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1. 下列能作为证明依据的是 【 】
A.已知条件
B.定义和基本事实
C.定理和推论
D.以上三项都对
A.已知条件
B.定义和基本事实
C.定理和推论
D.以上三项都对
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确数学证明中可作为推理依据的内容范围，再逐一验证选项是否符合要求：首先题目给出的已知条件是推理的基础，必然可以作为证明依据；其次定义是对数学概念的明确界定，基本事实（公理）是公认的无需证明的真命题，二者都能直接作为证明依据；最后定理和推论是已经经过严格证明的真命题，也可在后续证明中直接使用。三个选项描述的内容都符合证明依据的要求，即可得出正确答案。
【解析】
数学证明过程中，可作为证明依据的内容共有三类：
1. 题目给出的已知条件，即选项A描述的内容；
2. 各类数学概念的定义、无需证明的基本事实（公理），即选项B描述的内容；
3. 已经被证明为真命题的定理、推论，即选项C描述的内容。
因此A、B、C三项的内容都可作为证明依据，故选D。
【答案】
D
【知识点】
证明的依据；基本事实；定理与推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对证明常用依据的识别记忆，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确数学证明中可作为推理依据的内容范围，再逐一验证选项是否符合要求：首先题目给出的已知条件是推理的基础，必然可以作为证明依据；其次定义是对数学概念的明确界定，基本事实（公理）是公认的无需证明的真命题，二者都能直接作为证明依据；最后定理和推论是已经经过严格证明的真命题，也可在后续证明中直接使用。三个选项描述的内容都符合证明依据的要求，即可得出正确答案。
【解析】
数学证明过程中，可作为证明依据的内容共有三类：
1. 题目给出的已知条件，即选项A描述的内容；
2. 各类数学概念的定义、无需证明的基本事实（公理），即选项B描述的内容；
3. 已经被证明为真命题的定理、推论，即选项C描述的内容。
因此A、B、C三项的内容都可作为证明依据，故选D。
【答案】
D
【知识点】
证明的依据；基本事实；定理与推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对证明常用依据的识别记忆，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. “经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”是 【 】
A.假命题
B.定义
C.基本事实
D.定理
A.假命题
B.定义
C.基本事实
D.定理
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确各个选项对应的概念含义，再逐一匹配题干内容：第一步先判断题干命题的真假，排除假命题选项；第二步区分定义、基本事实、定理的差异：定义是对概念含义的描述，基本事实是无需证明、公认的真命题，定理是需要经推理证明的真命题；最后结合教材中对该表述的定位，选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：题干中的表述是被公认的正确结论，属于真命题，不是假命题，故A错误；
2. 选项B：定义是对名称或术语的含义进行明确描述的语句，题干语句不是在解释某个概念的定义，故B错误；
3. 选项C：基本事实（又称公理）是人们长期实践总结得到、无需证明、可作为证明其他命题原始依据的真命题，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”是平行公理，属于基本事实，故C正确；
4. 选项D：定理是经过严格推理证明得到的真命题，该表述无需证明，不属于定理，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
基本事实的概念；命题的分类；平行公理
【点评】
本题考查对基本事实、定义、定理、命题等概念的辨析，属于基础概念考查题，熟记各类概念的区别以及教材中明确的基本事实内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确各个选项对应的概念含义，再逐一匹配题干内容：第一步先判断题干命题的真假，排除假命题选项；第二步区分定义、基本事实、定理的差异：定义是对概念含义的描述，基本事实是无需证明、公认的真命题，定理是需要经推理证明的真命题；最后结合教材中对该表述的定位，选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：题干中的表述是被公认的正确结论，属于真命题，不是假命题，故A错误；
2. 选项B：定义是对名称或术语的含义进行明确描述的语句，题干语句不是在解释某个概念的定义，故B错误；
3. 选项C：基本事实（又称公理）是人们长期实践总结得到、无需证明、可作为证明其他命题原始依据的真命题，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”是平行公理，属于基本事实，故C正确；
4. 选项D：定理是经过严格推理证明得到的真命题，该表述无需证明，不属于定理，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
基本事实的概念；命题的分类；平行公理
【点评】
本题考查对基本事实、定义、定理、命题等概念的辨析，属于基础概念考查题，熟记各类概念的区别以及教材中明确的基本事实内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 下列命题中，不属于基本事实的是 【 】
A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
B.对顶角相等
C.两点之间线段最短
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
B.对顶角相等
C.两点之间线段最短
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确基本事实（公理）和定理的区别：基本事实是人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，不需要证明，可以直接作为证明其他命题的原始依据；定理是经过推理证明得到的真命题。接下来逐个分析四个选项对应的命题属性，判断哪个不属于基本事实即可。
【解析】
首先明确概念：公认的无需证明的真命题为基本事实，经过推理证实的真命题为定理。
对各选项逐一判断：
