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典例2 如图，小慧想知道黑板上直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，便设计了间接测量方案，则直线a，b所夹锐角的度数为( 
)。
测得∠1=120°
∠2=100°
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
)。测得∠1=120°
∠2=100°
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
B
解析
【分析】
要计算直线a、b所夹锐角的度数，可通过延长直线构造三角形求解：首先延长直线a、b使二者相交，得到包含所求锐角的三角形；再利用邻补角的性质求出该三角形的两个内角；最后结合三角形内角和定理，即可算出所求锐角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，设两直线交于点O，构造出包含所求锐角的三角形。
1. 计算∠1的邻补角：$180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°$
2. 计算∠2的邻补角：$180° - ∠2 = 180° - 100° = 80°$
3. 根据三角形内角和为$180°$，直线a、b所夹锐角的度数为：$180° - 60° - 80° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查角度的间接计算，解题核心是通过构造三角形将未知角转化为三角形内角求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要计算直线a、b所夹锐角的度数，可通过延长直线构造三角形求解：首先延长直线a、b使二者相交，得到包含所求锐角的三角形；再利用邻补角的性质求出该三角形的两个内角；最后结合三角形内角和定理，即可算出所求锐角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，设两直线交于点O，构造出包含所求锐角的三角形。
1. 计算∠1的邻补角：$180° - ∠1 = 180° - 120° = 60°$
2. 计算∠2的邻补角：$180° - ∠2 = 180° - 100° = 80°$
3. 根据三角形内角和为$180°$，直线a、b所夹锐角的度数为：$180° - 60° - 80° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际测量场景考查角度的间接计算，解题核心是通过构造三角形将未知角转化为三角形内角求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
举一反三 如图，C地在B地的北偏西$40°$方向，C地在A地的北偏西$75°$方向，则$∠ ACB$的度数为
↑北
35°
。↑北
答案
35°
解析
【分析】
解决本题首先要明确所有正北方向的直线互相平行，我们可以通过作辅助线将已知方位角转化为可利用平行线性质计算的角：第一步，过A、B两点分别作正北方向的射线，两条射线平行；第二步，过C作平行于正北方向的直线，利用平行线内错角相等的性质，将两个已知方位角转化为和∠ACB相关的角；第三步，用大角减小角即可求出∠ACB的度数。
【解析】
分别过点A、B作正北方向的射线AM、BN，根据正北方向互相平行，可得AM//BN。
过点C作CD//AM，因此CD//BN//AM。
根据方位角定义：
C地在B地的北偏西40°方向，由两直线平行，内错角相等，得∠BCD=∠NBC=40°；
C地在A地的北偏西75°方向，由两直线平行，内错角相等，得∠ACD=∠MAC=75°；
因此∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，方位角，角度计算
【点评】
本题是方位角与平行线性质结合的基础应用题，解题的核心是利用正北方向平行的特点，通过辅助线将方位角转化为平行线的内错角，即可快速计算所求角度。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确所有正北方向的直线互相平行，我们可以通过作辅助线将已知方位角转化为可利用平行线性质计算的角：第一步，过A、B两点分别作正北方向的射线，两条射线平行；第二步，过C作平行于正北方向的直线，利用平行线内错角相等的性质，将两个已知方位角转化为和∠ACB相关的角；第三步，用大角减小角即可求出∠ACB的度数。
【解析】
分别过点A、B作正北方向的射线AM、BN，根据正北方向互相平行，可得AM//BN。
过点C作CD//AM，因此CD//BN//AM。
根据方位角定义：
C地在B地的北偏西40°方向，由两直线平行，内错角相等，得∠BCD=∠NBC=40°；
C地在A地的北偏西75°方向，由两直线平行，内错角相等，得∠ACD=∠MAC=75°；
因此∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质，方位角，角度计算
【点评】
本题是方位角与平行线性质结合的基础应用题，解题的核心是利用正北方向平行的特点，通过辅助线将方位角转化为平行线的内错角，即可快速计算所求角度。
【难度系数】
0.7
1. 根据图中的数据，可得$x+y$的值为(
A.180
B.110
C.100
D.70
B
).A.180
B.110
C.100
D.70
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。观察图形可知，三角形的三个内角分别为x°、70°、y°，因此三个角相加的和等于180°，只需对等式变形即可求出x+y的值。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x + 70 + y = 180$
移项计算得：
$x + y = 180 - 70 = 110$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，计算难度低，只要掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：任意三角形的三个内角之和为180°。观察图形可知，三角形的三个内角分别为x°、70°、y°，因此三个角相加的和等于180°，只需对等式变形即可求出x+y的值。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x + 70 + y = 180$
移项计算得：
$x + y = 180 - 70 = 110$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，解题的关键是牢记三角形内角和为180°，计算难度低，只要掌握基础知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，点D，E分别在AB，AC上，$DE // BC$，若$∠ B = 70°$，$∠ AED = 50°$，则
$∠ A$的度数为
$∠ A$的度数为
60°
。答案
60°
解析
【分析】
解题时首先观察条件给出的平行线，先利用平行线同位角相等的性质求出∠C的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用180°减去已知的∠B和求出的∠C的度数，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵$DE // BC$，
∴$∠ C = ∠ AED = 50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B = 70°$，$∠ C = 50°$，
∴$∠ A = 180° - 70° - 50° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查平行线性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是先通过平行线的性质得到未知角∠C的度数，再代入内角和公式计算即可，熟练掌握基础定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察条件给出的平行线，先利用平行线同位角相等的性质求出∠C的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用180°减去已知的∠B和求出的∠C的度数，即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵$DE // BC$，
∴$∠ C = ∠ AED = 50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
已知$∠ B = 70°$，$∠ C = 50°$，
∴$∠ A = 180° - 70° - 50° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查平行线性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是先通过平行线的性质得到未知角∠C的度数，再代入内角和公式计算即可，熟练掌握基础定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.85
3. 如图,在$△ ABC$中,CE平分$∠ ACB$,$∠ 1=∠ 2$,若$∠ ACE=23°$,求$∠ EDC$的度数.
答案
解
∵CE平分∠ACB,∠ACE=23°,
∴∠2=∠1=∠ACE=23°,
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°.
∵CE平分∠ACB,∠ACE=23°,
∴∠2=∠1=∠ACE=23°,
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到CE平分∠ACB，根据角平分线的定义可得∠1=∠ACE，已知∠ACE的度数，即可得到∠1的度数；再结合题目给出的∠1=∠2，可推出∠2的度数；最后在△EDC中，利用三角形内角和为180°，用180°减去∠1和∠2的度数，就能求出∠EDC的度数。
【解析】
∵CE平分∠ACB，∠ACE=23°，
∴∠1=∠ACE=23°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠2=23°，
在△EDC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°。
【答案】
134°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合角平分线的性质和已知角的等量关系，确定待求角所在三角形的另外两个内角的度数，再代入三角形内角和公式计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：首先看到CE平分∠ACB，根据角平分线的定义可得∠1=∠ACE，已知∠ACE的度数，即可得到∠1的度数；再结合题目给出的∠1=∠2，可推出∠2的度数；最后在△EDC中，利用三角形内角和为180°，用180°减去∠1和∠2的度数，就能求出∠EDC的度数。
【解析】
∵CE平分∠ACB，∠ACE=23°，
∴∠1=∠ACE=23°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠2=23°，
在△EDC中，根据三角形内角和为180°，
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°。
【答案】
134°
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合角平分线的性质和已知角的等量关系，确定待求角所在三角形的另外两个内角的度数，再代入三角形内角和公式计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85
