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9.【数学游戏】在算式$1 - | -2□3 |$中的里填入运算符号
×
，可使算式的值最小。（在符号“+”“-”“×”“÷”中选择一个）答案
9.×
解析
【分析】
要使算式$1 - | -2□3 |$的值最小，因为被减数1是固定值，根据减法的性质：被减数固定时，减数越大，差越小，所以我们需要让减数$|-2□3|$的值最大。接下来只需要将四个运算符号分别代入中计算，比较不同运算下整个算式的结果，就能找到符合要求的运算符号。
【解析】
我们分别将“+”“-”“×”“÷”填入中计算结果：
1. 填入“+”时：$1 - | -2 + 3 | = 1 - |1| = 1 - 1 = 0$
2. 填入“-”时：$1 - | -2 - 3 | = 1 - |-5| = 1 - 5 = -4$
3. 填入“×”时：$1 - | -2 × 3 | = 1 - |-6| = 1 - 6 = -5$
4. 填入“÷”时：$1 - | -2 ÷ 3 | = 1 - |-\frac{2}{3}| = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
比较四个结果的大小：$-5 ＜ -4 ＜ 0 ＜ \frac{1}{3}$，因此填入“×”时算式的值最小。
【答案】
×
【知识点】
有理数混合运算，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题需要逆向分析数量关系，先明确差最小等价于绝对值部分的数值最大，再通过代入运算逐一验证即可，属于有理数基础运算的综合应用题型。
【难度系数】
0.8
要使算式$1 - | -2□3 |$的值最小，因为被减数1是固定值，根据减法的性质：被减数固定时，减数越大，差越小，所以我们需要让减数$|-2□3|$的值最大。接下来只需要将四个运算符号分别代入中计算，比较不同运算下整个算式的结果，就能找到符合要求的运算符号。
【解析】
我们分别将“+”“-”“×”“÷”填入中计算结果：
1. 填入“+”时：$1 - | -2 + 3 | = 1 - |1| = 1 - 1 = 0$
2. 填入“-”时：$1 - | -2 - 3 | = 1 - |-5| = 1 - 5 = -4$
3. 填入“×”时：$1 - | -2 × 3 | = 1 - |-6| = 1 - 6 = -5$
4. 填入“÷”时：$1 - | -2 ÷ 3 | = 1 - |-\frac{2}{3}| = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
比较四个结果的大小：$-5 ＜ -4 ＜ 0 ＜ \frac{1}{3}$，因此填入“×”时算式的值最小。
【答案】
×
【知识点】
有理数混合运算，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题需要逆向分析数量关系，先明确差最小等价于绝对值部分的数值最大，再通过代入运算逐一验证即可，属于有理数基础运算的综合应用题型。
【难度系数】
0.8
10. 计算：
(1) $-7^2 + 2 × (-3)^2 + (-6) ÷ (-\dfrac{1}{3})^2$；
(2) $-1^4 - (1 - 0.5) × \dfrac{1}{3} × [2 - (-3^2)]$；
(3) $16 ÷ (-2)^3 - (-2) ÷ (-1)$。
(1) $-7^2 + 2 × (-3)^2 + (-6) ÷ (-\dfrac{1}{3})^2$；
(2) $-1^4 - (1 - 0.5) × \dfrac{1}{3} × [2 - (-3^2)]$；
(3) $16 ÷ (-2)^3 - (-2) ÷ (-1)$。
答案
10.解:(1)原式$=-49+2×9+(-6)÷\dfrac{1}{9}$
$=-49+18+(-6)×9$
$=-49+18-54$
$=-85$。
(2)原式$=-1-(1-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}×[2-(-9)]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×11$
$=-1-\dfrac{11}{6}$
$=-2\dfrac{5}{6}$。
(3)原式$=16÷(-8)-2$
$=-2-2$
$=-4$。
$=-49+18+(-6)×9$
$=-49+18-54$
$=-85$。
(2)原式$=-1-(1-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}×[2-(-9)]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×11$
$=-1-\dfrac{11}{6}$
$=-2\dfrac{5}{6}$。
(3)原式$=16÷(-8)-2$
$=-2-2$
$=-4$。
解析
【分析】
