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22.（8分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求市政府购买的这种健身器材的套数.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买量不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求市政府购买的这种健身器材的套数.
答案
解析
【分析】
（1）本题属于年均增长率问题，可设年均增长率为$x$，利用“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量”（$n$为增长年数）的等量关系列方程求解，注意增长率为正数，需舍去负根。
（2）首先判断购买套数的取值范围：先计算购买100套的总货款，和24万元对比可知购买量超过100套；再计算售价降到最低1000元时的购买量和对应总货款，可知24万元对应的购买量小于250套，无需考虑最低售价限制。接着设购买套数为$x$，用含$x$的式子表示每套售价，根据“单价×数量=总货款”列方程求解，最后结合取值范围检验根的合理性即可。
【解析】
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，2023年到2025年共增长2年，根据题意列方程：
$32(1+x)^2=50$
两边同时除以32得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开平方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$，因为增长率为正，舍去负根$1+x=-\frac{5}{4}$，则：
$1+x=\frac{5}{4}$
解得$x=0.25=25\%$
（2）先计算购买100套的总货款：$100×1600=160000元=16万元$，$16＜24$，可知购买套数超过100套。
再计算售价降到最低1000元时的购买量：降价总额为$1600-1000=600元$，每增加10套降40元，需增加的套数为$\frac{600}{40}×10=150套$，此时总套数为$100+150=250套$，对应总货款为$250×1000=250000元=25万元$，$24＜25$，可知购买套数在100~250之间，每套售价高于1000元。
设购买健身器材$x$套（$100＜x＜250$），则每套售价为：
$1600-\frac{x-100}{10}×40=2000-4x$
总货款为24万元=240000元，列方程：
$x(2000-4x)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
因式分解得$(x-200)(x-300)=0$，解得$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，故舍去$x=300$，即$x=200$。
【答案】
（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为$\boxed{25\%}$；
（2）市政府购买的这种健身器材的套数为$\boxed{200}$套。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，核心是找准等量关系列方程，易错点是第二问忽略实际取值范围，未对方程的根进行检验，解题时要注意结合题干限制条件筛选合理的解。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于年均增长率问题，可设年均增长率为$x$，利用“初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量”（$n$为增长年数）的等量关系列方程求解，注意增长率为正数，需舍去负根。
（2）首先判断购买套数的取值范围：先计算购买100套的总货款，和24万元对比可知购买量超过100套；再计算售价降到最低1000元时的购买量和对应总货款，可知24万元对应的购买量小于250套，无需考虑最低售价限制。接着设购买套数为$x$，用含$x$的式子表示每套售价，根据“单价×数量=总货款”列方程求解，最后结合取值范围检验根的合理性即可。
【解析】
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$，2023年到2025年共增长2年，根据题意列方程：
$32(1+x)^2=50$
两边同时除以32得：
$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开平方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$，因为增长率为正，舍去负根$1+x=-\frac{5}{4}$，则：
$1+x=\frac{5}{4}$
解得$x=0.25=25\%$
（2）先计算购买100套的总货款：$100×1600=160000元=16万元$，$16＜24$，可知购买套数超过100套。
再计算售价降到最低1000元时的购买量：降价总额为$1600-1000=600元$，每增加10套降40元，需增加的套数为$\frac{600}{40}×10=150套$，此时总套数为$100+150=250套$，对应总货款为$250×1000=250000元=25万元$，$24＜25$，可知购买套数在100~250之间，每套售价高于1000元。
设购买健身器材$x$套（$100＜x＜250$），则每套售价为：
$1600-\frac{x-100}{10}×40=2000-4x$
总货款为24万元=240000元，列方程：
$x(2000-4x)=240000$
整理得：
$x^2-500x+60000=0$
因式分解得$(x-200)(x-300)=0$，解得$x_1=200$，$x_2=300$。
因为$x＜250$，故舍去$x=300$，即$x=200$。
【答案】
（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为$\boxed{25\%}$；
（2）市政府购买的这种健身器材的套数为$\boxed{200}$套。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，核心是找准等量关系列方程，易错点是第二问忽略实际取值范围，未对方程的根进行检验，解题时要注意结合题干限制条件筛选合理的解。
【难度系数】
0.7
23.(8分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1600元，可能实现吗？请说明理由.
