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17. (7分)关于$x$的方程$(m+2)x^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$为正整数时，求方程的根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)当$m$为正整数时，求方程的根.
答案
解：
(1) ∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，且根的判别式$\Delta＞0$，
即 $\begin{cases}m+2≠0 \\ \Delta=(-4)^2 - 4(m+2)×1＞0 \end{cases}$
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
由$\Delta=16-4m-8=8-4m＞0$，解得$m＜2$，
∴ $m$的取值范围是$m＜2$且$m≠-2$。
(2) ∵ $m＜2$且$m≠-2$，$m$为正整数，
∴ $m=1$，
将$m=1$代入原方程得：$3x^2 -4x +1=0$，
因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
(1) ∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，且根的判别式$\Delta＞0$，
即 $\begin{cases}m+2≠0 \\ \Delta=(-4)^2 - 4(m+2)×1＞0 \end{cases}$
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
由$\Delta=16-4m-8=8-4m＞0$，解得$m＜2$，
∴ $m$的取值范围是$m＜2$且$m≠-2$。
(2) ∵ $m＜2$且$m≠-2$，$m$为正整数，
∴ $m=1$，
将$m=1$代入原方程得：$3x^2 -4x +1=0$，
因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
（1）已知含参数的方程有两个不相等的实数根，首先判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，有两个不相等实根时判别式Δ＞0，联立两个不等式求解即可得到m的取值范围。
（2）结合第一问得出的m的取值范围，筛选出符合正整数要求的m值，代入原方程后，用因式分解法求解一元二次方程的根即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，且根的判别式$\Delta＞0$，
即 $\begin{cases}m+2≠0 \\ \Delta=(-4)^2 - 4(m+2)×1＞0 \end{cases}$
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
由$\Delta=16-4m-8=8-4m＞0$，解得$m＜2$，
∴ $m$的取值范围是$m＜2$且$m≠-2$。
(2)
∵ $m＜2$且$m≠-2$，$m$为正整数，
∴ $m=1$，
将$m=1$代入原方程得：$3x^2 -4x +1=0$，
因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $m＜2$且$m≠-2$；
(2) $x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时容易忽略“方程有两个不相等实数根”的隐含条件：二次项系数不为0，避免遗漏该条件是得分的关键，熟练掌握根的判别式应用和解一元二次方程的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）已知含参数的方程有两个不相等的实数根，首先判断该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，有两个不相等实根时判别式Δ＞0，联立两个不等式求解即可得到m的取值范围。
（2）结合第一问得出的m的取值范围，筛选出符合正整数要求的m值，代入原方程后，用因式分解法求解一元二次方程的根即可。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的方程$(m+2)x^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，且根的判别式$\Delta＞0$，
即 $\begin{cases}m+2≠0 \\ \Delta=(-4)^2 - 4(m+2)×1＞0 \end{cases}$
由$m+2≠0$得$m≠-2$，
由$\Delta=16-4m-8=8-4m＞0$，解得$m＜2$，
∴ $m$的取值范围是$m＜2$且$m≠-2$。
(2)
∵ $m＜2$且$m≠-2$，$m$为正整数，
∴ $m=1$，
将$m=1$代入原方程得：$3x^2 -4x +1=0$，
因式分解得：$(3x-1)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $m＜2$且$m≠-2$；
(2) $x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，解题时容易忽略“方程有两个不相等实数根”的隐含条件：二次项系数不为0，避免遗漏该条件是得分的关键，熟练掌握根的判别式应用和解一元二次方程的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
18.（7分）《念奴娇·赤壁怀古》是豪放词的代表作之一，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝。请欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。”求这位风流人物去世时的年龄。
答案
解析
【分析】
这是一道结合古诗文情境的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 首先明确年龄是两位数，设个位数字为未知数，根据“十位恰小个位三”表示出十位数字；2. 依据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，表示出该人物的年龄；3. 根据“个位平方与寿符”的等量关系列一元二次方程；4. 解方程后结合“而立之年督东吴”的常识（即年龄大于30岁），舍去不符合实际的解，得到正确结果。
【解析】
解：设这位风流人物去世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，其年龄可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3)+x$
整理得：
$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$10×(5-3)+5=25$岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$10×(6-3)+6=36$岁，符合题意。
【答案】
36岁
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；实际解的检验
【点评】
本题结合传统文化创设问题情境，既考查了一元二次方程的列解能力，又要求学生结合生活常识对解进行取舍，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古诗文情境的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 首先明确年龄是两位数，设个位数字为未知数，根据“十位恰小个位三”表示出十位数字；2. 依据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，表示出该人物的年龄；3. 根据“个位平方与寿符”的等量关系列一元二次方程；4. 解方程后结合“而立之年督东吴”的常识（即年龄大于30岁），舍去不符合实际的解，得到正确结果。
