8. 对于同一平面内的三条直线a、b、c，有以下五个论断：①$a// b$；②$b// c$；③$a⊥ b$；④$a// c$；⑤$a⊥ c$. 请你以其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个真命题并证明.

由①②得④;由①④得②;由②④得①;由②③得⑤;由②⑤得③;由③⑤得②(写出一组即可).证明略

【分析】
要构造真命题，需结合同一平面内直线平行、垂直的相关性质，确保所选的两个条件能合理推出结论。我们可优先从熟悉的定理入手：比如平行的传递性（平行于同一直线的两条直线互相平行），或平行线与垂直的关联性质（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条，或垂直于同一直线的两条直线互相平行），选其中一组符合定理的条件和结论，再按照逻辑步骤证明即可。
【解析】
示例：选择条件②$b// c$、③$a⊥ b$，结论⑤$a⊥ c$，证明如下：
1. 由$a⊥ b$（已知），根据垂直的定义，可得$a$与$b$的夹角为$90°$；
2. 由$b// c$（已知），根据“两直线平行，同位角相等”，可得$a$与$c$的夹角等于$a$与$b$的夹角，也为$90°$；
3. 根据垂直的定义，可推出$a⊥ c$，该命题为真命题。
（也可选择其他组合，如选①②为条件、④为结论等，证明符合逻辑即可）
【答案】
示例：如果$b// c$，$a⊥ b$，那么$a⊥ c$（答案不唯一，写出任意一组符合要求的真命题即可）
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；命题的判定
【点评】
本题为开放性题目，答案不唯一，重点考查对平面内直线位置关系相关定理的理解和运用，能有效锻炼逻辑推理能力，只要熟练掌握基础的平行、垂直性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.7

9. 某工程队在修建高速公路时，有时须将弯曲的道路改直，下列说法中可以说明这样做能缩短路程的是 【 】

A.直线定理
B.直线定理或“两点之间线段最短”基本事实
C.“两点之间线段最短”基本事实
D.平行定理

C

【分析】
解题时首先明确题目核心需求：找到“弯曲道路改直能缩短路程”的几何依据。第一步先回忆各选项对应的几何结论的内容：①直线定理（两点确定一条直线）的作用是确定直线的位置，与路径长度无关；②“两点之间线段最短”是描述两点间所有连线中线段长度最短，和路程长短直接相关；③平行定理是涉及平行线的相关结论，和本题场景无关。第二步结合题干场景：弯曲道路改直，本质是将道路两端点之间的曲线路径改为线段路径，对应“两点之间线段最短”的应用，再逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们先分析各几何结论的适用场景：
1. 直线定理（两点确定一条直线）：仅用于说明确定一条直线需要两个点，和路程长度没有关系，因此A、B选项错误。
2. 平行定理：是关于平行线的判定、性质的相关定理，和本题道路改直缩短路程的场景无关，因此D选项错误。
3. “两点之间线段最短”基本事实：指两点之间的所有连线（曲线、折线、线段等）中，线段的长度最短。将弯曲的道路改直，就是把道路两端点之间的弯曲路径变为线段路径，符合该基本事实，因此可以说明改直能缩短路程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；直线的基本性质
【点评】
本题考查几何基本事实的实际应用，解题关键是区分不同几何基本事实的适用场景，结合生活场景理解对应的几何原理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

10. 下列说法中，错误的是 【 】

A.定理是真命题
B.基本事实一定不是假命题
C.基本事实与定理没有区别
D.定义、定理、基本事实、公式等都是进行推理的依据

C

【分析】
本题考查基本事实、定理、命题等相关概念的辨析。解题时首先要明确各个概念的定义与区别，再逐一判断每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。首先回忆相关概念：基本事实是公认的、无需证明的真命题，是推理的原始依据；定理是经过严格证明得到的真命题，可作为后续推理的依据。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 定理是经过严格的逻辑推理证明得到的真命题，该说法正确，不符合题意；
B. 基本事实是人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，因此一定不是假命题，该说法正确，不符合题意；
C. 基本事实是无需证明的原始真命题，是推理的初始依据；定理需要以基本事实或已证的其他定理为依据，经过证明才能得到，二者有明显区别，该说法错误，符合题意；
D. 定义、定理、基本事实、公式等都是已经被验证为正确的结论，都可以作为推理的依据，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
命题的分类；基本事实的概念；定理的概念
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对几何基础概念的理解和区分能力，准确掌握基本事实和定理的定义、异同点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

