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1. 如图所示的三个三角形，相似的是 【 】
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
A
解析
【分析】
要判断三角形是否相似，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。解题时首先根据三角形内角和为$180°$，分别计算出三个三角形的未知内角，再对比各三角形的内角度数，若两个三角形有两组内角对应相等，即可判定二者相似。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$，分别计算三个三角形的第三个内角：
1. 三角形①的第三个角：$180° - 71° - 65° = 44°$，即三角形①的三个内角为$71°、65°、44°$；
2. 三角形②的第三个角：$180° - 71° - 44° = 65°$，即三角形②的三个内角为$71°、44°、65°$；
3. 三角形③的第三个角：$180° - 71° - 67° = 42°$，即三角形③的三个内角为$71°、67°、42°$。
对比可知，三角形①和②有两组内角对应相等（$71°=71°$，$44°=44°$），满足相似三角形的判定条件，因此①和②相似；其余组合仅一组角相等，不满足判定条件。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题关键是先通过内角和定理算出所有内角，再对比角的相等关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断三角形是否相似，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。解题时首先根据三角形内角和为$180°$，分别计算出三个三角形的未知内角，再对比各三角形的内角度数，若两个三角形有两组内角对应相等，即可判定二者相似。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$，分别计算三个三角形的第三个内角：
1. 三角形①的第三个角：$180° - 71° - 65° = 44°$，即三角形①的三个内角为$71°、65°、44°$；
2. 三角形②的第三个角：$180° - 71° - 44° = 65°$，即三角形②的三个内角为$71°、44°、65°$；
3. 三角形③的第三个角：$180° - 71° - 67° = 42°$，即三角形③的三个内角为$71°、67°、42°$。
对比可知，三角形①和②有两组内角对应相等（$71°=71°$，$44°=44°$），满足相似三角形的判定条件，因此①和②相似；其余组合仅一组角相等，不满足判定条件。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题关键是先通过内角和定理算出所有内角，再对比角的相等关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
2. 下列选项中所说的两个三角形一定相似的是 【 】
A.两个直角三角形
B.有一个内角为$40°$的两个直角三角形
C.两个等腰三角形
D.有一个内角是$40°$的两个等腰三角形
A.两个直角三角形
B.有一个内角为$40°$的两个直角三角形
C.两个等腰三角形
D.有一个内角是$40°$的两个等腰三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可依据相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）分析各选项：首先明确不同类型三角形的内角特征，直角三角形有固定的90°直角，等腰三角形两个底角相等；若选项中能确定两个三角形有两组角对应相等，则符合要求，注意等腰三角形给出未明确类型的内角时，要分该角是顶角还是底角两种情况讨论，逐一排查选项即可。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
A. 两个直角三角形仅直角对应相等，其余两个锐角不一定对应相等，例如一个直角三角形锐角为30°、60°，另一个直角三角形锐角为45°、45°，二者不相似，故A不符合题意；
B. 有一个内角为40°的两个直角三角形，均含有90°的直角和40°的内角，第三个角均为$180° - 90° - 40° = 50°$，满足两组角对应相等，因此两个三角形一定相似，故B符合题意；
C. 两个等腰三角形的顶角或底角不一定对应相等，例如一个等腰三角形顶角为20°，底角为80°，另一个等腰三角形顶角为30°，底角为75°，二者内角不对应相等，不相似，故C不符合题意；
D. 有一个内角是40°的两个等腰三角形，需分情况讨论：若40°为顶角，则底角为$(180° - 40°) ÷ 2 = 70°$，三角形内角度数为$40°,70°,70°$；若40°为底角，则顶角为$180° - 40° × 2 = 100°$，三角形内角度数为$40°,40°,100°$，两种情况的三角形仅一组40°角相等，其余角不对应相等，不相似，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题侧重对相似三角形判定的基础应用考查，解题的关键是准确把握不同三角形的内角特征，尤其要注意等腰三角形中给出的锐角未指明是顶角还是底角时，需分类讨论，避免因考虑不全错选。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，可依据相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）分析各选项：首先明确不同类型三角形的内角特征，直角三角形有固定的90°直角，等腰三角形两个底角相等；若选项中能确定两个三角形有两组角对应相等，则符合要求，注意等腰三角形给出未明确类型的内角时，要分该角是顶角还是底角两种情况讨论，逐一排查选项即可。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
A. 两个直角三角形仅直角对应相等，其余两个锐角不一定对应相等，例如一个直角三角形锐角为30°、60°，另一个直角三角形锐角为45°、45°，二者不相似，故A不符合题意；
B. 有一个内角为40°的两个直角三角形，均含有90°的直角和40°的内角，第三个角均为$180° - 90° - 40° = 50°$，满足两组角对应相等，因此两个三角形一定相似，故B符合题意；
C. 两个等腰三角形的顶角或底角不一定对应相等，例如一个等腰三角形顶角为20°，底角为80°，另一个等腰三角形顶角为30°，底角为75°，二者内角不对应相等，不相似，故C不符合题意；
D. 有一个内角是40°的两个等腰三角形，需分情况讨论：若40°为顶角，则底角为$(180° - 40°) ÷ 2 = 70°$，三角形内角度数为$40°,70°,70°$；若40°为底角，则顶角为$180° - 40° × 2 = 100°$，三角形内角度数为$40°,40°,100°$，两种情况的三角形仅一组40°角相等，其余角不对应相等，不相似，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题侧重对相似三角形判定的基础应用考查，解题的关键是准确把握不同三角形的内角特征，尤其要注意等腰三角形中给出的锐角未指明是顶角还是底角时，需分类讨论，避免因考虑不全错选。