(1)若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1600元，可能实现吗？请说明理由.
答案
解：
(1) 设每件衬衫应降价$x$元，
根据题意得：
$(40-x)(20+\dfrac{x}{5}×10)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售，尽量减少库存，降价幅度越大销售量越高，越有利于减少库存，
∴$x=20$。
(2) 不可能实现，理由如下：
假设商场平均每天盈利1600元，设此时每件衬衫降价$y$元，
根据题意得：
$(40-y)(20+\dfrac{y}{5}×10)=1600$
整理得：$y^2-30y+400=0$
该方程的判别式$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$，
∴此一元二次方程无实数根，
即商场平均每天盈利1600元不可能实现。
答：(1) 每件衬衫应降价20元；(2) 不能实现，理由如上。
(1) 设每件衬衫应降价$x$元，
根据题意得：
$(40-x)(20+\dfrac{x}{5}×10)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售，尽量减少库存，降价幅度越大销售量越高，越有利于减少库存，
∴$x=20$。
(2) 不可能实现，理由如下：
假设商场平均每天盈利1600元，设此时每件衬衫降价$y$元，
根据题意得：
$(40-y)(20+\dfrac{y}{5}×10)=1600$
整理得：$y^2-30y+400=0$
该方程的判别式$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$，
∴此一元二次方程无实数根，
即商场平均每天盈利1600元不可能实现。
答：(1) 每件衬衫应降价20元；(2) 不能实现，理由如上。
解析
【分析】
本题属于销售利润类实际应用题，解题核心是抓住“总盈利=每件盈利×销售量”这一等量关系。①求解第一问时，先设每件衬衫降价x元，此时每件盈利为(40-x)元；再根据“每降价5元多售10件”，得出降价x元后每天的销售量为$(20+\frac{x}{5}×10)$件，代入总盈利1200元的条件列一元二次方程，解方程后结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可。②求解第二问时，先假设能实现1600元的盈利，同第一问的思路列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不可能实现。
【解析】
(1) 设每件衬衫应降价$x$元，
根据题意得：
$(40-x)(20+\dfrac{x}{5}×10)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售，尽量减少库存，降价幅度越大销售量越高，越有利于减少库存，
∴$x=20$。
(2) 不可能实现，理由如下：
假设商场平均每天盈利1600元，设此时每件衬衫降价$y$元，
根据题意得：
$(40-y)(20+\dfrac{y}{5}×10)=1600$
整理得：$y^2-30y+400=0$
该方程的判别式$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$，
∴此一元二次方程无实数根，即商场平均每天盈利1600元不可能实现。
【答案】
(1) 每件衬衫应降价20元；(2) 不可能实现，理由如上。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的利润类实际应用题，解题的关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意题干中的限制条件对解的取舍，第二问将实际问题转化为一元二次方程根的存在性问题，体现了方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
本题属于销售利润类实际应用题，解题核心是抓住“总盈利=每件盈利×销售量”这一等量关系。①求解第一问时，先设每件衬衫降价x元，此时每件盈利为(40-x)元；再根据“每降价5元多售10件”，得出降价x元后每天的销售量为$(20+\frac{x}{5}×10)$件，代入总盈利1200元的条件列一元二次方程，解方程后结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可。②求解第二问时，先假设能实现1600元的盈利，同第一问的思路列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明不可能实现。
【解析】
(1) 设每件衬衫应降价$x$元，
根据题意得：
$(40-x)(20+\dfrac{x}{5}×10)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售，尽量减少库存，降价幅度越大销售量越高，越有利于减少库存，
∴$x=20$。
(2) 不可能实现，理由如下：
假设商场平均每天盈利1600元，设此时每件衬衫降价$y$元，
根据题意得：
$(40-y)(20+\dfrac{y}{5}×10)=1600$
整理得：$y^2-30y+400=0$
该方程的判别式$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$，
∴此一元二次方程无实数根，即商场平均每天盈利1600元不可能实现。
【答案】
(1) 每件衬衫应降价20元；(2) 不可能实现，理由如上。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的利润类实际应用题，解题的关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意题干中的限制条件对解的取舍，第二问将实际问题转化为一元二次方程根的存在性问题，体现了方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
24. (10分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{m}$,$BC=6\ \mathrm{m}$,点$P$由$C$点出发以$2\ \mathrm{m/s}$的速度向终点$A$匀速移动,同时点$Q$由点$B$出发以$1\ \mathrm{m/s}$的速度向终点$C$匀速移动.当一个点到达终点时,另一个点也随之停止移动.
