8. 如图，$△ ABC ∽ △ ACD$.
(1) 若CD平分$∠ ACB$，$∠ ACD = 40°$，求$∠ ADC$的度数；
(2) 若$AD = 2$，$BD = 3$，求$AC$的长.
（第8题）

(1) $\because △ ABC ∽ △ ACD,\therefore ∠ B=∠ ACD=40°.$ 又$\because CD$平分$∠ ACB,\therefore ∠ BCD=∠ ACD=40°. \therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BCD=80°$
(2) $\because △ ABC ∽ △ ACD,\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}. \therefore \dfrac{AC}{AD+DB}=\dfrac{AD}{AC}. \therefore \dfrac{AC}{5}=\dfrac{2}{AC}. \therefore AC= \sqrt{10}$ 或$AC= -\sqrt{10}$(舍去负值)

【分析】
(1) 解题思路：首先利用相似三角形对应角相等的性质，得到∠B与∠ACD相等，再结合角平分线的定义得到∠BCD的度数，最后根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质计算∠ADC的度数。
(2) 解题思路：先根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于AC、AB、AD的比例式，再将AB=AD+BD代入比例式，通过解方程求出AC的长度，注意线段长度为正数，舍去负解。
【解析】
(1) $\because △ ABC ∽ △ ACD,\therefore ∠ B=∠ ACD=40°.$
又$\because CD$平分$∠ ACB,\therefore ∠ BCD=∠ ACD=40°$.
根据三角形外角的性质，$∠ ADC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BCD=40°+40°=80°$.
(2) $\because △ ABC ∽ △ ACD,\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$.
$\because AB=AD+DB=2+3=5$，代入比例式得：$\dfrac{AC}{5}=\dfrac{2}{AC}$，
整理得$AC^2=10$，解得$AC= \sqrt{10}$ 或$AC= -\sqrt{10}$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore$舍去负值，即$AC=\sqrt{10}$.
【答案】
(1) $∠ ADC=80°$；(2) $AC=\sqrt{10}$
【知识点】
相似三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角定理
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是准确找到相似三角形的对应角、对应边，结合角平分线、三角形外角和比例运算的知识即可求解，需要注意求解线段长度时要舍去不符合实际意义的负解。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在矩形ABCD中,CE=2DE,点P在边BC上,且恰好存在点P使△ABP与△PCE相似.若AB=3,BC=5,则BP长为 【 】

A.2
B.3
C.2或3
D.3或4

C

【分析】
首先根据矩形性质和已知CE=2DE求出CE的长度，设BP的长为x，则PC可表示为5-x。由于△ABP与△PCE的对应顶点未明确给出，且两个三角形均为直角三角形（∠B=∠C=90°），因此需要分两种情况讨论相似的对应关系，根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴CD=AB=3，∠B=∠C=90°，
∵CE=2DE，CD=DE+CE=3，
∴CE=2。
设BP=x，则PC=BC-BP=5-x，分两种情况讨论：
1. 当△ABP∽△PCE时，对应边成比例：$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CE}$，
代入数值得：$\frac{3}{5-x}=\frac{x}{2}$，
整理得：$x^2-5x+6=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，均满足$0＜x＜5$，符合题意；
2. 当△ABP∽△ECP时，对应边成比例：$\frac{AB}{CE}=\frac{BP}{PC}$，
代入数值得：$\frac{3}{2}=\frac{x}{5-x}$，
解得：$x=3$，与上述解重复。
综上，BP的长为2或3。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确相似三角形对应顶点不确定时需分类讨论，结合直角相等的条件，分两种对应关系列方程求解，同时要注意检验解是否符合实际的线段长度要求，避免出现增根或漏解的情况。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$□ ABCD$中,连结AC,在CD的延长线上取一点E,连结BE,分别交AC和AD于点G和点F,则下列结论中错误的是 【 】

A.$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{CD}{EC}$
B.$\dfrac{FG}{BG}=\dfrac{BG}{GE}$
C.$\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{CD}{EC}$
D.$\dfrac{GC}{AG}=\dfrac{CD}{DE}$

D

【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，找到图中各组相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质，逐一验证四个选项中的比例式是否成立即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD（即AB//CE），AD//BC，AB=CD，AD=BC
A选项：
∵AB//CE，
∴△ABG∽△CEG
∴$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{AB}{EC}$，又
∵AB=CD，
∴$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{CD}{EC}$，A结论正确。
B选项：
∵AD//BC，
∴△AFG∽△CBG，
∴$\dfrac{FG}{BG}=\dfrac{AG}{GC}$
由△ABG∽△CEG得$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{BG}{GE}$，等量代换得$\dfrac{FG}{BG}=\dfrac{BG}{GE}$，B结论正确。
C选项：由△AFG∽△CBG得$\dfrac{AF}{BC}=\dfrac{AG}{GC}$，又
∵BC=AD，结合A中$\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{CD}{EC}$
∴$\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{CD}{EC}$，C结论正确。
D选项：由△ABG∽△CEG得$\dfrac{GC}{AG}=\dfrac{EC}{AB}=\dfrac{EC}{CD}$，无推导可证明$\dfrac{EC}{CD}=\dfrac{CD}{DE}$，故$\dfrac{GC}{AG}=\dfrac{CD}{DE}$不成立，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，解题的关键是准确找出平行线截得的相似三角形，注意比例式中对应边的匹配，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.6

11. 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$BC=4$，以$AC$为边作$△ ACD$，使得$∠ ACD=90°$。若$△ ABC$与$△ ACD$相似，则$CD$的长为________。

$\dfrac{15}{4}$或$\dfrac{20}{3}$

【分析】
首先在Rt△ABC中，利用勾股定理先求出AB的长度；由于△ABC与△ACD相似但未给出对应顶点顺序，且两个三角形均为直角三角形，直角为固定对应角，因此需分两种对应情况讨论，根据相似三角形对应边成比例分别列算式计算CD的长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
$\because △ ABC$与$△ ACD$均为直角三角形，$∠ ABC=∠ ACD=90°$，相似未指定对应关系，因此分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ ACD$时，对应边成比例：
$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CD}$
代入$AB=3$，$AC=5$，$BC=4$得：
$\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{CD}$，解得$CD=\dfrac{20}{3}$
2. 当$△ ABC ∽ △ DCA$时，对应边成比例：
$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{CD}$
代入$AB=3$，$AC=5$，$BC=4$得：
$\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{CD}$，解得$CD=\dfrac{15}{4}$
综上，$CD$的长为$\dfrac{15}{4}$或$\dfrac{20}{3}$。
【答案】
$\dfrac{15}{4}$或$\dfrac{20}{3}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题关键是明确未给出对应顶点的相似三角形需分情况讨论，易错点是忽略相似的多种对应情况导致漏解。
【难度系数】
0.6