【解析】
解：设这位风流人物去世时年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，其年龄可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3)+x$
整理得：
$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$10×(5-3)+5=25$岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$10×(6-3)+6=36$岁，符合题意。
【答案】
36岁
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；实际解的检验
【点评】
本题结合传统文化创设问题情境，既考查了一元二次方程的列解能力，又要求学生结合生活常识对解进行取舍，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
19.(9分)已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$.
(1)当$a=5$时,解方程;
(2)若$2x^2 + 6x - a = 0$的一个解是$x=1$,求$a$;
(3)若$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解,试确定$a$的取值范围.
(1)当$a=5$时,解方程;
(2)若$2x^2 + 6x - a = 0$的一个解是$x=1$,求$a$;
(3)若$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解,试确定$a$的取值范围.
答案
解：
(1) 当$a=5$时，原方程为$2x^2 + 6x - 5 = 0$，
其中二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-5) = 36 + 40 = 76 ＞ 0$，
由求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{19}}{2}$，
所以方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$。
(2) 把$x=1$代入方程$2x^2 + 6x - a = 0$，得：
$2×1^2 + 6×1 - a = 0$，
即$8 - a = 0$，
解得$a=8$。
(3) ∵一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解，
∴判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-a) ＜ 0$，
即$36 + 8a ＜ 0$，
解得$a ＜ -\frac{9}{2}$，
即$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{9}{2}$。
(1) 当$a=5$时，原方程为$2x^2 + 6x - 5 = 0$，
其中二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-5) = 36 + 40 = 76 ＞ 0$，
由求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{19}}{2}$，
所以方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$。
(2) 把$x=1$代入方程$2x^2 + 6x - a = 0$，得：
$2×1^2 + 6×1 - a = 0$，
即$8 - a = 0$，
解得$a=8$。
(3) ∵一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解，
∴判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-a) ＜ 0$，
即$36 + 8a ＜ 0$，
解得$a ＜ -\frac{9}{2}$，
即$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 当a=5时，先将a代入原方程得到标准形式的一元二次方程，确定各项系数后先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可求出方程的解；
(2) 根据方程解的定义，把x=1代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；
(3) 一元二次方程无实数解的条件是判别式Δ＜0，据此列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 当$a=5$时，原方程为$2x^2 + 6x - 5 = 0$，
其中二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-5) = 36 + 40 = 76 ＞ 0$，
由求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{19}}{2}$，
所以方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$。
(2) 把$x=1$代入方程$2x^2 + 6x - a = 0$，得：
$2×1^2 + 6×1 - a = 0$，
即$8 - a = 0$，
解得$a=8$。
(3)
∵一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解，
∴判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-a) ＜ 0$，
即$36 + 8a ＜ 0$，
解得$a ＜ -\frac{9}{2}$，
即$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$；
(2) $a=8$；
(3) $a ＜ -\frac{9}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；方程的解的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，覆盖了一元二次方程的核心基础考点，解题的关键是熟练掌握求根公式、方程解的定义以及根的判别式的应用，整体运算量不大，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 当a=5时，先将a代入原方程得到标准形式的一元二次方程，确定各项系数后先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可求出方程的解；
(2) 根据方程解的定义，把x=1代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值；
(3) 一元二次方程无实数解的条件是判别式Δ＜0，据此列出关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 当$a=5$时，原方程为$2x^2 + 6x - 5 = 0$，
其中二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为-5，
