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12. 如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2.
（1）求EF的长.
（2）求证：∠BEF=90°.
（第12题）
（1）求EF的长.
（2）求证：∠BEF=90°.
（第12题）答案
12. (1) $\because △ ABE ∽ △ DEF,\therefore \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AE}{DF}. \because AB=6, AE=9, DE=2,\therefore \dfrac{6}{2}=\dfrac{9}{DF}. \therefore DF=3.$ 在矩形$ABCD$中,$∠ D=90°. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
(2) $\because △ ABE ∽ △ DEF,\therefore ∠ ABE=∠ DEF. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ ABE+∠ AEB=90°,\therefore ∠ DEF+∠ AEB=90°. \therefore ∠ BEF=90°$
(2) $\because △ ABE ∽ △ DEF,\therefore ∠ ABE=∠ DEF. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ ABE+∠ AEB=90°,\therefore ∠ DEF+∠ AEB=90°. \therefore ∠ BEF=90°$
解析
【分析】
（1）要求EF的长，观察可知EF在Rt△DEF中，已知DE=2，只需求出DF的长度，即可用勾股定理计算EF。由已知△ABE∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AB、AE、DE的长度即可求出DF，进而求出EF。
（2）要证明∠BEF=90°，已知AD是直线，∠AED为平角等于180°，只需证明∠AEB+∠DEF=90°即可。由相似三角形对应角相等可得∠ABE=∠DEF，再结合Rt△ABE中两锐角互余，即∠ABE+∠AEB=90°，通过角度代换即可得到结论。
【解析】
(1) $\because △ ABE ∽ △ DEF$，$\therefore \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AE}{DF}$。
已知$AB=6$，$AE=9$，$DE=2$，代入得$\dfrac{6}{2}=\dfrac{9}{DF}$，解得$DF=3$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
(2) $\because △ ABE ∽ △ DEF$，$\therefore ∠ ABE=∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=90°$，$\therefore ∠ ABE+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ BEF=180°-(∠ DEF+∠ AEB)=180°-90°=90°$。
【答案】
(1) $\sqrt{13}$；
(2) 可证$∠ BEF=90°$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质的基础综合题，解题关键是合理利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合勾股定理和直角三角形两锐角互余的特点完成计算和证明，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
（1）要求EF的长，观察可知EF在Rt△DEF中，已知DE=2，只需求出DF的长度，即可用勾股定理计算EF。由已知△ABE∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AB、AE、DE的长度即可求出DF，进而求出EF。
（2）要证明∠BEF=90°，已知AD是直线，∠AED为平角等于180°，只需证明∠AEB+∠DEF=90°即可。由相似三角形对应角相等可得∠ABE=∠DEF，再结合Rt△ABE中两锐角互余，即∠ABE+∠AEB=90°，通过角度代换即可得到结论。
【解析】
(1) $\because △ ABE ∽ △ DEF$，$\therefore \dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AE}{DF}$。
已知$AB=6$，$AE=9$，$DE=2$，代入得$\dfrac{6}{2}=\dfrac{9}{DF}$，解得$DF=3$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
(2) $\because △ ABE ∽ △ DEF$，$\therefore ∠ ABE=∠ DEF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ A=90°$，$\therefore ∠ ABE+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ BEF=180°-(∠ DEF+∠ AEB)=180°-90°=90°$。
【答案】
(1) $\sqrt{13}$；
(2) 可证$∠ BEF=90°$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是相似三角形与矩形性质的基础综合题，解题关键是合理利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合勾股定理和直角三角形两锐角互余的特点完成计算和证明，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$AD // EG // BC$，$EG$分别交$AB$、$DB$、$AC$于点$E$、$F$、$G$.若$AD=6$，$BC=10$，$AE=3$，$AB=5$，求$EG$、$FG$的长.
