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1.如图,在下列选项中,是△ABC的外角的是(
A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
C
).A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，构成外角需满足三个条件：顶点在三角形的一个顶点上、一条边是三角形的边、另一条边是三角形某条边的延长线。接下来我们对照这三个条件逐一判断每个选项中的角是否符合要求，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义分析各选项：
A. ∠1的顶点不是△ABC的顶点，不符合三角形外角的构成条件，不是△ABC的外角；
B. ∠2的两条边均不是△ABC的边的延长线，不符合构成条件，不是△ABC的外角；
C. ∠3的顶点是△ABC的顶点B，一条边是△ABC的边BC，另一条边是AB的延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
D. ∠4不存在对应△ABC的边作为其组成边，不符合构成条件，不是△ABC的外角。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形外角定义的掌握程度，只要牢记外角的三个构成特征，逐个排查选项就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，构成外角需满足三个条件：顶点在三角形的一个顶点上、一条边是三角形的边、另一条边是三角形某条边的延长线。接下来我们对照这三个条件逐一判断每个选项中的角是否符合要求，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义分析各选项：
A. ∠1的顶点不是△ABC的顶点，不符合三角形外角的构成条件，不是△ABC的外角；
B. ∠2的两条边均不是△ABC的边的延长线，不符合构成条件，不是△ABC的外角；
C. ∠3的顶点是△ABC的顶点B，一条边是△ABC的边BC，另一条边是AB的延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABC的外角；
D. ∠4不存在对应△ABC的边作为其组成边，不符合构成条件，不是△ABC的外角。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形外角定义的掌握程度，只要牢记外角的三个构成特征，逐个排查选项就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，则$∠ A$的度数是（
A.$120°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
C
）。A.$120°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$30°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先识别∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。我们要求∠A，就可以利用这个性质，将已知的外角度数减去已知的不相邻内角度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴ $∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
代入已知$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，得：
$∠ A = 120° - 20° = 100°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形外角性质的直接应用，只要准确识别三角形的外角，牢记外角与不相邻内角的数量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先识别∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。我们要求∠A，就可以利用这个性质，将已知的外角度数减去已知的不相邻内角度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ ∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
∴ $∠ A = ∠ ACD - ∠ B$
代入已知$∠ ACD=120°$，$∠ B=20°$，得：
$∠ A = 120° - 20° = 100°$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形外角性质的直接应用，只要准确识别三角形的外角，牢记外角与不相邻内角的数量关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 如图，小明同学在“三角尺拼角”实验中把一副三角尺按图中的方式放置，则∠1的度数为
120°
。答案
3. 120°
解析
【分析】
遇到三角尺拼角求角度的问题，首先回忆一副三角尺的固定内角度数：分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°；其次观察∠1的位置，可判断∠1是三角形的外角，结合三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，只要找到与∠1不相邻的两个内角的度数，相加即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，图中与∠1不相邻的两个内角分别为90°、30°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1=90°+30°=120°$
【答案】
$120{}^{\circ }$
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题以三角尺拼角实验为背景，考查三角形外角性质的应用，解题的关键是熟悉三角尺的内角度数，准确识别外角对应的不相邻内角，是典型的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
遇到三角尺拼角求角度的问题，首先回忆一副三角尺的固定内角度数：分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°；其次观察∠1的位置，可判断∠1是三角形的外角，结合三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，只要找到与∠1不相邻的两个内角的度数，相加即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，图中与∠1不相邻的两个内角分别为90°、30°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1=90°+30°=120°$
【答案】
$120{}^{\circ }$
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题以三角尺拼角实验为背景，考查三角形外角性质的应用，解题的关键是熟悉三角尺的内角度数，准确识别外角对应的不相邻内角，是典型的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4. 由图可知，$x=$
60
.答案
4. 60 解析 $\because ∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角，
$\therefore ∠ACD=∠A+∠B,$
即$(x+80)°=x°+(x+20)°,$
解得$x=60.$
$\therefore ∠ACD=∠A+∠B,$
即$(x+80)°=x°+(x+20)°,$
解得$x=60.$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，识别到∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此可以建立关于x的等量关系，再解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质可得：$∠ ACD=∠ A+∠ B$，
将各角的度数代入得：$(x+80)°=x°+(x+20)°$，
化简方程：$x+80 = x + x + 20$，
移项计算得：$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，核心是利用三角形外角性质找到角度间的等量关系，通过列方程求解未知量，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，识别到∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此可以建立关于x的等量关系，再解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，
根据三角形外角的性质可得：$∠ ACD=∠ A+∠ B$，
将各角的度数代入得：$(x+80)°=x°+(x+20)°$，
化简方程：$x+80 = x + x + 20$，
移项计算得：$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
三角形外角的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，核心是利用三角形外角性质找到角度间的等量关系，通过列方程求解未知量，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.如图,在△ABC中,∠1=∠2=∠3.
(1)求证∠ABC=∠EDF.
(2)若∠ABC=45°,∠DFE=50°,求∠BAC的度数.
(1)求证∠ABC=∠EDF.
(2)若∠ABC=45°,∠DFE=50°,求∠BAC的度数.