A. "两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行"是平行线判定的基本事实，不符合题意；
B. "对顶角相等"可以通过"同角的补角相等"推理证明得到，属于定理，不属于基本事实，符合题意；
C. "两点之间线段最短"是公认的基本事实，不符合题意；
D. "同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"是关于垂线性质的基本事实，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 基本事实与定理的区分
2. 平行线判定公理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题考查对基本事实和定理概念的理解，解题核心是熟记常见的基本事实，明确二者的核心差异在于是否需要经过推理证明，属于基础概念类考题，只要准确掌握相关概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确基本事实（公理）和定理的区别：基本事实是人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，不需要证明，可以直接作为证明其他命题的原始依据；定理是经过推理证明得到的真命题。接下来逐个分析四个选项对应的命题属性，判断哪个不属于基本事实即可。
【解析】
首先明确概念：公认的无需证明的真命题为基本事实，经过推理证实的真命题为定理。
对各选项逐一判断：
A. "两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行"是平行线判定的基本事实，不符合题意；
B. "对顶角相等"可以通过"同角的补角相等"推理证明得到，属于定理，不属于基本事实，符合题意；
C. "两点之间线段最短"是公认的基本事实，不符合题意；
D. "同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"是关于垂线性质的基本事实，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 基本事实与定理的区分
2. 平行线判定公理
3. 对顶角的性质
【点评】
本题考查对基本事实和定理概念的理解，解题核心是熟记常见的基本事实，明确二者的核心差异在于是否需要经过推理证明，属于基础概念类考题，只要准确掌握相关概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$ 中,点 D、E 分别是 AC、BD 上的点,且$∠ A = 65°$, $∠ ABD = ∠ DCE = 30°$,则$∠ BEC$ 的度数是
125°
.答案
4. 125°
解析
【分析】
要求∠BEC的度数，可利用三角形外角的性质逐步推导：首先观察到∠BEC是△DCE的外角，根据三角形外角性质，它等于不相邻的两个内角∠DCE与∠CDE的和，因此需要先求出∠CDE的度数；而∠CDE（即∠BDC）是△ABD的外角，同样由外角性质可知它等于已知的∠A与∠ABD的和，代入已知角度计算出∠CDE后，即可进一步求出∠BEC的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BDC的度数
∵ ∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ $∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$
已知$∠ A=65°$，$∠ ABD=30°$，代入得：
$∠ BDC = 65° + 30° = 95°$
2. 求∠BEC的度数
∵ ∠BEC是△CDE的外角
∴ $∠ BEC = ∠ DCE + ∠ EDC$
其中$∠ EDC = ∠ BDC = 95°$，$∠ DCE=30°$，代入得：
$∠ BEC = 30° + 95° = 125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的两个不相邻内角，通过两次运用外角性质即可得出结果，逻辑清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要求∠BEC的度数，可利用三角形外角的性质逐步推导：首先观察到∠BEC是△DCE的外角，根据三角形外角性质，它等于不相邻的两个内角∠DCE与∠CDE的和，因此需要先求出∠CDE的度数；而∠CDE（即∠BDC）是△ABD的外角，同样由外角性质可知它等于已知的∠A与∠ABD的和，代入已知角度计算出∠CDE后，即可进一步求出∠BEC的度数。
【解析】
解：
1. 求∠BDC的度数
∵ ∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ $∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD$
已知$∠ A=65°$，$∠ ABD=30°$，代入得：
$∠ BDC = 65° + 30° = 95°$
2. 求∠BEC的度数
∵ ∠BEC是△CDE的外角
∴ $∠ BEC = ∠ DCE + ∠ EDC$
其中$∠ EDC = ∠ BDC = 95°$，$∠ DCE=30°$，代入得：
$∠ BEC = 30° + 95° = 125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的两个不相邻内角，通过两次运用外角性质即可得出结果，逻辑清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5.(连云港中考)如图，直线$a // b$，直线$l ⊥ a$，$∠ 1 = 120°$，则$∠ 2 =$
30
$°$。答案
5. 30
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线a平行于b，直线l垂直于a，∠1=120°。首先根据平行线的性质，垂直于平行线中一条直线的直线也垂直于另一条，可得l垂直于b，即l与b的夹角为90°；再根据邻补角的定义，求出∠1的邻补角（即三角形的一个锐角）的度数；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $a // b$，$l ⊥ a$，
∴ $l ⊥ b$（一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条），即直线l与b的夹角为$90°$。
∵ $∠1=120°$，$∠1$和它相邻的三角形内角互为邻补角，
∴ 该邻补角的度数为$180° - 120° = 60°$。
在直角三角形中，两个锐角之和为$90°$，