答案
13. 在$△ ABC$中，$\because EG // BC,\therefore \dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}. \because BC=10, AE=3, AB=5,\therefore \dfrac{EG}{10}=\dfrac{3}{5}. \therefore EG=6.$ $\because$ 在$△ BAD$中,$EF // AD$，$\therefore \dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}. \because AD=6, AE=3, AB=5,\therefore \dfrac{EF}{6}=\dfrac{5-3}{5}. \therefore EF=\dfrac{12}{5}. \therefore FG=EG-EF=\dfrac{18}{5}$
解析
【分析】
题目给出多组平行线，求线段长度可利用平行线截三角形得到相似三角形、对应边成比例的性质求解：首先求EG，EG在△ABC中且平行于BC，可通过△AEG与△ABC的相似比例关系直接计算；FG无法直接求解，可先计算EF的长度，EF在△BAD中且平行于AD，通过△BEF与△BAD的相似比例关系算出EF后，用EG减去EF即可得到FG的长度。
【解析】
解：1. 求$EG$的长度：
在$△ ABC$中，$\because EG// BC$，
$\therefore △ AEG ∽ △ ABC$，可得$\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}$。
将$BC=10$，$AE=3$，$AB=5$代入比例式：
$\dfrac{EG}{10}=\dfrac{3}{5}$，解得$EG=6$。
2. 求$EF$的长度：
在$△ BAD$中，$\because EF// AD$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAD$，可得$\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}$。
其中$BE=AB-AE=5-3=2$，将$AD=6$，$BE=2$，$AB=5$代入比例式：
$\dfrac{EF}{6}=\dfrac{2}{5}$，解得$EF=\dfrac{12}{5}$。
3. 求$FG$的长度：
$FG=EG-EF=6-\dfrac{12}{5}=\dfrac{18}{5}$。
【答案】
$EG=6$，$FG=\dfrac{18}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例；2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是结合平行线特征找准对应相似三角形，理清线段的比例关系，分段计算所求线段，是相似章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
题目给出多组平行线，求线段长度可利用平行线截三角形得到相似三角形、对应边成比例的性质求解：首先求EG，EG在△ABC中且平行于BC，可通过△AEG与△ABC的相似比例关系直接计算；FG无法直接求解，可先计算EF的长度，EF在△BAD中且平行于AD，通过△BEF与△BAD的相似比例关系算出EF后，用EG减去EF即可得到FG的长度。
【解析】
解：1. 求$EG$的长度：
在$△ ABC$中，$\because EG// BC$，
$\therefore △ AEG ∽ △ ABC$，可得$\dfrac{EG}{BC}=\dfrac{AE}{AB}$。
将$BC=10$，$AE=3$，$AB=5$代入比例式：
$\dfrac{EG}{10}=\dfrac{3}{5}$，解得$EG=6$。
2. 求$EF$的长度：
在$△ BAD$中，$\because EF// AD$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAD$，可得$\dfrac{EF}{AD}=\dfrac{BE}{AB}$。
其中$BE=AB-AE=5-3=2$，将$AD=6$，$BE=2$，$AB=5$代入比例式：
$\dfrac{EF}{6}=\dfrac{2}{5}$，解得$EF=\dfrac{12}{5}$。
3. 求$FG$的长度：
$FG=EG-EF=6-\dfrac{12}{5}=\dfrac{18}{5}$。
【答案】
$EG=6$，$FG=\dfrac{18}{5}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例；2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是结合平行线特征找准对应相似三角形，理清线段的比例关系，分段计算所求线段，是相似章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，沿折痕$EF$折叠$△ AEF$，使点$A$落在线段$BC$上的点$D$处.
（1）当点$D$是线段$BC$的中点时，求线段$CE$的长；
（2）若$△ DFB$与$△ ACB$相似，求线段$CD$的长.
（1）当点$D$是线段$BC$的中点时，求线段$CE$的长；
（2）若$△ DFB$与$△ ACB$相似，求线段$CD$的长.