11. 有下列说法:①“三角形的内角和等于$180°$”是命题也是定理；②“两点之间线段最短”是命题也是基本事实；③“相等的角是对顶角”是假命题；④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义.其中，描述正确的是.(只填序号)

11. ①②③④

【分析】
本题考查命题、定理、基本事实、假命题、定义的相关概念辨析，解题思路是先回忆各类概念的判定标准，再对4个说法逐一核对判断即可。首先明确：能判断真假的陈述句叫做命题；经过推理证实的真命题是定理；人们长期实践总结出来的、无需证明的公认真命题是基本事实；判断错误的命题是假命题；对概念的本质特征的明确说明是定义，按照上述标准逐个验证即可。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
①“三角形的内角和等于$180°$”是可以判断真假的陈述句，属于命题，且该结论已经过严格推理证明为真，是几何中的定理，故①正确；
②“两点之间线段最短”是可以判断真假的陈述句，属于命题，且该结论是人们长期实践总结的公认真理，属于基本事实，故②正确；
③“相等的角是对顶角”是可以判断真假的陈述句，属于命题，举反例：平行线的同位角相等，但同位角不是对顶角，可知该命题判断错误，是假命题，故③正确；
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是对“两条直线互相垂直”这一概念的本质特征的明确说明，符合定义的判定标准，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
命题的相关概念，定义与定理，基本事实
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对几何基础概念的辨析能力，解题的核心是准确区分各类相近概念的差异，同时要熟悉常见的几何结论，避免概念混淆导致判断失误。
【难度系数】
0.8

12.（凉山州中考）如图，在$△ ABC$中，$∠ BCD = 30°$，$∠ ACB = 80°$，CD是边AB上的高，AE是$∠ CAB$的平分线，则$∠ AEB$的度数是.（第12题）

12. 100°

【分析】
解题思路可分四步走：第一步，先利用CD是AB边上的高得到直角，结合已知∠BCD的度数，用三角形内角和求出∠B的度数；第二步，在△ABC中，根据已知的∠ACB和刚求出的∠B，再次用三角形内角和算出∠CAB的度数；第三步，依据AE是∠CAB的平分线，求出∠EAB的度数；第四步，在△AEB中利用三角形内角和即可求得∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，需要结合三角形高、角平分线的性质，多次运用三角形内角和定理推导未知角度，只要理清各角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

13. 证明命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的平分线所夹的锐角是45°”是真命题. 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）.
已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点O.
求证:∠AOE=∠BOD=45°.

证明:∵ ∠C=90°,
∴ ∠CAB + ∠CBA = 180°−∠C = °().
∵AD平分∠CAB, BE平分∠CBA,

13. 90 三角形的内角和等于180°

【分析】
要解决这道填空问题，我们从已知条件入手推导：已知△ABC中∠C=90°，要求∠CAB与∠CBA的和，可直接运用三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，因此两个锐角的和等于180°减去直角∠C的度数，就能算出对应结果，推导理由就是三角形内角和定理。
【解析】
根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180°-∠ C = 180°-90°=90°$
因此第一个空填90，括号内的理由为三角形的内角和等于180°。
【答案】
90；三角形的内角和等于180°
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何证明填空题，侧重考查基础定理的识记和简单应用，熟练掌握三角形内角和定理是解决这类角度计算问题的基础。
【难度系数】
0.9