1.某河堤横断面如图所示，河堤BC的高度为4 m，水平距离AC=$4\sqrt{3}$ m，则斜坡AB的坡度是（）


A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$30°$
D.$60°$

1. A

【分析】
解题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值，是无单位的数值，据此可先排除单位为角度的C、D选项。接下来提取题干对应数值：铅直高度为BC=4m，水平宽度为AC=4√3 m，将两个数值代入坡度公式计算化简，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据坡度的定义，坡度$i = \frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}$。
由题可知，铅直高度$BC=4\mathrm{m}$，水平宽度$AC=4\sqrt{3}\mathrm{m}$，
因此斜坡AB的坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
C、D选项为坡角的角度值，不属于坡度，直接排除，故选A。
【答案】
A
【知识点】
坡度的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是区分坡度（坡比）与坡角的差异，牢记坡度是垂直高度与水平宽度的比值，注意不要将分子分母倒置，掌握基础定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东$40°$方向，且它与灯塔A相距13 n mile，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（）

A.$13\cos 40°$ n mile
B.$13\sin 40°$ n mile
C.$\frac{13}{\sin 50°}$ n mile
D.$\frac{13}{\cos 50°}$ n mile

2. A

【分析】
解题时先根据方向角的定义确定角度关系，再结合方位特征判断三角形形状：首先由“到达B处时灯塔A在正北方向”可知AB垂直于正东方向的OB，即△OAB是直角三角形；再根据“O点测得A在北偏东40°”，结合AB与正北方向平行，推导得到直角三角形中∠OAB=40°；最后利用锐角三角函数的定义，找到AB与已知斜边OA的关系即可求解。
【解析】
解：由题意可知∠ABO=90°，OA=13 n mile。
∵ A在O点的北偏东40°方向，且AB为正北方向，与正北方向线平行，
∴ ∠OAB=40°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△ABO中，根据余弦的定义：$\cos∠ OAB=\frac{AB}{OA}$，
代入数据得：$AB=OA·\cos40°=13\cos40°\ \mathrm{n mile}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角，余弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题结合实际航行场景考查解直角三角形的应用，解题核心是准确根据方位描述确定直角三角形的内角度数，再结合锐角三角函数的定义列式计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8

3. (2025石家庄期末)如图所示,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5 m,那么相邻的两棵树在坡面上的距离AB为 ()


A.$5\cosα$ m
B.$\frac{5}{\cosα}$ m
C.$5\sinα$ m
D.$\frac{5}{\sinα}$ m

3. B

【分析】
我们需要将实际栽树问题转化为解直角三角形的数学问题求解。首先明确已知条件：相邻两树的水平距离为5m，坡面与水平面的夹角（坡角）为α，待求的坡面距离AB是直角三角形的斜边，水平距离是角α的邻边，可通过余弦三角函数的定义建立等量关系，计算得到AB的长度。
【解析】
解：由题意可知，相邻两树的水平距离为5m，在坡角为α的直角三角形中，角α的邻边为水平距离5m，斜边为坡面距离AB。
根据余弦函数的定义：$\cosα=\frac{\mathrm{角}α\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{\mathrm{水平距离}}{AB}$
将水平距离5m代入得：$\cosα=\frac{5}{AB}$
变形可得：$AB=\frac{5}{\cosα}\ \mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际考查三角函数的应用，解题关键是明确坡角的含义，找准直角三角形中对应角的邻边和斜边，利用余弦定义列式计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

4.如图，方块从4 m高的A处沿斜坡滑到B处.若斜坡的坡度为$i=1:2$，则斜坡AB的水平宽度BC为m.

4. 8

【分析】
解题时首先要明确坡度的定义：坡度是斜坡的竖直高度与水平宽度的比值。本题中已经给出斜坡的竖直高度AC为4m，坡度i=1:2，我们可以直接根据坡度的定义列出比例式，代入已知数值求解即可得到BC的长度。
【解析】
根据坡度的定义可知：$i=\frac{\mathrm{竖直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{AC}{BC}$
已知$AC=4\ \mathrm{m}$，$i=1:2=\frac{1}{2}$，将数值代入公式得：
$\frac{4}{BC}=\frac{1}{2}$
解得：$BC=4×2=8\ \mathrm{m}$
【答案】
8
【知识点】
坡度的概念，比例计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对坡度定义的掌握，只要准确理解坡度是竖直高度和水平宽度的比值，避免搞反比例关系，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.9

5.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由$37°$减至$30°$，已知原楼梯AB长5 m，求调整后的楼梯BC会加长多少米（参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$）。

解:在 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中，$AB=5\ \mathrm{m},∠ BAD=37°,$
则 $BD=AB· \sin∠ BAD\approx5×\frac{3}{5}=3(\mathrm{m}).$
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$∠ C=30°,$
$\therefore BC=\frac{BD}{\sin 30°}\approx3×2=6(\mathrm{m}),\therefore BC-AB\approx6-5=1(\mathrm{m}).$
答:调整后的楼梯会加长约 1 m.

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题核心是抓住楼梯垂直高度BD不变这一隐含条件。首先在含37°角的$\mathrm{Rt}△BAD$中，利用正弦三角函数求出公共边BD的长度；再在含30°角的$\mathrm{Rt}△BCD$中，利用30°角的正弦值求出调整后楼梯BC的长度；最后用BC的长度减去原楼梯AB的长度，即可得到加长的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△BAD$中，$AB=5\ \mathrm{m}$，$∠ BAD=37°$，
由正弦的定义可知$\sin∠ BAD=\frac{BD}{AB}$，
则$BD=AB·\sin∠ BAD\approx5×\frac{3}{5}=3(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=30°$，
由$\sin C=\frac{BD}{BC}$可得$BC=\frac{BD}{\sin 30°}$，
∵$\sin 30°=\frac{1}{2}$，
∴$BC\approx\frac{3}{\frac{1}{2}}=6(\mathrm{m})$，
∴调整后楼梯加长的长度为$BC-AB\approx6-5=1(\mathrm{m})$。
【答案】
调整后的楼梯会加长约1 m
【知识点】
1. 解直角三角形的应用；2. 锐角三角函数的定义；3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是坡角相关的实际应用题，解题的关键是明确楼梯高度不变这一隐含条件，灵活运用锐角三角函数求解对应边长即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8