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9. 如图,某小区计划在一块长为32 m、宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m².设道路的宽为x m,则下列方程正确的是 ()
A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
答案
A
解析
【分析】
这是一道一元二次方程结合几何面积的应用题，解题时可以采用平移法简化计算：首先将三条道路向矩形空地的边缘平移，就能把分散的草坪区域拼接成一个规则的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，再根据“草坪面积为570m²”的条件列方程即可。如果直接计算道路面积，要注意减去纵向道路和横向道路交叉重叠的部分，避免重复计算。
【解析】
我们采用平移法求解：
1. 观察道路布局：有2条纵向的道路、1条横向的道路，宽度均为x m。
2. 平移道路后，草坪可拼接为一个新矩形：
新矩形的长 = 原矩形长 - 2条纵向道路的宽度 = $32 - 2x$ (m)
新矩形的宽 = 原矩形宽 - 1条横向道路的宽度 = $20 - x$ (m)
3. 根据草坪面积为570m²，结合矩形面积公式，列方程得：
$(32 - 2x)(20 - x) = 570$，对应选项A。
我们再验证其他选项：
选项B：计算道路面积时未减去2个道路交叉重叠的$x^2$面积，错误；
选项C：拼接后矩形的长、宽计算错误，不符合道路数量，错误；
选项D：左侧为道路面积的正确表达式，但右侧应为总面积减去草坪面积，而非草坪面积，错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题属于典型的道路面积类方程应用题，平移法是解决这类问题的常用技巧，能避开道路重叠面积的计算，大幅降低解题难度，也能有效避免多算、漏算的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程结合几何面积的应用题，解题时可以采用平移法简化计算：首先将三条道路向矩形空地的边缘平移，就能把分散的草坪区域拼接成一个规则的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，再根据“草坪面积为570m²”的条件列方程即可。如果直接计算道路面积，要注意减去纵向道路和横向道路交叉重叠的部分，避免重复计算。
【解析】
我们采用平移法求解：
1. 观察道路布局：有2条纵向的道路、1条横向的道路，宽度均为x m。
2. 平移道路后，草坪可拼接为一个新矩形：
新矩形的长 = 原矩形长 - 2条纵向道路的宽度 = $32 - 2x$ (m)
新矩形的宽 = 原矩形宽 - 1条横向道路的宽度 = $20 - x$ (m)
3. 根据草坪面积为570m²，结合矩形面积公式，列方程得：
$(32 - 2x)(20 - x) = 570$，对应选项A。
我们再验证其他选项：
选项B：计算道路面积时未减去2个道路交叉重叠的$x^2$面积，错误；
选项C：拼接后矩形的长、宽计算错误，不符合道路数量，错误；
选项D：左侧为道路面积的正确表达式，但右侧应为总面积减去草坪面积，而非草坪面积，错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算；平移法求面积
【点评】
本题属于典型的道路面积类方程应用题，平移法是解决这类问题的常用技巧，能避开道路重叠面积的计算，大幅降低解题难度，也能有效避免多算、漏算的问题。
【难度系数】
0.7
10. 在欧几里得的《几何原本》中，形如$x^2+ax=b^2$的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根。如图，$Rt△ ACB$中$∠ ACB=90°$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC=b$，在斜边$AB$上截取$BD=\frac{a}{2}$，连接$CD$，能表示一元二次方程$x^2+ax=b^2$其中一个正根的线段是（）
A.$BD$
B.$AD$
C.$CD$
D.$AB$
A.$BD$
B.$AD$
C.$CD$
D.$AB$
答案
B
解析
【分析】
本题是数形结合类题型，解题思路为：先假设待求的正根对应的线段长度为x，结合题干给出的各已知线段长度，利用直角三角形的勾股定理列出线段长度的等量关系，再对等式进行化简，最后和题干给出的一元二次方程对比，即可确定对应线段。
【解析】
设线段AD的长为x。
∵ BD = $\frac{a}{2}$，
∴ 斜边AB = AD + BD = $x+\frac{a}{2}$。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$。
将AC = b，BC = $\frac{a}{2}$，AB = $x+\frac{a}{2}$代入上式得：
$b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (x+\frac{a}{2})^2$
展开右侧完全平方式：$(x+\frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2$
两边同时减去$(\frac{a}{2})^2$，可得：$b^2 = x^2 + ax$，即$x^2+ax=b^2$，与题干给出的一元二次方程完全一致，因此AD的长是该方程的一个正根。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的根；完全平方公式
【点评】
本题将代数中一元二次方程的解与几何中直角三角形的性质结合，考查数形结合思想的应用，解题核心是通过勾股定理建立线段关系，化简后对照方程即可得到结论，属于结合数学文化的创新题型。
【难度系数】
0.7
本题是数形结合类题型，解题思路为：先假设待求的正根对应的线段长度为x，结合题干给出的各已知线段长度，利用直角三角形的勾股定理列出线段长度的等量关系，再对等式进行化简，最后和题干给出的一元二次方程对比，即可确定对应线段。
【解析】
设线段AD的长为x。
∵ BD = $\frac{a}{2}$，
∴ 斜边AB = AD + BD = $x+\frac{a}{2}$。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$。
