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【例1】如图，在 $Rt△ ABC$ 中，已知 $∠ C=90°$，$a=4,c=8$，解这个直角三角形。
答案
解:在 Rt△ABC 中，
∵a²+b²=c²,a=4,c=8，
∴b=√(c²−a²)=√(8²−4²)=4√3。
∵sin A=a/c=4/8=1/2,
∴∠A=30°，
∴∠B=90°−30°=60°。
∵a²+b²=c²,a=4,c=8，
∴b=√(c²−a²)=√(8²−4²)=4√3。
∵sin A=a/c=4/8=1/2,
∴∠A=30°，
∴∠B=90°−30°=60°。
解析
【分析】
解直角三角形需要求出三角形所有未知的边和角。本题已知$Rt△ ABC$的直角边$a=4$、斜边$c=8$，未知元素为直角边$b$、锐角$∠ A$和$∠ B$：第一步可利用勾股定理求出另一条直角边$b$；第二步通过锐角三角函数（正弦），用$∠ A$的对边与斜边的比值求出$\sin A$的值，进而得到$∠ A$的度数；第三步根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$：
1. 求直角边$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入$a=4$，$c=8$得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
2. 求$∠ A$：
根据正弦的定义$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
因为$∠ A$是锐角，所以$∠ A=30°$。
3. 求$∠ B$：
根据直角三角形两锐角互余得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
【答案】
$b=4\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是明确解直角三角形的要求，结合已知条件灵活选择对应的公式计算，注意根式化简和特殊角的三角函数值不要记错。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出三角形所有未知的边和角。本题已知$Rt△ ABC$的直角边$a=4$、斜边$c=8$，未知元素为直角边$b$、锐角$∠ A$和$∠ B$：第一步可利用勾股定理求出另一条直角边$b$；第二步通过锐角三角函数（正弦），用$∠ A$的对边与斜边的比值求出$\sin A$的值，进而得到$∠ A$的度数；第三步根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出$∠ B$的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$：
1. 求直角边$b$：
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，代入$a=4$，$c=8$得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
2. 求$∠ A$：
根据正弦的定义$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{a}{c}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
因为$∠ A$是锐角，所以$∠ A=30°$。
3. 求$∠ B$：
根据直角三角形两锐角互余得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
【答案】
$b=4\sqrt{3}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理，正弦的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是明确解直角三角形的要求，结合已知条件灵活选择对应的公式计算，注意根式化简和特殊角的三角函数值不要记错。
【难度系数】
0.8
【变式1】在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=16$，$\sin B=0.8$，则$BC$的长是（
A.12
B.16
C.20
D.24
A
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
A
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先根据锐角三角函数中正弦的定义，明确∠B的正弦值等于其对边与斜边的比值，结合已知的sinB和AC的长度先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可求出直角边BC的长度。解题时要注意准确区分锐角对应的对边、邻边，避免边角对应错误。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$\sin B=0.8$，$AC=16$，代入得：
$0.8=\frac{16}{AB}$，解得$AB=\frac{16}{0.8}=20$。
再根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查解直角三角形的基本运用，只要准确掌握锐角三角函数的边角对应关系，熟练运用勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先根据锐角三角函数中正弦的定义，明确∠B的正弦值等于其对边与斜边的比值，结合已知的sinB和AC的长度先求出斜边AB的长度；再利用勾股定理，即可求出直角边BC的长度。解题时要注意准确区分锐角对应的对边、邻边，避免边角对应错误。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
已知$\sin B=0.8$，$AC=16$，代入得：
$0.8=\frac{16}{AB}$，解得$AB=\frac{16}{0.8}=20$。
再根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，变形得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查解直角三角形的基本运用，只要准确掌握锐角三角函数的边角对应关系，熟练运用勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2025 邯郸月考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13$,$BD\bot AC$于点$D$,$\sin A=\frac{12}{13}$.
(1)求$BD$的长；
(2)求$\tan C$的值.
(1)求$BD$的长；
(2)求$\tan C$的值.