答案
5.(1)证明 $\because ∠EDF$ 是$△ ABD$ 的一个外角，
$\therefore ∠EDF=∠1+∠ABD.$
$\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠EDF=∠2+∠ABD=∠ABC,$
即$∠ABC=∠EDF.$
(2)解 $\because ∠DEF$ 是$△ ACE$ 的一个外角，
$\therefore ∠DEF=∠3+∠CAE.$
$\because ∠1=∠3,$
$\therefore ∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC.$
由(1)得$∠EDF=∠ABC=45°,$
$\because ∠DFE=50°,$
$\therefore ∠DEF = 180° - ∠EDF -∠DFE=85°,$即$∠BAC=85°.$
$\therefore ∠EDF=∠1+∠ABD.$
$\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠EDF=∠2+∠ABD=∠ABC,$
即$∠ABC=∠EDF.$
(2)解 $\because ∠DEF$ 是$△ ACE$ 的一个外角，
$\therefore ∠DEF=∠3+∠CAE.$
$\because ∠1=∠3,$
$\therefore ∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC.$
由(1)得$∠EDF=∠ABC=45°,$
$\because ∠DFE=50°,$
$\therefore ∠DEF = 180° - ∠EDF -∠DFE=85°,$即$∠BAC=85°.$
解析
【分析】
(1) 要证明∠ABC=∠EDF，先观察∠EDF的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，可得∠EDF=∠1+∠ABD。结合已知∠1=∠2，将∠1替换为∠2，可得∠EDF=∠2+∠ABD，而∠2+∠ABD恰好是∠ABC，即可完成证明。
(2) 要求∠BAC的度数，先观察∠DEF的位置，它是△ACE的外角，同理根据外角性质可得∠DEF=∠3+∠CAE，结合已知∠1=∠3，替换后可得∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC。再利用(1)的结论得到∠EDF=∠ABC=45°，在△DEF中根据三角形内角和为180°，计算出∠DEF的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠EDF是$△ ABD$的一个外角，
∴ $∠ EDF=∠ 1+∠ ABD$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $∠ 1=∠ 2$，
∴ $∠ EDF=∠ 2+∠ ABD=∠ ABC$，
即$∠ ABC=∠ EDF$。
(2) 解：
∵ $∠ DEF$是$△ ACE$的一个外角，
∴ $∠ DEF=∠ 3+∠ CAE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $∠ 1=∠ 3$，
∴ $∠ DEF=∠ 1+∠ CAE=∠ BAC$。
由(1)得$∠ EDF=∠ ABC=45°$，
∵ $∠ DFE=50°$，在$△ DEF$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ DEF = 180° - ∠ EDF -∠ DFE=180°-45°-50°=85°$，
即$∠ BAC=85°$。
【答案】
(1) $∠ ABC=∠ EDF$得证；
(2) $\boxed{85°}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，核心是利用三角形外角性质建立角的和差关系，结合已知等角条件做等量代换实现角的转化，解题时要善于观察外角对应的不相邻内角，快速梳理角度关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠ABC=∠EDF，先观察∠EDF的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，可得∠EDF=∠1+∠ABD。结合已知∠1=∠2，将∠1替换为∠2，可得∠EDF=∠2+∠ABD，而∠2+∠ABD恰好是∠ABC，即可完成证明。
(2) 要求∠BAC的度数，先观察∠DEF的位置，它是△ACE的外角，同理根据外角性质可得∠DEF=∠3+∠CAE，结合已知∠1=∠3，替换后可得∠DEF=∠1+∠CAE=∠BAC。再利用(1)的结论得到∠EDF=∠ABC=45°，在△DEF中根据三角形内角和为180°，计算出∠DEF的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠EDF是$△ ABD$的一个外角，
∴ $∠ EDF=∠ 1+∠ ABD$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $∠ 1=∠ 2$，
∴ $∠ EDF=∠ 2+∠ ABD=∠ ABC$，
即$∠ ABC=∠ EDF$。
(2) 解：
∵ $∠ DEF$是$△ ACE$的一个外角，
∴ $∠ DEF=∠ 3+∠ CAE$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ $∠ 1=∠ 3$，
∴ $∠ DEF=∠ 1+∠ CAE=∠ BAC$。
由(1)得$∠ EDF=∠ ABC=45°$，
∵ $∠ DFE=50°$，在$△ DEF$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠ DEF = 180° - ∠ EDF -∠ DFE=180°-45°-50°=85°$，
即$∠ BAC=85°$。
【答案】
(1) $∠ ABC=∠ EDF$得证；
(2) $\boxed{85°}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，核心是利用三角形外角性质建立角的和差关系，结合已知等角条件做等量代换实现角的转化，解题时要善于观察外角对应的不相邻内角，快速梳理角度关系。
【难度系数】
0.7
6.如图，AC，BD相交于点O，BE，CE分别平分∠ABD，∠ACD，∠A＝50°，∠D＝44°，求∠E的度数.