将AC = b，BC = $\frac{a}{2}$，AB = $x+\frac{a}{2}$代入上式得：
$b^2 + (\frac{a}{2})^2 = (x+\frac{a}{2})^2$
展开右侧完全平方式：$(x+\frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2$
两边同时减去$(\frac{a}{2})^2$，可得：$b^2 = x^2 + ax$，即$x^2+ax=b^2$，与题干给出的一元二次方程完全一致，因此AD的长是该方程的一个正根。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的根；完全平方公式
【点评】
本题将代数中一元二次方程的解与几何中直角三角形的性质结合，考查数形结合思想的应用，解题核心是通过勾股定理建立线段关系，化简后对照方程即可得到结论，属于结合数学文化的创新题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 把一元二次方程$x^2=4x-6$化成一般形式是.
11. 把一元二次方程$x^2=4x-6$化成一般形式是.
答案
$\boldsymbol{x^2 - 4x + 6 = 0}$
解析
【分析】
要将一元二次方程化为一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），核心要求是把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，移项时要注意改变移动项的符号。本题只需将原方程右侧的$4x$和$-6$移到左侧，再整理即可得到符合要求的一般形式。
【解析】
解：已知原方程为$x^2=4x-6$，
将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号可得：
$x^2 - 4x + 6 = 0$，
该式符合一元二次方程一般形式的定义。
【答案】
$x^2 - 4x + 6 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；等式移项规则
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时需注意移项的符号变化，牢记一般形式的结构特征，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
要将一元二次方程化为一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），核心要求是把所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，移项时要注意改变移动项的符号。本题只需将原方程右侧的$4x$和$-6$移到左侧，再整理即可得到符合要求的一般形式。
【解析】
解：已知原方程为$x^2=4x-6$，
将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号可得：
$x^2 - 4x + 6 = 0$，
该式符合一元二次方程一般形式的定义。
【答案】
$x^2 - 4x + 6 = 0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；等式移项规则
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时需注意移项的符号变化，牢记一般形式的结构特征，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
12. 若$x_1, x_2$是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$
答案
解析
【分析】
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。首先对所求的倒数和进行通分变形，将其转化为仅含两根之和、两根之积的形式，再根据方程求出两根和与两根积的数值，代入计算即可，无需分别求出两个根的值，能简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式进行通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x +3=0$，对应$a=1$，$b=-5$，$c=3$，代入得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=3$代入化简后的代数式：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是掌握常见的两根代数式的变形技巧，可有效避免求解方程根带来的计算冗余，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
遇到求一元二次方程两根相关代数式的值的问题时，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。首先对所求的倒数和进行通分变形，将其转化为仅含两根之和、两根之积的形式，再根据方程求出两根和与两根积的数值，代入计算即可，无需分别求出两个根的值，能简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式进行通分化简：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x +3=0$，对应$a=1$，$b=-5$，$c=3$，代入得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
将$x_1+x_2=5$、$x_1x_2=3$代入化简后的代数式：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简，代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，解题的关键是掌握常见的两根代数式的变形技巧，可有效避免求解方程根带来的计算冗余，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
13. 已知方程$x^2 - mx + 12 = 0$有两个根，一个根为6，则另一个根为.