答案
14. (1) $\because D$是线段$BC$的中点，$BC=8,\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=4.$ 由折叠可知,$AE=ED=AC-CE=6-CE. \because ∠ C=90°$，$AC=6,\therefore ED^2=CE^2+CD^2,$ 即$(6-CE)^2=CE^2+4^2.$ 解得 $CE=\dfrac{5}{3}$
(2) $\because ∠ C=90°, AC=6, BC=8,\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10.$ $△ DFB$与$△ ACB$相似分两种情况:① $\dfrac{FD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$,则$FD // AC$，$∠ BDF=90°$,如图①所示. 由折叠性质可知,$AF=DF$. 设$AF=DF=x$,则$BF=AB-AF=10-x$. $\because FD // AC,\therefore △ DFB ∽ △ CAB. \therefore \dfrac{DF}{CA}=\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BD}{BC},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{10}.$ 解得$x=\dfrac{15}{4}. \therefore \dfrac{BD}{8}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{6}. \therefore BD=5. \therefore CD=BC-BD=3.$ ② $\dfrac{FD}{BF}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{3}{4}$,则$∠ BFD=90°$,如图②所示,则$△ DFB ∽ △ ACB. \therefore \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{8}.$ 解得$x=\dfrac{30}{7}. \therefore \dfrac{BD}{10}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{6}. \therefore BD=\dfrac{50}{7}. \therefore CD=BC-BD=\dfrac{6}{7}.$ 综上,若$△ DFB$与$△ ACB$相似,则线段$CD$的长为$3$或$\dfrac{6}{7}$
解析
【分析】
（1）第一问先根据线段中点的性质求出CD的长度，再结合折叠的性质得到AE=DE，将DE用含CE的代数式表示，最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
（2）第二问先利用勾股定理求出AB的长度，由于△DFB与△ACB相似未指定对应顶点，需分两种情况讨论：①∠BDF=90°，此时FD平行于AC，结合相似三角形对应边成比例和折叠AF=DF的性质列方程求出DF，再求BD即可得到CD；②∠BFD=90°，同样根据相似三角形对应边成比例列方程求出DF，再求BD，进而得到CD，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
（1）
∵ D是线段BC的中点，$BC=8$，
∴ $CD=\dfrac{1}{2}BC=4$。
由折叠的性质可知，$AE=ED=AC-CE=6-CE$。
∵ $∠C=90°$，在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=CE^2+CD^2$，
代入得$(6-CE)^2=CE^2+4^2$，
展开整理得$12CE=20$，解得$CE=\dfrac{5}{3}$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$△ DFB$与$△ ACB$相似，分两种情况讨论：
① 当$\dfrac{FD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$时，$∠BDF=∠C=90°$，即$FD// AC$，如图①所示。
由折叠性质可知$AF=DF$，设$AF=DF=x$，则$BF=AB-AF=10-x$。
∵ $FD// AC$，
∴ $△ DFB ∽ △ CAB$，
∴ $\dfrac{DF}{CA}=\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BD}{BC}$，即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{10}$，
解得$x=\dfrac{15}{4}$，代入$\dfrac{BD}{8}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{6}$，解得$BD=5$，
∴ $CD=BC-BD=8-5=3$。
② 当$\dfrac{FD}{BF}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{3}{4}$时，$∠BFD=∠C=90°$，如图②所示，此时$△ DFB ∽ △ ACB$。
设$AF=DF=x$，则$BF=10-x$，
由相似性质得$\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}$，即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{8}$，
解得$x=\dfrac{30}{7}$，代入$\dfrac{BD}{10}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{6}$，解得$BD=\dfrac{50}{7}$，
∴ $CD=BC-BD=8-\dfrac{50}{7}=\dfrac{6}{7}$。
综上，若$△ DFB$与$△ ACB$相似，线段$CD$的长为$3$或$\dfrac{6}{7}$。
【答案】
14. (1) $\because D$是线段$BC$的中点，$BC=8,\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=4.$ 由折叠可知,$AE=ED=AC-CE=6-CE. \because ∠ C=90°$，$AC=6,\therefore ED^2=CE^2+CD^2,$ 即$(6-CE)^2=CE^2+4^2.$ 解得 $CE=\dfrac{5}{3}$