【难度系数】
0.7
3.（河北中考）如图，在五边形ABCDE中，$AE // BC$，延长BA、BC，分别交直线DE于点M、N.若添加下列一个条件后，仍无法判定$△ MAE ∽ △ DCN$，则这个条件是 【 】
A.$∠ B + ∠ 4 = 180°$
B.$CD // AB$
C.$∠ 1 = ∠ 4$
D.$∠ 2 = ∠ 3$
A.$∠ B + ∠ 4 = 180°$
B.$CD // AB$
C.$∠ 1 = ∠ 4$
D.$∠ 2 = ∠ 3$
答案
D
解析
【分析】
首先由已知$AE// BC$，结合平行线的性质可得$∠ AEM=∠ N$，即$△ MAE$和$△ DCN$已经有一组对应角相等。根据相似三角形的AA判定定理，只需再找到一组对应角相等即可判定两三角形相似，接下来逐一分析各选项是否能推出另一组对应角相等，即可判断能否判定相似。
【解析】
已知$AE// BN$（$BC$延长至$N$，$BC$与$BN$共线），根据平行线的性质可得$∠ AEM=∠ N$，即$△ MAE$与$△ DCN$已有一组对应角$∠ AEM=∠ DNC$相等。
对各选项逐一分析：
选项A：$\because ∠ B+∠ 4=180°$，又$\because AE// BN$，$\therefore ∠ MAE=∠ B$，代入得$∠ MAE+∠ 4=180°$。$\because ∠ 4+∠ DCN=180°$（邻补角和为$180°$），$\therefore ∠ MAE=∠ DCN$。结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项B：若$CD// AB$，根据平行线的同位角相等可得$∠ M=∠ CDN$，结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项C：若$∠ 1=∠4$，$\because ∠1+∠ MAE=180°$，$∠4+∠ DCN=180°$（邻补角性质），$\therefore ∠ MAE=∠ DCN$，结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项D：若$∠2=∠3$，仅可推出$AE// CD$，无法得到$△ MAE$和$△ DCN$的另一组对应角相等，因此无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、邻补角的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的AA判定定理，解题关键是先根据平行线性质确定一组已相等的对应角，再结合各条件推导角的关系，需要注意邻补角、平行线性质的灵活运用，避免混淆对应角的位置关系。
【难度系数】
0.7
首先由已知$AE// BC$，结合平行线的性质可得$∠ AEM=∠ N$，即$△ MAE$和$△ DCN$已经有一组对应角相等。根据相似三角形的AA判定定理，只需再找到一组对应角相等即可判定两三角形相似，接下来逐一分析各选项是否能推出另一组对应角相等，即可判断能否判定相似。
【解析】
已知$AE// BN$（$BC$延长至$N$，$BC$与$BN$共线），根据平行线的性质可得$∠ AEM=∠ N$，即$△ MAE$与$△ DCN$已有一组对应角$∠ AEM=∠ DNC$相等。
对各选项逐一分析：
选项A：$\because ∠ B+∠ 4=180°$，又$\because AE// BN$，$\therefore ∠ MAE=∠ B$，代入得$∠ MAE+∠ 4=180°$。$\because ∠ 4+∠ DCN=180°$（邻补角和为$180°$），$\therefore ∠ MAE=∠ DCN$。结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项B：若$CD// AB$，根据平行线的同位角相等可得$∠ M=∠ CDN$，结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项C：若$∠ 1=∠4$，$\because ∠1+∠ MAE=180°$，$∠4+∠ DCN=180°$（邻补角性质），$\therefore ∠ MAE=∠ DCN$，结合$∠ AEM=∠ N$，可由AA判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项D：若$∠2=∠3$，仅可推出$AE// CD$，无法得到$△ MAE$和$△ DCN$的另一组对应角相等，因此无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、邻补角的性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的AA判定定理，解题关键是先根据平行线性质确定一组已相等的对应角，再结合各条件推导角的关系，需要注意邻补角、平行线性质的灵活运用，避免混淆对应角的位置关系。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD ⊥ AC$,$DE ⊥ BC$,垂足分别为D、E两点,则图中与$△ ABC$相似的三角形有 【 】
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（第4题）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（第4题）答案
A
解析
【分析】
本题要找出与Rt△ABC相似的三角形，解题思路如下：首先明确相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，△ABC是直角三角形，因此先找出图中所有的直角三角形，再逐一判断它们是否有两个角和△ABC的两个角对应相等即可，注意不要漏算符合条件的三角形。
【解析】
解：已知∠ABC=90°，BD⊥AC，DE⊥BC，可得∠ABC=∠ADB=∠BDC=∠DEB=∠DEC=90°。
① 在△ABD和△ACB中：
∠A是公共角，∠ADB=∠ABC=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似，得△ABD∽△ACB；
② 在△BCD和△BAC中：
∠C是公共角，∠BDC=∠ABC=90°，同理得△BCD∽△BAC；
③ 在△CDE和△CAB中：
∠C是公共角，∠DEC=∠ABC=90°，同理得△CDE∽△CAB；
④ 在△BDE和△BCA中：
∵∠BDE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠C，
又∠DEB=∠ABC=90°，同理得△BDE∽△BCA。