这三道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循运算顺序：第一步先算乘方，要注意区分带负号的乘方的底数，比如$-7^2$的底数是7，运算结果为负，$(-3)^2$的底数是-3，运算结果为正，避免符号判断错误；第二步再算乘除运算，遇到除法可转化为乘法计算；第三步最后算加减运算，有括号的要先算括号内的内容，括号内同样遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，按该步骤逐题计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 先计算各乘方项，再算乘除，最后算加减：
原式$=-49+2×9+(-6)÷\dfrac{1}{9}$
$=-49+18+(-6)×9$
$=-49+18-54$
$=-85$。
(2) 先算乘方，再依次计算小括号、中括号内的内容，之后算乘法，最后算减法：
原式$=-1-(1-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}×[2-(-9)]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×11$
$=-1-\dfrac{11}{6}$
$=-2\dfrac{5}{6}$。
(3) 先算乘方，再算除法，最后算减法：
原式$=16÷(-8)-2$
$=-2-2$
$=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-85}$；(2) $\boldsymbol{-2\dfrac{5}{6}}$（或$\boldsymbol{-\dfrac{17}{6}}$）；(3) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、有理数四则运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，易错点是负号参与乘方时的符号判断，以及运算顺序的把握，计算时需仔细核对每一步的符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数混合运算，解题需严格遵循运算顺序：第一步先算乘方，要注意区分带负号的乘方的底数，比如$-7^2$的底数是7，运算结果为负，$(-3)^2$的底数是-3，运算结果为正，避免符号判断错误；第二步再算乘除运算，遇到除法可转化为乘法计算；第三步最后算加减运算，有括号的要先算括号内的内容，括号内同样遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，按该步骤逐题计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 先计算各乘方项，再算乘除，最后算加减：
原式$=-49+2×9+(-6)÷\dfrac{1}{9}$
$=-49+18+(-6)×9$
$=-49+18-54$
$=-85$。
(2) 先算乘方，再依次计算小括号、中括号内的内容，之后算乘法，最后算减法：
原式$=-1-(1-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}×[2-(-9)]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×11$
$=-1-\dfrac{11}{6}$
$=-2\dfrac{5}{6}$。
(3) 先算乘方，再算除法，最后算减法：
原式$=16÷(-8)-2$
$=-2-2$
$=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-85}$；(2) $\boldsymbol{-2\dfrac{5}{6}}$（或$\boldsymbol{-\dfrac{17}{6}}$）；(3) $\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、有理数四则运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，易错点是负号参与乘方时的符号判断，以及运算顺序的把握，计算时需仔细核对每一步的符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
11.【数学游戏】将下列各组数字进行混合运算(每个数字只能用一次),使运算结果为24。
(1)4,6,8,9;
(2)1,-2,2,3。
(1)4,6,8,9;
(2)1,-2,2,3。
答案
11.解:(1)$4×6×(9-8)$或$8÷4×9+6$。(答案不唯一)
(2)$[3-(-2)]^2-1$或$2^3×[1-(-2)]$。(答案不唯一)
(2)$[3-(-2)]^2-1$或$2^3×[1-(-2)]$。(答案不唯一)
解析
【分析】
解决24点类问题的核心思路是结合已知数字，联想能得到24的常见运算组合（如4×6、3×8、25-1、18+6等），再通过调整剩余数字的运算关系，保证每个数字仅使用一次，最终凑出结果24。
针对第(1)问：给出数字4、6、8、9，首先可直接想到4×6=24，此时剩余8和9只需凑出乘数1即可，9-8=1刚好满足要求；也可以先组合8和4得到2，再用2乘9得到18，最后加6得到24。