(2) $\because ∠ C=90°, AC=6, BC=8,\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10.$ $△ DFB$与$△ ACB$相似分两种情况:① $\dfrac{FD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$,则$FD // AC$，$∠ BDF=90°$,如图①所示. 由折叠性质可知,$AF=DF$. 设$AF=DF=x$,则$BF=AB-AF=10-x$. $\because FD // AC,\therefore △ DFB ∽ △ CAB. \therefore \dfrac{DF}{CA}=\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BD}{BC},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{10}.$ 解得$x=\dfrac{15}{4}. \therefore \dfrac{BD}{8}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{6}. \therefore BD=5. \therefore CD=BC-BD=3.$ ② $\dfrac{FD}{BF}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{3}{4}$,则$∠ BFD=90°$,如图②所示,则$△ DFB ∽ △ ACB. \therefore \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{8}.$ 解得$x=\dfrac{30}{7}. \therefore \dfrac{BD}{10}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{6}. \therefore BD=\dfrac{50}{7}. \therefore CD=BC-BD=\dfrac{6}{7}.$ 综上,若$△ DFB$与$△ ACB$相似,则线段$CD$的长为$3$或$\dfrac{6}{7}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查折叠变换、勾股定理及相似三角形的相关知识，解题时需注意未明确对应顶点的相似三角形要分类讨论，避免漏解，同时方程思想的运用能有效简化线段长度的求解过程。
【难度系数】
0.6
（1）第一问先根据线段中点的性质求出CD的长度，再结合折叠的性质得到AE=DE，将DE用含CE的代数式表示，最后在Rt△CDE中利用勾股定理列方程求解即可。
（2）第二问先利用勾股定理求出AB的长度，由于△DFB与△ACB相似未指定对应顶点，需分两种情况讨论：①∠BDF=90°，此时FD平行于AC，结合相似三角形对应边成比例和折叠AF=DF的性质列方程求出DF，再求BD即可得到CD；②∠BFD=90°，同样根据相似三角形对应边成比例列方程求出DF，再求BD，进而得到CD，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
（1）
∵ D是线段BC的中点，$BC=8$，
∴ $CD=\dfrac{1}{2}BC=4$。
由折叠的性质可知，$AE=ED=AC-CE=6-CE$。
∵ $∠C=90°$，在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=CE^2+CD^2$，
代入得$(6-CE)^2=CE^2+4^2$，
展开整理得$12CE=20$，解得$CE=\dfrac{5}{3}$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$∠C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$△ DFB$与$△ ACB$相似，分两种情况讨论：
① 当$\dfrac{FD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$时，$∠BDF=∠C=90°$，即$FD// AC$，如图①所示。
由折叠性质可知$AF=DF$，设$AF=DF=x$，则$BF=AB-AF=10-x$。
∵ $FD// AC$，
∴ $△ DFB ∽ △ CAB$，
∴ $\dfrac{DF}{CA}=\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BD}{BC}$，即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{10}$，
解得$x=\dfrac{15}{4}$，代入$\dfrac{BD}{8}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{6}$，解得$BD=5$，
∴ $CD=BC-BD=8-5=3$。
② 当$\dfrac{FD}{BF}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{3}{4}$时，$∠BFD=∠C=90°$，如图②所示，此时$△ DFB ∽ △ ACB$。
设$AF=DF=x$，则$BF=10-x$，
由相似性质得$\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}$，即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{8}$，
解得$x=\dfrac{30}{7}$，代入$\dfrac{BD}{10}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{6}$，解得$BD=\dfrac{50}{7}$，
∴ $CD=BC-BD=8-\dfrac{50}{7}=\dfrac{6}{7}$。
综上，若$△ DFB$与$△ ACB$相似，线段$CD$的长为$3$或$\dfrac{6}{7}$。
【答案】
14. (1) $\because D$是线段$BC$的中点，$BC=8,\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=4.$ 由折叠可知,$AE=ED=AC-CE=6-CE. \because ∠ C=90°$，$AC=6,\therefore ED^2=CE^2+CD^2,$ 即$(6-CE)^2=CE^2+4^2.$ 解得 $CE=\dfrac{5}{3}$
(2) $\because ∠ C=90°, AC=6, BC=8,\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10.$ $△ DFB$与$△ ACB$相似分两种情况:① $\dfrac{FD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$,则$FD // AC$，$∠ BDF=90°$,如图①所示. 由折叠性质可知,$AF=DF$. 设$AF=DF=x$,则$BF=AB-AF=10-x$. $\because FD // AC,\therefore △ DFB ∽ △ CAB. \therefore \dfrac{DF}{CA}=\dfrac{BF}{BA}=\dfrac{BD}{BC},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{10}.$ 解得$x=\dfrac{15}{4}. \therefore \dfrac{BD}{8}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{6}. \therefore BD=5. \therefore CD=BC-BD=3.$ ② $\dfrac{FD}{BF}=\dfrac{CA}{BC}=\dfrac{3}{4}$,则$∠ BFD=90°$,如图②所示,则$△ DFB ∽ △ ACB. \therefore \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA},$ 即$\dfrac{x}{6}=\dfrac{10-x}{8}.$ 解得$x=\dfrac{30}{7}. \therefore \dfrac{BD}{10}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{6}. \therefore BD=\dfrac{50}{7}. \therefore CD=BC-BD=\dfrac{6}{7}.$ 综上,若$△ DFB$与$△ ACB$相似,则线段$CD$的长为$3$或$\dfrac{6}{7}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查折叠变换、勾股定理及相似三角形的相关知识，解题时需注意未明确对应顶点的相似三角形要分类讨论，避免漏解，同时方程思想的运用能有效简化线段长度的求解过程。
【难度系数】
0.6