(1)当点$P$移动时间为2秒时,$△ PCQ$的面积为多少?
(2)当点$P$移动多少秒时,$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m}^2$?
(3)在点$P$,$Q$运动的过程中,$△ PCQ$的面积是否会达到$10\ \mathrm{m}^2$?为什么?
第24小题图
(1)当点$P$移动时间为2秒时,$△ PCQ$的面积为多少?
(2)当点$P$移动多少秒时,$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m}^2$?
(3)在点$P$,$Q$运动的过程中,$△ PCQ$的面积是否会达到$10\ \mathrm{m}^2$?为什么?
第24小题图
答案
解：
由题意得，点P从C到A的运动总时长为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的运动总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0≤ t≤4$。
(1) 当点P移动时间为2秒时：
$PC=2×2=4\ \mathrm{m}$，
$BQ=1×2=2\ \mathrm{m}$，
$CQ=BC-BQ=6-2=4\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{m^2}$。
(2) 设点P移动$t$秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$，此时$PC=2t\ \mathrm{m}$，$CQ=(6-t)\ \mathrm{m}$，
由题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$，
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，
两个解均满足$0≤ t≤4$，符合题意。
即点P移动2秒或4秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$。
(3) $△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设$△ PCQ$的面积能达到$10\ \mathrm{m^2}$，则：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=10$
整理得：$t^2-6t+10=0$，
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，方程无实数根，
因此$△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$。
由题意得，点P从C到A的运动总时长为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的运动总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0≤ t≤4$。
(1) 当点P移动时间为2秒时：
$PC=2×2=4\ \mathrm{m}$，
$BQ=1×2=2\ \mathrm{m}$，
$CQ=BC-BQ=6-2=4\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{m^2}$。
(2) 设点P移动$t$秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$，此时$PC=2t\ \mathrm{m}$，$CQ=(6-t)\ \mathrm{m}$，
由题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$，
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，
两个解均满足$0≤ t≤4$，符合题意。
即点P移动2秒或4秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$。
(3) $△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设$△ PCQ$的面积能达到$10\ \mathrm{m^2}$，则：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=10$
整理得：$t^2-6t+10=0$，
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，方程无实数根，
因此$△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
解决本题首先要先确定运动时间$t$的取值范围：先计算$P$、$Q$各自走完全程的时间，取较短的作为$t$的最大值，即$0\le t\le4$。
(1) 求$t=2$时的面积，先根据速度×时间分别算出$PC$的长度、$BQ$的长度，再用$BC$减$BQ$得到$CQ$的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求面积为$8\ \mathrm{m^2}$时的$t$值，先分别用含$t$的代数式表示$PC$和$CQ$的长度，再根据面积公式列一元二次方程，解方程后验证解是否在$t$的取值范围内，符合的就是正确答案。
(3) 判断面积能不能到$10\ \mathrm{m^2}$，先假设能达到，按面积公式列方程，再计算一元二次方程的判别式，若判别式小于0，说明方程无实根，也就是不存在这样的$t$，面积达不到，反之则能达到。
【解析】
首先计算运动时间的取值范围：点$P$从$C$到$A$的运动总时长为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点$Q$从$B$到$C$的运动总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0\le t\le4$。