针对第(2)问：数字包含负数和乘方运算，可结合乘方凑出接近24的数，比如2的3次方是8，剩余1和-2凑出3，8×3=24；也可以先算3减去-2得到5，5的平方是25，再减1得到24。
【解析】
(1) 解法一：先计算括号内的减法：$9-8=1$，再依次计算乘法：$4×6=24$，$24×1=24$，列综合算式为$4×6×(9-8)=24$；
解法二：先算除法：$8÷4=2$，再算乘法：$2×9=18$，最后算加法：$18+6=24$，列综合算式为$8÷4×9+6=24$；
(2) 解法一：先算乘方：$2^3=8$，再算括号内的减法：$1-(-2)=3$，最后算乘法：$8×3=24$，列综合算式为$2^3×[1-(-2)]=24$；
解法二：先算括号内的减法：$3-(-2)=5$，再算乘方：$5^2=25$，最后算减法：$25-1=24$，列综合算式为$[3-(-2)]^2-1=24$；
两小问答案均不唯一，符合运算规则即可。
【答案】
(1)$4×6×(9-8)$或$8÷4×9+6$（答案不唯一）
(2)$[3-(-2)]^2-1$或$2^3×[1-(-2)]$（答案不唯一）
【知识点】
1.有理数混合运算
2.乘方运算
3.巧算技巧
【点评】
本题属于趣味运算类题目，重在考查对有理数运算法则的熟练运用程度，需要发散思维、多尝试不同的运算组合，对提升运算熟练度和思维灵活性有很大帮助。
【难度系数】
0.65
解决24点类问题的核心思路是结合已知数字，联想能得到24的常见运算组合（如4×6、3×8、25-1、18+6等），再通过调整剩余数字的运算关系，保证每个数字仅使用一次，最终凑出结果24。
针对第(1)问：给出数字4、6、8、9，首先可直接想到4×6=24，此时剩余8和9只需凑出乘数1即可，9-8=1刚好满足要求；也可以先组合8和4得到2，再用2乘9得到18，最后加6得到24。
针对第(2)问：数字包含负数和乘方运算，可结合乘方凑出接近24的数，比如2的3次方是8，剩余1和-2凑出3，8×3=24；也可以先算3减去-2得到5，5的平方是25，再减1得到24。
【解析】
(1) 解法一：先计算括号内的减法：$9-8=1$，再依次计算乘法：$4×6=24$，$24×1=24$，列综合算式为$4×6×(9-8)=24$；
解法二：先算除法：$8÷4=2$，再算乘法：$2×9=18$，最后算加法：$18+6=24$，列综合算式为$8÷4×9+6=24$；
(2) 解法一：先算乘方：$2^3=8$，再算括号内的减法：$1-(-2)=3$，最后算乘法：$8×3=24$，列综合算式为$2^3×[1-(-2)]=24$；
解法二：先算括号内的减法：$3-(-2)=5$，再算乘方：$5^2=25$，最后算减法：$25-1=24$，列综合算式为$[3-(-2)]^2-1=24$；
两小问答案均不唯一，符合运算规则即可。
【答案】
(1)$4×6×(9-8)$或$8÷4×9+6$（答案不唯一）
(2)$[3-(-2)]^2-1$或$2^3×[1-(-2)]$（答案不唯一）
【知识点】
1.有理数混合运算
2.乘方运算
3.巧算技巧
【点评】
本题属于趣味运算类题目，重在考查对有理数运算法则的熟练运用程度，需要发散思维、多尝试不同的运算组合，对提升运算熟练度和思维灵活性有很大帮助。
【难度系数】
0.65
12.【数学应用】王老师到市场买菜，发现把10 kg的菜放到秤上，指标盘上的指针转了$180°$。第二天王老师就给同学们出了以下两个问题：
(1)如果把0.6 kg的菜放在秤上，那么指针转过多少度？
(2)如果放一些菜在秤上，指针转了$7.2°$，那么这些菜有多少千克？
(1)如果把0.6 kg的菜放在秤上，那么指针转过多少度？
(2)如果放一些菜在秤上，指针转了$7.2°$，那么这些菜有多少千克？
答案
12.解:(1)$(180°÷10)×0.6=10.8°$。
(2)$(10÷180°)×7.2°=0.4(\mathrm{kg})$。
(2)$(10÷180°)×7.2°=0.4(\mathrm{kg})$。
解析
【分析】
这是结合生活实际的比例计算问题，解题思路清晰：首先通过已知“10kg的菜使指针转180°”，先算出两个核心单位量：①每千克菜放在秤上指针转过的角度；②指针每转1°对应的菜的重量。第(1)问用每千克菜对应的旋转角度乘0.6kg，即可得到总旋转角度；第(2)问用每度对应的菜的重量乘7.2°，即可得到菜的总重量。
【解析】
(1) 先计算1千克菜放在秤上指针转过的角度，再计算0.6kg菜对应的旋转角度：
$(180°÷10)×0.6=10.8°$
(2) 先计算指针每转1°对应的菜的重量，再计算转7.2°对应的菜的重量：
$(10÷180°)×7.2°=0.4(\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 指针转过$\boxed{10.8°}$；
(2) 这些菜有$\boxed{0.4\ \mathrm{kg}}$。
【知识点】
有理数乘除运算，比例应用
【点评】
本题联系生活中称重的实际场景，考查有理数乘除运算的实际应用，解题核心是先求出对应单位量，再根据问题求解目标数值，题型基础，贴近生活，容易掌握。
【难度系数】
0.8
