠ EMB=90°$，因此$∠ BEM+∠ EBM=90°$。
又$\because BC⊥ AC$，$\therefore ∠ C=90°$，可得$∠ BAC+∠ EBM=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BEM$，
$\therefore \tan∠ BAC=\tan∠ BEM=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{24}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{7}{24}$。
设$BM=7x$，则$EM=24x$，在Rt△BEM中由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BM^2+EM^2}=\sqrt{(7x)^2+(24x)^2}=25x$。
已知$DB=1.1\ \mathrm{m}$，则$DM=DB+BM=1.1+7x$，
在Rt△EDM中，$∠ EDB=53°$，$\tan53°\approx\frac{4}{3}$，因此$EM=DM·\tan∠ EDB$，
代入得：$24x=(1.1+7x)×\frac{4}{3}$，
解方程：$72x=4(1.1+7x)$，$72x=4.4+28x$，$44x=4.4$，解得$x=0.1$，
$\therefore BE=25x=25×0.1=2.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 坡面AB的坡度为$\frac{7}{24}$；
(2) $BE$长为$2.5\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题以生活中的车库车牌识别场景为载体，考查了坡度、三角函数及勾股定理在实际问题中的应用，解题的核心是通过作辅助线构造合适的直角三角形，利用边角关系建立方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