判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-5) = 36 + 40 = 76 ＞ 0$，
由求根公式得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{19}}{2}$，
所以方程的解为$x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$。
(2) 把$x=1$代入方程$2x^2 + 6x - a = 0$，得：
$2×1^2 + 6×1 - a = 0$，
即$8 - a = 0$，
解得$a=8$。
(3)
∵一元二次方程$2x^2 + 6x - a = 0$无实数解，
∴判别式$\Delta = 6^2 - 4×2×(-a) ＜ 0$，
即$36 + 8a ＜ 0$，
解得$a ＜ -\frac{9}{2}$，
即$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{9}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$；
(2) $a=8$；
(3) $a ＜ -\frac{9}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；方程的解的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，覆盖了一元二次方程的核心基础考点，解题的关键是熟练掌握求根公式、方程解的定义以及根的判别式的应用，整体运算量不大，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
20. (7分)已知关于$x$的方程$x^2+ax+a-1=0$.
(1)若该方程的一个根为4,求$a$的值及方程的另一个根;
(2)求证:无论$a$取何实数,该方程都有两个实数根.
(1)若该方程的一个根为4,求$a$的值及方程的另一个根;
(2)求证:无论$a$取何实数,该方程都有两个实数根.
答案
解：
(1) 将$x=4$代入方程$x^2+ax+a-1=0$，得：
$4^2 + 4a + a - 1 = 0$
$15 + 5a = 0$
解得$a=-3$。
将$a=-3$代回原方程，得：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$
所以方程的另一个根为$-1$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2+ax+a-1=0$中，
判别式$\Delta = a^2 - 4×1×(a-1)$
$=a^2 -4a +4$
$=(a-2)^2$
∵ 无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根。
(1) 将$x=4$代入方程$x^2+ax+a-1=0$，得：
$4^2 + 4a + a - 1 = 0$
$15 + 5a = 0$
解得$a=-3$。
将$a=-3$代回原方程，得：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$
所以方程的另一个根为$-1$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2+ax+a-1=0$中，
判别式$\Delta = a^2 - 4×1×(a-1)$
$=a^2 -4a +4$
$=(a-2)^2$
∵ 无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根。
解析
【分析】
(1) 根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=4代入原方程即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代回原方程，通过因式分解即可求出方程的另一个根。
(2) 要证明无论a取何实数，方程都有两个实数根，可利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程有两个实数根。因此只需计算该方程的判别式，通过配方将其转化为完全平方的形式，利用平方的非负性证明Δ恒大于等于0即可。
【解析】
(1) 将$x=4$代入方程$x^2+ax+a-1=0$，得：
$4^2 + 4a + a - 1 = 0$
整理得$15 + 5a = 0$，解得$a=-3$。
将$a=-3$代回原方程，得：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
所以方程的另一个根为$-1$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2+ax+a-1=0$中，
判别式$\Delta = a^2 - 4×1×(a-1)$
$=a^2 -4a +4$
$=(a-2)^2$
∵ 无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根。
【答案】
(1) $a=-3$，方程的另一个根为$-1$；
(2) 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根，证明如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，考察核心知识点的应用，解题思路清晰直接，计算量小，是基础得分题，需要熟练掌握根的定义和判别式的应用方法。
【难度系数】
0.85
(1) 根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=4代入原方程即可得到关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代回原方程，通过因式分解即可求出方程的另一个根。
(2) 要证明无论a取何实数，方程都有两个实数根，可利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程有两个实数根。因此只需计算该方程的判别式，通过配方将其转化为完全平方的形式，利用平方的非负性证明Δ恒大于等于0即可。
【解析】
(1) 将$x=4$代入方程$x^2+ax+a-1=0$，得：
$4^2 + 4a + a - 1 = 0$
整理得$15 + 5a = 0$，解得$a=-3$。
将$a=-3$代回原方程，得：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
所以方程的另一个根为$-1$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2+ax+a-1=0$中，
判别式$\Delta = a^2 - 4×1×(a-1)$
$=a^2 -4a +4$
$=(a-2)^2$
∵ 无论$a$取何实数，都有$(a-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根。
【答案】
(1) $a=-3$，方程的另一个根为$-1$；
(2) 无论$a$取何实数，该方程都有两个实数根，证明如上。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常规考题，考察核心知识点的应用，解题思路清晰直接，计算量小，是基础得分题，需要熟练掌握根的定义和判别式的应用方法。
【难度系数】
0.85
21. (7分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$2x_1x_2 -x_1 -x_2=1$，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，若$2x_1x_2 -x_1 -x_2=1$，求$k$的值.