答案
解：设方程的另一个根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$6 · x_1 = 12$，
解得$x_1 = 2$。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$6 · x_1 = 12$，
解得$x_1 = 2$。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解，能避免先求参数的繁琐步骤。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题中方程$x^2 - mx +12=0$的二次项系数$a=1$，常数项$c=12$，已知一个根为6，设另一个根为$x_1$，代入两根之积的公式即可直接求出$x_1$的值。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - mx +12=0$，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可得：
$6 · x_1 = \frac{12}{1} = 12$，
解得$x_1 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，利用该定理求解可简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解，能避免先求参数的繁琐步骤。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题中方程$x^2 - mx +12=0$的二次项系数$a=1$，常数项$c=12$，已知一个根为6，设另一个根为$x_1$，代入两根之积的公式即可直接求出$x_1$的值。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - mx +12=0$，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，可得：
$6 · x_1 = \frac{12}{1} = 12$，
解得$x_1 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，利用该定理求解可简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
14. 已知$a$是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的根，则$\frac{2026a}{a^2 + 1}=$。
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1013}{2}}$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=a代入已知方程得到关于a的等式。观察所求分式的分母为$a^2+1$，可对得到的a的等式移项变形，用含a的一次式表示$a^2+1$，再整体代入所求分式，约分后即可算出结果，无需求解a的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 + 4a + 1 = 0$，
移项可得：$a^2 + 1 = -4a$，
又
∵ 当$a=0$时，代入原方程左边为$0+0+1=1≠0$，因此$a≠0$，
将$a^2 + 1 = -4a$代入$\frac{2026a}{a^2 + 1}$得：
$\frac{2026a}{a^2 + 1} = \frac{2026a}{-4a} = -\frac{2026}{4} = -\frac{1013}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{1013}{2}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题核心是灵活运用一元二次方程根的定义，通过变形得到所求式对应部分的等价表达式，利用整体代入法避免复杂的根式计算，有效降低计算量。
【难度系数】
0.75
首先根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此将x=a代入已知方程得到关于a的等式。观察所求分式的分母为$a^2+1$，可对得到的a的等式移项变形，用含a的一次式表示$a^2+1$，再整体代入所求分式，约分后即可算出结果，无需求解a的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 + 4a + 1 = 0$，
移项可得：$a^2 + 1 = -4a$，
又
∵ 当$a=0$时，代入原方程左边为$0+0+1=1≠0$，因此$a≠0$，
将$a^2 + 1 = -4a$代入$\frac{2026a}{a^2 + 1}$得：
$\frac{2026a}{a^2 + 1} = \frac{2026a}{-4a} = -\frac{2026}{4} = -\frac{1013}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{1013}{2}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题核心是灵活运用一元二次方程根的定义，通过变形得到所求式对应部分的等价表达式，利用整体代入法避免复杂的根式计算，有效降低计算量。
【难度系数】
0.75
15. 若一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度$v$(单位:m/s)与滑行时间$t$(单位:s)之间满足一次函数关系$v=-3t+60$，滑行距离$s=\bar{v}· t$，$\bar{v}=\dfrac{v_0 + v_t}{2}$，其中$v_0$是初始速度，$v_t$是$t$秒时的速度。当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450 m，则此时飞机的滑行速度为m/s.