(1) 当点$P$移动时间为2秒时：
$PC=2×2=4\ \mathrm{m}$，
$BQ=1×2=2\ \mathrm{m}$，
$CQ=BC-BQ=6-2=4\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{m^2}$。
(2) 设点$P$移动$t$秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$，此时$PC=2t\ \mathrm{m}$，$CQ=(6-t)\ \mathrm{m}$，
由题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$，
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，
两个解均满足$0\le t\le4$，符合题意。
(3) $△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设$△ PCQ$的面积能达到$10\ \mathrm{m^2}$，则：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=10$
整理得：$t^2-6t+10=0$，
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，方程无实数根，
因此$△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $8\ \mathrm{m^2}$
(2) 2秒或4秒
(3) 不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，因为对应的一元二次方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【知识点】
动点问题求解，一元二次方程应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点结合一元二次方程的实际应用问题，解题时首先要明确运动时间的取值范围，避免出现不符合实际情况的解；第三问通过一元二次方程根的判别式判断存在性，是这类问题的常用思路，整体侧重对基础知识综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要先确定运动时间$t$的取值范围：先计算$P$、$Q$各自走完全程的时间，取较短的作为$t$的最大值，即$0\le t\le4$。
(1) 求$t=2$时的面积，先根据速度×时间分别算出$PC$的长度、$BQ$的长度，再用$BC$减$BQ$得到$CQ$的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
(2) 求面积为$8\ \mathrm{m^2}$时的$t$值，先分别用含$t$的代数式表示$PC$和$CQ$的长度，再根据面积公式列一元二次方程，解方程后验证解是否在$t$的取值范围内，符合的就是正确答案。
(3) 判断面积能不能到$10\ \mathrm{m^2}$，先假设能达到，按面积公式列方程，再计算一元二次方程的判别式，若判别式小于0，说明方程无实根，也就是不存在这样的$t$，面积达不到，反之则能达到。
【解析】
首先计算运动时间的取值范围：点$P$从$C$到$A$的运动总时长为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点$Q$从$B$到$C$的运动总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，因此运动时间$t$的取值范围是$0\le t\le4$。
(1) 当点$P$移动时间为2秒时：
$PC=2×2=4\ \mathrm{m}$，
$BQ=1×2=2\ \mathrm{m}$，
$CQ=BC-BQ=6-2=4\ \mathrm{m}$，
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· PC· CQ=\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{m^2}$。
(2) 设点$P$移动$t$秒时，$△ PCQ$的面积为$8\ \mathrm{m^2}$，此时$PC=2t\ \mathrm{m}$，$CQ=(6-t)\ \mathrm{m}$，
由题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=8$
整理得：$t^2-6t+8=0$，
解得：$t_1=2$，$t_2=4$，
两个解均满足$0\le t\le4$，符合题意。
(3) $△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设$△ PCQ$的面积能达到$10\ \mathrm{m^2}$，则：
$\frac{1}{2}× 2t×(6-t)=10$
整理得：$t^2-6t+10=0$，
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×10=-4＜0$，方程无实数根，
因此$△ PCQ$的面积不会达到$10\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $8\ \mathrm{m^2}$
(2) 2秒或4秒
(3) 不会达到$10\ \mathrm{m^2}$，因为对应的一元二次方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【知识点】
动点问题求解，一元二次方程应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题是典型的动点结合一元二次方程的实际应用问题，解题时首先要明确运动时间的取值范围，避免出现不符合实际情况的解；第三问通过一元二次方程根的判别式判断存在性，是这类问题的常用思路，整体侧重对基础知识综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.6