答案
解：
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开得：$4k^2 +4k +1 -4k^2 ≥ 0$，
化简得：$4k +1 ≥ 0$，
解得：$k ≥ -\frac{1}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2$，
将其代入$2x_1x_2 -x_1 -x_2 =1$，得：
$2k^2 + (2k+1) = 1$，
整理得：$2k^2 + 2k = 0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-1$。
由(1)知$k≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $k=-1$不符合题意，舍去，
∴ $k=0$。
(1) ∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开得：$4k^2 +4k +1 -4k^2 ≥ 0$，
化简得：$4k +1 ≥ 0$，
解得：$k ≥ -\frac{1}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2$，
将其代入$2x_1x_2 -x_1 -x_2 =1$，得：
$2k^2 + (2k+1) = 1$，
整理得：$2k^2 + 2k = 0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-1$。
由(1)知$k≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $k=-1$不符合题意，舍去，
∴ $k=0$。
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式与实根的关系求解：首先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式Δ≥0建立不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）涉及两根的代数式求值问题，优先使用根与系数的关系（韦达定理），无需解出具体根：先写出两根和、两根积关于k的表达式，代入给定的等式求解得到k的候选值，再结合第（1）问的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到正确的k值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开得：$4k^2 +4k +1 -4k^2 ≥ 0$，
化简得：$4k +1 ≥ 0$，
解得：$k ≥ -\frac{1}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2$，
将其代入$2x_1x_2 -x_1 -x_2 =1$，得：
$2k^2 + (2k+1) = 1$，
整理得：$2k^2 + 2k = 0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-1$。
由(1)知$k≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $k=-1$不符合题意，舍去，
∴ $k=0$。
【答案】
(1) $k ≥ -\frac{1}{4}$；(2) $k=0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，考查核心知识点的常规应用，解题时要注意求出参数后需结合判别式的取值范围进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.75
（1）已知一元二次方程有实数根，可利用根的判别式与实根的关系求解：首先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式Δ≥0建立不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）涉及两根的代数式求值问题，优先使用根与系数的关系（韦达定理），无需解出具体根：先写出两根和、两根积关于k的表达式，代入给定的等式求解得到k的候选值，再结合第（1）问的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到正确的k值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1× k^2 ≥ 0$，
展开得：$4k^2 +4k +1 -4k^2 ≥ 0$，
化简得：$4k +1 ≥ 0$，
解得：$k ≥ -\frac{1}{4}$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2$，
将其代入$2x_1x_2 -x_1 -x_2 =1$，得：
$2k^2 + (2k+1) = 1$，
整理得：$2k^2 + 2k = 0$，
解得：$k_1=0$，$k_2=-1$。
由(1)知$k≥ -\frac{1}{4}$，
∴ $k=-1$不符合题意，舍去，
∴ $k=0$。
【答案】
(1) $k ≥ -\frac{1}{4}$；(2) $k=0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，考查核心知识点的常规应用，解题时要注意求出参数后需结合判别式的取值范围进行检验，避免出现增解。
【难度系数】
0.75
