7. 如图，$∠ A = ∠ D$，$AC // DF$，求证：$△ ABC ∽ △ DEF$. （第7题）

$\because AC // DF, \therefore ∠ ACB = ∠ DFE$. 又 $\because ∠ A = ∠ D$, $\therefore △ ABC ∽ △ DEF$

【分析】
要证明△ABC∽△DEF，首先观察已知条件：已经给出一组对应角相等∠A=∠D，结合相似三角形的判定定理，只要再找到另一组对应角相等即可完成证明。题中给出AC//DF，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可推出∠ACB=∠DFE，此时满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ AC // DF，
∴ ∠ACB = ∠DFE（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A = ∠D（已知），
∴ △ABC ∽ △DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
∵ AC // DF,
∴ ∠ACB = ∠DFE. 又
∵ ∠A = ∠D,
∴ △ABC ∽ △DEF
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类证明题，核心考察平行线性质与相似三角形判定的综合应用，掌握基础定理、明确对应角的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

8. 如图，$CA ⊥ AD$，$ED ⊥ AD$，$B$是线段$AD$上的一点，$CB ⊥ BE$，且$AB=8$，$AC=6$，$DE=4$.
（1）求证：$△ ABC ∽ △ DEB$.
（2）求线段$BD$的长.

(1) $\because CA ⊥ AD, ED ⊥ AD, CB ⊥ BE, \therefore ∠ A = ∠ CBE = ∠ D = 90°. \therefore ∠ C + ∠ CBA = 90°, ∠ CBA + ∠ DBE = 90°. \therefore ∠ C = ∠ DBE. \therefore △ ABC ∽ △ DEB$
(2) $\because △ ABC ∽ △ DEB, \therefore \dfrac{AC}{DB} = \dfrac{AB}{DE}. \therefore \dfrac{6}{BD} = \dfrac{8}{4}. \therefore BD = 3$

【分析】
（1）要证明△ABC∽△DEB，首先根据已知的垂直条件可得到两个三角形都有直角，即∠A=∠D=90°，只需再推导一组对应锐角相等即可。由CB⊥BE可得∠CBE=90°，结合平角定义可知∠CBA+∠DBE=90°，再结合Rt△ABC中∠C+∠CBA=90°，利用同角的余角相等就能推出∠C=∠DBE，满足两角对应相等的相似判定条件，即可得证。
（2）已经证得两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长列比例式，解方程即可求出BD的长度。
【解析】
（1）证明：$\because CA ⊥ AD, ED ⊥ AD, CB ⊥ BE$，
$\therefore ∠ A = ∠ CBE = ∠ D = 90°$，
$\therefore ∠ C + ∠ CBA = 90°, ∠ CBA + ∠ DBE = 180°-∠CBE=90°$，
$\therefore ∠ C = ∠ DBE$（同角的余角相等），
$\therefore △ ABC ∽ △ DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：$\because △ ABC ∽ △ DEB$，
$\therefore$ 相似三角形对应边成比例，即$\dfrac{AC}{DB} = \dfrac{AB}{DE}$，
将$AC=6,AB=8,DE=4$代入得：$\dfrac{6}{BD} = \dfrac{8}{4}$，
解得$BD=3$。
【答案】
（1）△ABC∽△DEB得证；（2）$\boldsymbol{BD=3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题关键是利用垂直关系推导角的等量关系，判定三角形相似后要准确对应边列比例式，是相似三角形判定和性质的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,连结EF、FD、DE.若$EF ⊥ DE$,则图中①②③④四个三角形一定相似的是 【 】

A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④

C

【分析】
解题时首先结合已知条件提取几何性质：矩形的四个内角均为直角，已知EF⊥DE可得∠FED=90°。要判断三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理（AA）。先观察四个三角形，③和④均为直角三角形，已有一组直角相等，只需再找一组锐角相等即可。利用“同角的余角相等”推导两个锐角相等，即可证明相似；其余组合没有足够的角相等条件，无法判定一定相似。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
在Rt△BEF中，根据直角三角形两锐角互余，得：$∠ BEF + ∠ BFE = 90°$，
∵$EF ⊥ DE$，
∴$∠ DEF = 90°$，
∴$∠ BEF + ∠ CED = 180° - ∠ DEF = 90°$，
∴$∠ BFE = ∠ CED$（同角的余角相等），
在△BEF（对应③）和△CDE（对应④）中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ C = 90° \\∠ BFE = ∠ CED\end{cases}$
∴$△ BEF ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似），即③和④一定相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，余角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是结合矩形的直角性质和垂直条件，利用同角的余角相等推导对应角相等，再用AA判定定理证明相似，考察学生对基础判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图，M为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，$∠ CMD = ∠ A = ∠ B$，BC与MD相交于点F，AD与MC相交于点G，则图中相似三角形有 【 】

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

B

【分析】
要解决这道题，我们用到相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。已知条件给出∠CMD=∠A=∠B，我们可以结合三角形内角和为180°、公共角相等的性质，逐一推导有两组角对应相等的三角形，找的时候要有序排查，做到不重复不遗漏。首先先验证存在已知等角且有公共角的三角形，再验证可以通过平角、内角和性质推导另一组等角的三角形即可。
【解析】
我们逐一推导相似三角形：
1. △AMG ∽ △BFM
在△AMG中，根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ AGM + ∠ AMG = 180°$；
在平角$∠ AMB$中：$∠ AMG + ∠ CMD + ∠ BMF = 180°$，
已知$∠ A=∠ CMD$，因此$∠ AGM=∠ BMF$，
又$\because ∠ A=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ AMG ∽ △ BFM$。
2. △DGM ∽ △DMA
$∠ D$是$△ DGM$和$△ DMA$的公共角，
已知$∠ GMD=∠ CMD=∠ A$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ DGM ∽ △ DMA$。
3. △CFM ∽ △CMB
$∠ C$是$△ CFM$和$△ CMB$的公共角，
已知$∠ CMF=∠ CMD=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ CFM ∽ △ CMB$。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定（两角法）；2. 三角形内角和定理
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定规则，结合已知等角、公共角以及角度和的关系推导对应角相等，找相似三角形时要注意有序排查，避免漏找或多找。
【难度系数】
0.6

11. 如图，点E、F、G分别在正方形ABCD的边AB、BC、AD上，AF⊥EG.若AB=5，AE=DG=1，则BF的长为.

11. $\dfrac{5}{4}$

【分析】
解题思路如下：首先利用正方形的性质得到边长和内角为直角的条件，计算AG的长度；再根据AF⊥EG推出同角的余角相等，得到两组对应角相等，证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，计算出BF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=5，∠B=∠BAD=90°，
∵DG=1，
∴AG=AD-DG=5-1=4，
∵AF⊥EG，
∴∠AEG + ∠BAF = 90°，
又
∵∠AEG + ∠AGE = 90°，
∴∠BAF=∠AGE，
又
∵∠B=∠GAE=90°，
∴△ABF∽△GAE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{GA}=\frac{BF}{AE}$，
将AB=5，GA=4，AE=1代入得：$\frac{5}{4}=\frac{BF}{1}$，
解得BF=$\frac{5}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是结合正方形性质的相似三角形应用基础题，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，从而证明三角形相似，再借助相似的比例性质求解未知线段，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7