这是结合生活实际的比例计算问题，解题思路清晰：首先通过已知“10kg的菜使指针转180°”，先算出两个核心单位量：①每千克菜放在秤上指针转过的角度；②指针每转1°对应的菜的重量。第(1)问用每千克菜对应的旋转角度乘0.6kg，即可得到总旋转角度；第(2)问用每度对应的菜的重量乘7.2°，即可得到菜的总重量。
【解析】
(1) 先计算1千克菜放在秤上指针转过的角度，再计算0.6kg菜对应的旋转角度：
$(180°÷10)×0.6=10.8°$
(2) 先计算指针每转1°对应的菜的重量，再计算转7.2°对应的菜的重量：
$(10÷180°)×7.2°=0.4(\mathrm{kg})$
【答案】
(1) 指针转过$\boxed{10.8°}$；
(2) 这些菜有$\boxed{0.4\ \mathrm{kg}}$。
【知识点】
有理数乘除运算，比例应用
【点评】
本题联系生活中称重的实际场景，考查有理数乘除运算的实际应用，解题核心是先求出对应单位量，再根据问题求解目标数值，题型基础，贴近生活，容易掌握。
【难度系数】
0.8
13.【综合与实践】已知$2^2 - 1^2 = 2 + 1$，$3^2 - 2^2 = 3 + 2$，$4^2 - 3^2 = 4 + 3$，…。
（1）从以上等式中你能发现怎样的规律？（提示：当$n$为正整数时，$(n + 1)^2 - n^2 =?$）
（2）计算$201^2 - 200^2$的值。
（1）从以上等式中你能发现怎样的规律？（提示：当$n$为正整数时，$(n + 1)^2 - n^2 =?$）
（2）计算$201^2 - 200^2$的值。
答案
13.解:(1)$(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$（$n$为正整数）。
(2)$201^2-200^2=201+200=401$。
(2)$201^2-200^2=201+200=401$。
解析
【分析】
（1）先观察给出的等式特征：等式左侧都是相邻两个正整数的平方差（较大数的平方减较小数的平方），等式右侧都是这两个相邻正整数的和。我们用n表示较小的正整数（n为正整数），则较大的正整数为n+1，按照观察到的对应关系即可归纳出通用规律。（2）第二问的式子$201^2-200^2$刚好是相邻正整数的平方差，符合第一问得到的规律，直接代入规律计算即可，无需分别计算两个平方的值，可简化计算过程。
【解析】
解：(1) 观察已知等式：
当n=1时，$(1+1)^2 -1^2 = 2^2 -1^2 = 2+1 = (1+1)+1$；
当n=2时，$(2+1)^2 -2^2 = 3^2 -2^2 = 3+2 = (2+1)+2$；
当n=3时，$(3+1)^2 -3^2 = 4^2 -3^2 = 4+3 = (3+1)+3$；
……
由此归纳可得规律：当n为正整数时，$\boldsymbol{(n+1)^2 - n^2 = (n+1) + n}$。
(2) 根据(1)中的规律，$201^2 - 200^2$中对应n=200，代入得：
$201^2 - 200^2 = 201 + 200 = 401$。
【答案】
(1) $(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$（$n$为正整数）；
(2) $401$
【知识点】
数字规律探究、有理数加法运算、平方差初步认识
【点评】
本题考查从特殊等式归纳通用规律的能力，以及运用规律简化计算的能力，核心是掌握从特殊到一般的归纳思维，难度较低，掌握规律探究的基本观察方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
（1）先观察给出的等式特征：等式左侧都是相邻两个正整数的平方差（较大数的平方减较小数的平方），等式右侧都是这两个相邻正整数的和。我们用n表示较小的正整数（n为正整数），则较大的正整数为n+1，按照观察到的对应关系即可归纳出通用规律。（2）第二问的式子$201^2-200^2$刚好是相邻正整数的平方差，符合第一问得到的规律，直接代入规律计算即可，无需分别计算两个平方的值，可简化计算过程。
【解析】
解：(1) 观察已知等式：
当n=1时，$(1+1)^2 -1^2 = 2^2 -1^2 = 2+1 = (1+1)+1$；
当n=2时，$(2+1)^2 -2^2 = 3^2 -2^2 = 3+2 = (2+1)+2$；
当n=3时，$(3+1)^2 -3^2 = 4^2 -3^2 = 4+3 = (3+1)+3$；
……
由此归纳可得规律：当n为正整数时，$\boldsymbol{(n+1)^2 - n^2 = (n+1) + n}$。
(2) 根据(1)中的规律，$201^2 - 200^2$中对应n=200，代入得：
$201^2 - 200^2 = 201 + 200 = 401$。
【答案】
(1) $(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$（$n$为正整数）；
(2) $401$
【知识点】
数字规律探究、有理数加法运算、平方差初步认识
【点评】
本题考查从特殊等式归纳通用规律的能力，以及运用规律简化计算的能力，核心是掌握从特殊到一般的归纳思维，难度较低，掌握规律探究的基本观察方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