∴ $∠2 = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、邻补角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，将平行线性质、垂直定义和三角形角度关系结合考查，解题的突破口是先推出l与b互相垂直，再逐步推导角度即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：直线a平行于b，直线l垂直于a，∠1=120°。首先根据平行线的性质，垂直于平行线中一条直线的直线也垂直于另一条，可得l垂直于b，即l与b的夹角为90°；再根据邻补角的定义，求出∠1的邻补角（即三角形的一个锐角）的度数；最后结合直角三角形两锐角互余的性质，即可算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ $a // b$，$l ⊥ a$，
∴ $l ⊥ b$（一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条），即直线l与b的夹角为$90°$。
∵ $∠1=120°$，$∠1$和它相邻的三角形内角互为邻补角，
∴ 该邻补角的度数为$180° - 120° = 60°$。
在直角三角形中，两个锐角之和为$90°$，
∴ $∠2 = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质、邻补角的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，将平行线性质、垂直定义和三角形角度关系结合考查，解题的突破口是先推出l与b互相垂直，再逐步推导角度即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. (济南中考)如图，已知$ l_1 // l_2 $，$ △ ABC $是等腰直角三角形，$ ∠ BAC = 90° $，顶点A、B分别在$ l_1 $、$ l_2 $上，当$ ∠ 1 = 70° $时，$ ∠ 2 = $
65
°。答案
6. 65
解析
【分析】
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质求出底角∠C的度数，再结合三角形外角的性质求出∠CAD的度数，接着由∠BAC=90°算出∠BAD的度数，最后根据平行线的内错角相等性质即可求出∠2的大小。
第一步：回忆等腰直角三角形的特点，顶角为90°时两个底角均为45°，可先得到∠ACB=45°；
第二步：观察图形可知∠1是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入∠1和∠ACB的度数即可求出∠CAD的大小；
第三步：由∠BAC=90°，用90°减去∠CAD的度数得到∠BAD的度数；
第四步：因为l₁//l₂，AB为截线，∠BAD和∠2是内错角，根据平行线内错角相等即可得出∠2的度数。
【解析】
解：设BC与直线l₁交于点D。
1. 因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，所以底角∠ACB=45°；
2. ∠1是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ 1 = ∠ ACB + ∠ CAD$
代入$∠ 1=70°$，$∠ ACB=45°$，得：
$∠ CAD = 70° - 45° = 25°$
3. 因为$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 90° - 25° = 65°$
4. 又因为$l_1// l_2$，AB为两直线的截线，∠BAD和∠2是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ 2 = ∠ BAD = 65°$
【答案】
65
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形外角的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、三角形外角和等腰直角三角形的相关性质，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合相关性质逐步推导，属于常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质求出底角∠C的度数，再结合三角形外角的性质求出∠CAD的度数，接着由∠BAC=90°算出∠BAD的度数，最后根据平行线的内错角相等性质即可求出∠2的大小。
第一步：回忆等腰直角三角形的特点，顶角为90°时两个底角均为45°，可先得到∠ACB=45°；
第二步：观察图形可知∠1是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入∠1和∠ACB的度数即可求出∠CAD的大小；
第三步：由∠BAC=90°，用90°减去∠CAD的度数得到∠BAD的度数；
第四步：因为l₁//l₂，AB为截线，∠BAD和∠2是内错角，根据平行线内错角相等即可得出∠2的度数。
【解析】
解：设BC与直线l₁交于点D。
1. 因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，所以底角∠ACB=45°；
2. ∠1是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ 1 = ∠ ACB + ∠ CAD$
代入$∠ 1=70°$，$∠ ACB=45°$，得：
$∠ CAD = 70° - 45° = 25°$
3. 因为$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 90° - 25° = 65°$
4. 又因为$l_1// l_2$，AB为两直线的截线，∠BAD和∠2是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ 2 = ∠ BAD = 65°$
【答案】
65
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形外角的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、三角形外角和等腰直角三角形的相关性质，解题的关键是准确识别图形中角的位置关系，结合相关性质逐步推导，属于常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
7. 完成下列证明,并在括号内填上依据.
如图,已知: $AD // BC$, $∠ BAD = ∠ BCD$.
求证: $AB // CD$.