综上，与△ABC相似的三角形共有4个。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查两角对应相等的相似判定方法，解题时需先梳理出所有直角三角形，再借助公共角、同角的余角相等找相等的对应角，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题要找出与Rt△ABC相似的三角形，解题思路如下：首先明确相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，△ABC是直角三角形，因此先找出图中所有的直角三角形，再逐一判断它们是否有两个角和△ABC的两个角对应相等即可，注意不要漏算符合条件的三角形。
【解析】
解：已知∠ABC=90°，BD⊥AC，DE⊥BC，可得∠ABC=∠ADB=∠BDC=∠DEB=∠DEC=90°。
① 在△ABD和△ACB中：
∠A是公共角，∠ADB=∠ABC=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似，得△ABD∽△ACB；
② 在△BCD和△BAC中：
∠C是公共角，∠BDC=∠ABC=90°，同理得△BCD∽△BAC；
③ 在△CDE和△CAB中：
∠C是公共角，∠DEC=∠ABC=90°，同理得△CDE∽△CAB；
④ 在△BDE和△BCA中：
∵∠BDE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠C，
又∠DEB=∠ABC=90°，同理得△BDE∽△BCA。
综上，与△ABC相似的三角形共有4个。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查两角对应相等的相似判定方法，解题时需先梳理出所有直角三角形，再借助公共角、同角的余角相等找相等的对应角，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠ACD，AB=6，AD=3，则AC的长为
$3\sqrt{2}$
。答案
5. $3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，AC平分∠BAD可得到一组相等的角，再结合已知的∠B=∠ACD，可联想到“两角分别相等的两个三角形相似”，证明△ABC和△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
又
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
将AB=6，AD=3代入得：
$\frac{6}{AC}=\frac{AC}{3}$，
交叉相乘得：$AC^2=6×3=18$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是通过已知的等角条件判定三角形相似，再借助相似的性质建立比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发，AC平分∠BAD可得到一组相等的角，再结合已知的∠B=∠ACD，可联想到“两角分别相等的两个三角形相似”，证明△ABC和△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
又
∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
将AB=6，AD=3代入得：
$\frac{6}{AC}=\frac{AC}{3}$，
交叉相乘得：$AC^2=6×3=18$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
角平分线的定义、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题核心是通过已知的等角条件判定三角形相似，再借助相似的性质建立比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6.（常州模拟）如图，在$△ ABC$中，$D$为边$AB$上一点，且$∠ BCD = ∠ A$。若$BC = 2\sqrt{2}$，$AB = 3$，则$AD =$
$\dfrac{1}{3}$
。答案
6. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知角的关系：已知∠BCD=∠A，且∠B是△BCD和△BAC的公共角，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出BD的长度，最后用AB的长度减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
在$△ BCD$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ BCD = ∠ A \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\dfrac{BC}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$
即$BC^2 = BA · BD$
将$BC=2\sqrt{2}$，$AB=3$代入得：
$(2\sqrt{2})^2 = 3 · BD$
解得$BD = \dfrac{8}{3}$
$\therefore AD = AB - BD = 3 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是先通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解线段长，需注意准确匹配相似三角形的对应边，避免比例关系写错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知角的关系：已知∠BCD=∠A，且∠B是△BCD和△BAC的公共角，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出BD的长度，最后用AB的长度减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
在$△ BCD$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ BCD = ∠ A \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\dfrac{BC}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$
即$BC^2 = BA · BD$
将$BC=2\sqrt{2}$，$AB=3$代入得：
$(2\sqrt{2})^2 = 3 · BD$
解得$BD = \dfrac{8}{3}$
$\therefore AD = AB - BD = 3 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是先通过角的等量关系判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解线段长，需注意准确匹配相似三角形的对应边，避免比例关系写错。
【难度系数】
0.7