答案
$\boldsymbol{30}$
解析
【分析】
解题时首先要结合题目给出的速度公式、平均速度公式推导滑行距离s关于时间t的表达式，再根据滑行距离为450m列方程求解t，最后结合飞机停下的时间（速度为0时的t值）舍去不符合实际的解，代入速度公式即可得到所求速度。具体思路如下：1. 先求初始速度$v_0$，再表示出t时刻的速度$v_t$，代入平均速度公式得到$\bar{v}$关于t的表达式；2. 结合$s=\bar{v}·t$得到s关于t的表达式，代入$s=450$列一元二次方程求解t；3. 先求飞机完全停下的时间，舍去大于该时间的无效解，最后将有效t代入$v=-3t+60$计算结果。
【解析】
步骤1：推导平均速度及滑行距离表达式
当$t=0$时，初始速度$v_0=-3×0+60=60\ \mathrm{m/s}$，t秒时的速度$v_t=-3t+60$，
根据平均速度公式得：$\bar{v}=\dfrac{v_0+v_t}{2}=\dfrac{60+(-3t+60)}{2}=60-\dfrac{3}{2}t$。
步骤2：列方程求解滑行时间
已知滑行距离$s=450\ \mathrm{m}$，结合$s=\bar{v}·t$得：
$(60-\dfrac{3}{2}t)t=450$
整理为标准一元二次方程：$t^2-40t+300=0$
因式分解得：$(t-10)(t-30)=0$
解得$t_1=10$，$t_2=30$。
步骤3：验证解的合理性
当飞机速度减为0时，$-3t+60=0$，解得$t=20\ \mathrm{s}$，即飞机最多滑行20s就会停下，因此$t=30$不符合实际，舍去，取有效解$t=10$。
步骤4：计算对应滑行速度
将$t=10$代入$v=-3t+60$，得$v=-3×10+60=30\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的实际应用；平均速度计算
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数与方程的综合应用，解题时需要注意结合实际意义对解得的结果进行验证，舍去不符合实际情况的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要结合题目给出的速度公式、平均速度公式推导滑行距离s关于时间t的表达式，再根据滑行距离为450m列方程求解t，最后结合飞机停下的时间（速度为0时的t值）舍去不符合实际的解，代入速度公式即可得到所求速度。具体思路如下：1. 先求初始速度$v_0$，再表示出t时刻的速度$v_t$，代入平均速度公式得到$\bar{v}$关于t的表达式；2. 结合$s=\bar{v}·t$得到s关于t的表达式，代入$s=450$列一元二次方程求解t；3. 先求飞机完全停下的时间，舍去大于该时间的无效解，最后将有效t代入$v=-3t+60$计算结果。
【解析】
步骤1：推导平均速度及滑行距离表达式
当$t=0$时，初始速度$v_0=-3×0+60=60\ \mathrm{m/s}$，t秒时的速度$v_t=-3t+60$，
根据平均速度公式得：$\bar{v}=\dfrac{v_0+v_t}{2}=\dfrac{60+(-3t+60)}{2}=60-\dfrac{3}{2}t$。
步骤2：列方程求解滑行时间
已知滑行距离$s=450\ \mathrm{m}$，结合$s=\bar{v}·t$得：
$(60-\dfrac{3}{2}t)t=450$
整理为标准一元二次方程：$t^2-40t+300=0$
因式分解得：$(t-10)(t-30)=0$
解得$t_1=10$，$t_2=30$。
步骤3：验证解的合理性
当飞机速度减为0时，$-3t+60=0$，解得$t=20\ \mathrm{s}$，即飞机最多滑行20s就会停下，因此$t=30$不符合实际，舍去，取有效解$t=10$。
步骤4：计算对应滑行速度
将$t=10$代入$v=-3t+60$，得$v=-3×10+60=30\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
$\boldsymbol{30}$
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的实际应用；平均速度计算
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数与方程的综合应用，解题时需要注意结合实际意义对解得的结果进行验证，舍去不符合实际情况的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)解方程:
(1)$(x-2)^2 -9=0$;
(2)$2(x-3)^2=5(3-x)$;
(3)$x^2 -7x -18=0$;
(4)$4x^2 -8x -3=0$.