证明: $\because AD // BC$(),
$\therefore ∠ 1 = \_\_\_\_\_\_$().
又 $\because ∠ BAD = ∠ BCD$(),
$\therefore ∠ BAD - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$, 即 $∠ 3 = ∠ 4$.
如图,已知: $AD // BC$, $∠ BAD = ∠ BCD$.
求证: $AB // CD$.
证明: $\because AD // BC$(),
$\therefore ∠ 1 = \_\_\_\_\_\_$().
又 $\because ∠ BAD = ∠ BCD$(),
$\therefore ∠ BAD - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$, 即 $∠ 3 = ∠ 4$.
答案
7. 已知 ∠2 两直线平行，内错角相等 已知 CD 内错角相等，两直线平行
解析
【分析】
本题考查平行线的性质与判定的综合运用，解题思路如下：首先，题目给出的$AD// BC$是已知条件，根据平行线的性质，两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，可得到$∠1$和$∠2$相等；其次，结合题目给出的$∠BAD=∠BCD$的已知条件，利用等式的性质，两个相等的角分别减去相等的$∠1$和$∠2$，剩余的$∠3$和$∠4$也相等；最后，$∠3$和$∠4$是直线$AB$、$CD$被$AC$所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两条直线平行，即可证明$AB// CD$。
【解析】
我们按证明顺序逐空填写：
1. $AD// BC$是题目给出的已知条件，故第一空填：已知；
2. $\because AD// BC$，$AD$、$BC$被对角线$AC$所截，$∠1$和$∠2$是内错角，根据平行线的性质可得$∠1=∠2$，故第二空填：$∠2$，第三空填：两直线平行，内错角相等；
3. $∠BAD=∠BCD$是题目给出的已知条件，故第四空填：已知；
4. 推导得到$∠3=∠4$后，$∠3$和$∠4$是$AB$、$CD$被$AC$所截的内错角，根据平行线的判定定理，可得$AB// CD$，故第五空填：$CD$，第六空填：内错角相等，两直线平行。
完整证明如下：
证明：$\because AD // BC$(已知),
$\therefore ∠ 1 = ∠2$(两直线平行，内错角相等).
又 $\because ∠ BAD = ∠ BCD$(已知),
$\therefore ∠ BAD - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$, 即 $∠ 3 = ∠ 4$.
$\therefore AB// CD$(内错角相等，两直线平行).
【答案】
已知；∠2；两直线平行，内错角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，核心是区分平行线的性质和判定的使用场景：已知两直线平行推导角的关系时用性质，已知角的相等关系推导两直线平行时用判定，熟练掌握二者的区别是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
本题考查平行线的性质与判定的综合运用，解题思路如下：首先，题目给出的$AD// BC$是已知条件，根据平行线的性质，两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，可得到$∠1$和$∠2$相等；其次，结合题目给出的$∠BAD=∠BCD$的已知条件，利用等式的性质，两个相等的角分别减去相等的$∠1$和$∠2$，剩余的$∠3$和$∠4$也相等；最后，$∠3$和$∠4$是直线$AB$、$CD$被$AC$所截形成的内错角，根据内错角相等可判定两条直线平行，即可证明$AB// CD$。
【解析】
我们按证明顺序逐空填写：
1. $AD// BC$是题目给出的已知条件，故第一空填：已知；
2. $\because AD// BC$，$AD$、$BC$被对角线$AC$所截，$∠1$和$∠2$是内错角，根据平行线的性质可得$∠1=∠2$，故第二空填：$∠2$，第三空填：两直线平行，内错角相等；
3. $∠BAD=∠BCD$是题目给出的已知条件，故第四空填：已知；
4. 推导得到$∠3=∠4$后，$∠3$和$∠4$是$AB$、$CD$被$AC$所截的内错角，根据平行线的判定定理，可得$AB// CD$，故第五空填：$CD$，第六空填：内错角相等，两直线平行。
完整证明如下：
证明：$\because AD // BC$(已知),
$\therefore ∠ 1 = ∠2$(两直线平行，内错角相等).
又 $\because ∠ BAD = ∠ BCD$(已知),
$\therefore ∠ BAD - ∠ 1 = ∠ BCD - ∠ 2$, 即 $∠ 3 = ∠ 4$.
$\therefore AB// CD$(内错角相等，两直线平行).
【答案】
已知；∠2；两直线平行，内错角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等式的性质
【点评】
本题是平行线证明的基础题型，核心是区分平行线的性质和判定的使用场景：已知两直线平行推导角的关系时用性质，已知角的相等关系推导两直线平行时用判定，熟练掌握二者的区别是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