答案
解:(1)
∵在△ABC 中,AB=AC=13,BD⊥AC 于点 D,sin A=12/13，
∴BD/AB=12/13,即BD/13=12/13,解得 BD=12。
(2)
∵AC=AB=13,BD=12,BD⊥AC，
由勾股定理可得 AD=5,
∴DC=8,
∴tan C=BD/DC=12/8=3/2。
∵在△ABC 中,AB=AC=13,BD⊥AC 于点 D,sin A=12/13，
∴BD/AB=12/13,即BD/13=12/13,解得 BD=12。
(2)
∵AC=AB=13,BD=12,BD⊥AC，
由勾股定理可得 AD=5,
∴DC=8,
∴tan C=BD/DC=12/8=3/2。
解析
【分析】
(1)求BD的长：已知BD⊥AC，可得△ABD是直角三角形，根据锐角三角函数中正弦的定义，$\sin A$等于∠A的对边BD除以斜边AB，已知AB和$\sin A$的数值，直接代入即可求出BD的长度。
(2)求$\tan C$的值：正切的定义是直角三角形中锐角的对边比邻边，观察图形可知△BDC是直角三角形，$\tan C=\frac{BD}{DC}$，BD已在第一问求出，因此先在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，BD⊥AC于点D，
∴△ABD为直角三角形。
已知AB=13，$\sin A=\frac{12}{13}$，根据正弦的定义$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
代入得$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$，解得$BD=12$。
(2) 在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
∵AC=13，
∴$DC=AC-AD=13-5=8$，
在Rt△BDC中，根据正切的定义$\tan C=\frac{BD}{DC}$，
代入得$\tan C=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $BD=12$；(2) $\tan C=\frac{3}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题型，考察锐角三角函数和勾股定理的结合应用，解题关键是找准直角三角形中对应角的对边、邻边和斜边，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
(1)求BD的长：已知BD⊥AC，可得△ABD是直角三角形，根据锐角三角函数中正弦的定义，$\sin A$等于∠A的对边BD除以斜边AB，已知AB和$\sin A$的数值，直接代入即可求出BD的长度。
(2)求$\tan C$的值：正切的定义是直角三角形中锐角的对边比邻边，观察图形可知△BDC是直角三角形，$\tan C=\frac{BD}{DC}$，BD已在第一问求出，因此先在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长度，再用AC的长度减去AD得到DC的长度，最后代入正切公式计算即可。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，BD⊥AC于点D，
∴△ABD为直角三角形。
已知AB=13，$\sin A=\frac{12}{13}$，根据正弦的定义$\sin A=\frac{BD}{AB}$，
代入得$\frac{BD}{13}=\frac{12}{13}$，解得$BD=12$。
(2) 在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$，
∵AC=13，
∴$DC=AC-AD=13-5=8$，
在Rt△BDC中，根据正切的定义$\tan C=\frac{BD}{DC}$，
代入得$\tan C=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $BD=12$；(2) $\tan C=\frac{3}{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题型，考察锐角三角函数和勾股定理的结合应用，解题关键是找准直角三角形中对应角的对边、邻边和斜边，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,在$△ ABC$中,已知$∠ B=30°$,$\sin C=\frac{3}{5}$,$AC=10$,求$AB$的长.
规律总结 构造直角三角形时,一般作高,但不要把特殊角$(30°,45°,60°)$分成两个角,通常从不是特殊角的顶点向对边作垂线,构造两个直角三角形.
规律总结 构造直角三角形时,一般作高,但不要把特殊角$(30°,45°,60°)$分成两个角,通常从不是特殊角的顶点向对边作垂线,构造两个直角三角形.
答案
解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。
在 Rt△ACD 中，
∵sin C=AD/AC=3/5,AC=10，
∴AD=6。
∵在 Rt△ABD 中,∠B=30°,
∴AB=2AD=12。
解析
【分析】
本题给出的是斜三角形，已知特殊角∠B=30°、∠C的正弦值和边AC的长，要求AB的长，需要先构造直角三角形将问题转化为解直角三角形问题。构造直角时注意不要破坏已知的特殊角30°，因此选择过点A作AD⊥BC于D，得到两个直角三角形Rt△ACD和Rt△ABD。首先在Rt△ACD中，利用正弦函数的定义，结合已知的sinC和AC的长度求出AD的长；再在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ACD中，
∵$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，$AC=10$，
∴$AD=AC×\frac{3}{5}=10×\frac{3}{5}=6$。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD是∠B所对的直角边，
∴$AB=2AD=2×6=12$。
【答案】
解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。
在 Rt△ACD 中，
∵sin C=AD/AC=3/5,AC=10，
∴AD=6。
∵在 Rt△ABD 中,∠B=30°,
∴AB=2AD=12。
【知识点】
锐角三角函数定义，含30°角直角三角形性质，解直角三角形
【点评】
本题核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，构造直角三角形时注意保留特殊角不被拆分是解题的关键，能有效考查转化思想的应用和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题给出的是斜三角形，已知特殊角∠B=30°、∠C的正弦值和边AC的长，要求AB的长，需要先构造直角三角形将问题转化为解直角三角形问题。构造直角时注意不要破坏已知的特殊角30°，因此选择过点A作AD⊥BC于D，得到两个直角三角形Rt△ACD和Rt△ABD。首先在Rt△ACD中，利用正弦函数的定义，结合已知的sinC和AC的长度求出AD的长；再在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ACD中，
∵$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}$，$AC=10$，
∴$AD=AC×\frac{3}{5}=10×\frac{3}{5}=6$。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD是∠B所对的直角边，
∴$AB=2AD=2×6=12$。
【答案】
解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。
在 Rt△ACD 中，
∵sin C=AD/AC=3/5,AC=10，
∴AD=6。
∵在 Rt△ABD 中,∠B=30°,
∴AB=2AD=12。
【知识点】
锐角三角函数定义，含30°角直角三角形性质，解直角三角形
【点评】
本题核心是将斜三角形转化为直角三角形求解，构造直角三角形时注意保留特殊角不被拆分是解题的关键，能有效考查转化思想的应用和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