答案
6. 解 $\because ∠BNC = ∠D + ∠DCN,$
$∠BNC=∠E+∠EBN,$
$\therefore ∠D+∠DCN=∠E+∠EBN.$
同理,$∠A+∠ABE=∠E+∠ACE,$
$\therefore ∠D+∠DCN+∠A+∠ABE=2∠E+∠EBN+∠ACE.$
$\because BE, CE$ 分别平分 $∠ABD$,$∠ACD,$
$\therefore ∠DCN = ∠ACE, ∠ABE =∠EBN,$
$\therefore ∠D+∠A=2∠E.$
$\because ∠A=50°,∠D=44°,$
$\therefore ∠E=47°.$
$∠BNC=∠E+∠EBN,$
$\therefore ∠D+∠DCN=∠E+∠EBN.$
同理,$∠A+∠ABE=∠E+∠ACE,$
$\therefore ∠D+∠DCN+∠A+∠ABE=2∠E+∠EBN+∠ACE.$
$\because BE, CE$ 分别平分 $∠ABD$,$∠ACD,$
$\therefore ∠DCN = ∠ACE, ∠ABE =∠EBN,$
$\therefore ∠D+∠A=2∠E.$
$\because ∠A=50°,∠D=44°,$
$\therefore ∠E=47°.$
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：
1. 首先利用三角形外角的性质，找到公共外角搭建已知角和未知角的关联：∠BNC同时是△DCN和△EBN的外角，可得到第一组包含∠D、∠E的等量关系。
2. 再结合对顶角相等和三角形内角和性质，得到第二组包含∠A、∠E的等量关系。
3. 结合角平分线的定义，可知被平分得到的小角分别相等，将两个等式相加后消去相等的中间角，就能推导出∠E和∠A、∠D的计算关系，最后代入数值求解即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：
∵ ∠BNC是△DCN的外角，
∴ $∠ BNC = ∠ D + ∠ DCN$，
又
∵ ∠BNC是△EBN的外角，
∴ $∠ BNC=∠ E+∠ EBN$，
∴ $∠ D+∠ DCN=∠ E+∠ EBN$ ①。
同理，在△ABM和△ECM中，$∠ AMB=∠ EMC$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A+∠ ABE+∠ AMB=180°$，$∠ E+∠ ACE+∠ EMC=180°$，
∴ $∠ A+∠ ABE=∠ E+∠ ACE$ ②。
将①和②相加，得：
$∠ D+∠ DCN+∠ A+∠ ABE=2∠ E+∠ EBN+∠ ACE$。
∵ BE、CE分别平分$∠ ABD$、$∠ ACD$，
∴ $∠ ABE =∠ EBN$，$∠ DCN = ∠ ACE$，
将相等的角代入上式，抵消后可得：$∠ D+∠ A=2∠ E$。
把$∠ A=50°$，$∠ D=44°$代入得：
$∠ E=(50°+44°)÷2=47°$。
【答案】
$47°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，等式的性质
【点评】
这是角度计算的典型综合题，解题核心是通过公共外角、对顶角等隐含的等量条件，建立已知角和待求角的关系，再结合角平分线性质消去中间未知角，即可快速求解，这类题是三角形角度计算的常考题型，需熟练掌握等量关系的构建方法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路推导：
1. 首先利用三角形外角的性质，找到公共外角搭建已知角和未知角的关联：∠BNC同时是△DCN和△EBN的外角，可得到第一组包含∠D、∠E的等量关系。
2. 再结合对顶角相等和三角形内角和性质，得到第二组包含∠A、∠E的等量关系。
3. 结合角平分线的定义，可知被平分得到的小角分别相等，将两个等式相加后消去相等的中间角，就能推导出∠E和∠A、∠D的计算关系，最后代入数值求解即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：
∵ ∠BNC是△DCN的外角，
∴ $∠ BNC = ∠ D + ∠ DCN$，
又
∵ ∠BNC是△EBN的外角，
∴ $∠ BNC=∠ E+∠ EBN$，
∴ $∠ D+∠ DCN=∠ E+∠ EBN$ ①。
同理，在△ABM和△ECM中，$∠ AMB=∠ EMC$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A+∠ ABE+∠ AMB=180°$，$∠ E+∠ ACE+∠ EMC=180°$，
∴ $∠ A+∠ ABE=∠ E+∠ ACE$ ②。
将①和②相加，得：
$∠ D+∠ DCN+∠ A+∠ ABE=2∠ E+∠ EBN+∠ ACE$。
∵ BE、CE分别平分$∠ ABD$、$∠ ACD$，
∴ $∠ ABE =∠ EBN$，$∠ DCN = ∠ ACE$，
将相等的角代入上式，抵消后可得：$∠ D+∠ A=2∠ E$。
把$∠ A=50°$，$∠ D=44°$代入得：
$∠ E=(50°+44°)÷2=47°$。
【答案】
$47°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，等式的性质
【点评】
这是角度计算的典型综合题，解题核心是通过公共外角、对顶角等隐含的等量条件，建立已知角和待求角的关系，再结合角平分线性质消去中间未知角，即可快速求解，这类题是三角形角度计算的常考题型，需熟练掌握等量关系的构建方法。
【难度系数】
0.7