16.(12分)解方程:
(1)$(x-2)^2 -9=0$;
(2)$2(x-3)^2=5(3-x)$;
(3)$x^2 -7x -18=0$;
(4)$4x^2 -8x -3=0$.
答案
解：
(1) 移项，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，
即$x-2=3$或$x-2=-3$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得$2(x-3)^2 -5(3-x)=0$，
变形为$2(x-3)^2 +5(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3)+5]=0$，
整理得$(x-3)(2x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$2x-1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 因式分解，得$(x-9)(x+2)=0$，
$\therefore x-9=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-2$。
(4) 移项，得$4x^2-8x=3$，
二次项系数化为1，得$x^2-2x=\frac{3}{4}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{3}{4}+1$，
即$(x-1)^2=\frac{7}{4}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
(1) 移项，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，
即$x-2=3$或$x-2=-3$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得$2(x-3)^2 -5(3-x)=0$，
变形为$2(x-3)^2 +5(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3)+5]=0$，
整理得$(x-3)(2x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$2x-1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 因式分解，得$(x-9)(x+2)=0$，
$\therefore x-9=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-2$。
(4) 移项，得$4x^2-8x=3$，
二次项系数化为1，得$x^2-2x=\frac{3}{4}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{3}{4}+1$，
即$(x-1)^2=\frac{7}{4}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
1. 第(1)题左边是完全平方式，移项后右边为正数，优先选用直接开平方法，无需展开计算；
2. 第(2)题左右两边均含相同因式相关项，移项后提取公因式用因式分解法，可避免展开带来的计算量；
3. 第(3)题的二次三项式可通过十字相乘法分解为两个一次因式乘积，选用因式分解法求解最快；
4. 第(4)题无法直接因式分解，选用配方法或公式法均可，本题用配方法步骤更清晰。
【解析】
(1) 移项，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，
即$x-2=3$或$x-2=-3$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得$2(x-3)^2 -5(3-x)=0$，
变形为$2(x-3)^2 +5(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3)+5]=0$，
整理得$(x-3)(2x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$2x-1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 因式分解，得$(x-9)(x+2)=0$，
$\therefore x-9=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-2$。
(4) 移项，得$4x^2-8x=3$，
二次项系数化为1，得$x^2-2x=\frac{3}{4}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{3}{4}+1$，
即$(x-1)^2=\frac{7}{4}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=9$，$x_2=-2$；
(4)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程特征灵活选择解法的能力，熟练掌握各类解法的适用场景，可有效减少计算量、提升解题准确率，是后续学习方程应用的核心基础。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程结构选择最优解法：
1. 第(1)题左边是完全平方式，移项后右边为正数，优先选用直接开平方法，无需展开计算；
2. 第(2)题左右两边均含相同因式相关项，移项后提取公因式用因式分解法，可避免展开带来的计算量；
3. 第(3)题的二次三项式可通过十字相乘法分解为两个一次因式乘积，选用因式分解法求解最快；
4. 第(4)题无法直接因式分解，选用配方法或公式法均可，本题用配方法步骤更清晰。
【解析】
(1) 移项，得$(x-2)^2=9$，
直接开平方，得$x-2=\pm3$，
即$x-2=3$或$x-2=-3$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 移项，得$2(x-3)^2 -5(3-x)=0$，
变形为$2(x-3)^2 +5(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3)+5]=0$，
整理得$(x-3)(2x-1)=0$，
$\therefore x-3=0$或$2x-1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 因式分解，得$(x-9)(x+2)=0$，
$\therefore x-9=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=9$，$x_2=-2$。
(4) 移项，得$4x^2-8x=3$，
二次项系数化为1，得$x^2-2x=\frac{3}{4}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{3}{4}+1$，
即$(x-1)^2=\frac{7}{4}$，
直接开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=9$，$x_2=-2$；
(4)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程特征灵活选择解法的能力，熟练掌握各类解法的适用场景，可有效减少计算量、提升解题准确率，是后续学习方程应用的核心基础。
【难度系数】
0.8
