12. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, D是边AB上一点,连结CD, $CD=CB$,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于点E.求证:$△ ADE ∽ △ ABC.$

$\because D$ 是边 $AB$ 上一点, $CD=CB, \therefore ∠ B = ∠ CDB$. 又 $\because ∠ CDB = ∠ ADE, \therefore ∠ ADE = ∠ B$. $\because$ 过点 $A$ 作 $CD$ 的垂线, 交 $CD$ 的延长线于点 $E, \therefore AE ⊥ CE. \therefore ∠ E = 90°. \because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ E = ∠ ACB. \therefore △ ADE ∽ △ ABC$

【分析】
要证明两个三角形相似，优先考虑使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先找第一组相等的角：已知$∠ ACB=90°$，由$AE$垂直$CE$可得$∠ E=90°$，得到一组相等的直角。接下来找第二组相等的角：已知$CD=CB$，根据等腰三角形两底角相等可得$∠ B=∠ CDB$，再结合$∠ CDB$和$∠ ADE$是对顶角、二者相等，即可推出$∠ ADE=∠ B$，两组对应角分别相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
$\because$ D是边AB上一点，$CD=CB$，
$\therefore ∠ B = ∠ CDB$。
又$\because ∠ CDB = ∠ ADE$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$。
$\because$ 过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，
$\therefore AE ⊥ CE$，
$\therefore ∠ E = 90°$。
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ E = ∠ ACB$。
在$△ ADE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ B \\∠ E=∠ ACB\end{cases}$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
【答案】
$△ ADE ∽ △ ABC$
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查相似三角形的判定方法，解题时需要结合等腰三角形、对顶角的性质找到两组对应相等的角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13.（湘潭期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB=∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC=9 cm，BE=16 cm，求DE的长.

(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore ∠ A = ∠ C$. 又 $\because ∠ EDB = ∠ C, \therefore ∠ EAD = ∠ EDB$. 又 $\because ∠ AED = ∠ DEB, \therefore △ ADE ∽ △ DBE$
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $DC=9\ \mathrm{cm}, \therefore AB = DC = 9\ \mathrm{cm}$. 又 $\because BE=16\ \mathrm{cm}, \therefore AE = AB + BE = 9 + 16 = 25\ (\mathrm{cm})$. 由(1)可知, $△ ADE ∽ △ DBE. \therefore \dfrac{AE}{DE} = \dfrac{DE}{BE}, 即 \dfrac{25}{DE} = \dfrac{DE}{16}. \therefore DE = 20\ \mathrm{cm}$

【分析】
（1）要证明△ADE∽△DBE，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据平行四边形对角相等的性质得∠A=∠C，结合已知∠EDB=∠C，可等量代换得到∠A=∠EDB；两个三角形有公共角∠E，即可满足相似的判定条件。
（2）要求DE的长，首先利用平行四边形对边相等的性质，由DC的长度得到AB的长度，进而求出AE的长度；再借助（1）中得到的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于DE的比例式求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C。
又
∵∠EDB = ∠C，
∴∠A = ∠EDB。
在△ADE和△DBE中：
$\begin{cases}∠A = ∠EDB \\∠AED = ∠DEB \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴△ADE∽△DBE（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，DC=9 cm，
∴AB = DC = 9 cm。
∵BE=16 cm，
∴AE = AB + BE = 9 + 16 = 25 cm。
由（1）知△ADE∽△DBE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{BE}$，
代入AE=25 cm，BE=16 cm得：
$\frac{25}{DE}=\frac{DE}{16}$，
∴$DE^2=25×16=400$，
∵DE为线段长度，取正值，
∴DE=20 cm。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行四边形的性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关定理，通过等量代换找到相等的角证明相似，再利用相似的比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.7

14. 如图，$△ ABC$ 和$△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形，$∠ BAC = ∠ PDE = 90°$.
(1) 若将$△ DEP$ 的顶点 $P$ 放在 $BC$ 上(如图①)，$PD$、$PE$ 分别与 $AC$、$AB$ 相交于点 $F$、$G$，求证：$△ PBG ∽ △ FCP$.
(2) 若使$△ DEP$ 的顶点 $P$ 与顶点 $A$ 重合(如图②)，$PD$、$PE$ 与 $BC$ 相交于点 $F$、$G$，试问：$△ PBG$ 与$△ FCP$ 仍相似吗？为什么？

14.
(1) 如图①, $\because △ ABC$、$△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形, $\therefore ∠ B = ∠ C = ∠ DPE = 45°. \therefore ∠ BPG + ∠ CPF = 135°$. 在 $△ PBG$ 中, $\because ∠ B = 45°, \therefore ∠ BPG + ∠ BGP = 135°. \therefore ∠ BGP = ∠ CPF$. 又 $\because ∠ B = ∠ C, \therefore △ PBG ∽ △ FCP$
(2) $△ PBG$ 与 $△ FCP$ 仍相似. 理由如下:如图②, $\because △ ABC$、$△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形, $\therefore ∠ B = ∠ C = ∠ DPE = 45°. \because ∠ BGP = ∠ C + ∠ CPG = 45° + ∠ CPG$, $∠ CPF = ∠ FPG + ∠ CPG = 45° + ∠ CPG, \therefore ∠ AGB = ∠ FPC$. 又 $\because ∠ B = ∠ C, \therefore △ PBG ∽ △ FCP$

【分析】
(1) 要证明△PBG∽△FCP，首先根据全等等腰直角三角形的性质，可得∠B=∠C=∠DPE=45°，结合相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，只需再推导一组对应角相等即可。利用平角定义可得出∠BPG+∠CPF=135°，再结合三角形内角和定理，在△PBG中可得∠BPG+∠BGP=135°，通过等量代换就能得到相等的对应角，完成证明。
(2) 判断两三角形是否仍相似，仍然从角的等量关系入手，利用三角形外角的性质分别表示出∠BGP和∠CPF，可推出两个角相等，再结合∠B=∠C的已知条件，即可判断两三角形仍然相似。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
∴∠BPG + ∠CPF = 180° - ∠DPE = 135°。
在△PBG中，∠B=45°，
∴∠BPG + ∠BGP = 180° - ∠B = 135°，
∴∠BGP = ∠CPF，
又
∵∠B = ∠C，
∴△PBG∽△FCP。
(2) △PBG与△FCP仍相似，理由如下：
∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DPE=45°，
∵∠BGP是△PGC的外角，
∴∠BGP = ∠C + ∠CPG = 45° + ∠CPG，
又
∵∠CPF = ∠FPG + ∠CPG = 45° + ∠CPG，
∴∠BGP = ∠CPF，
又
∵∠B = ∠C，
∴△PBG∽△FCP。
【答案】

【知识点】
等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题型，核心是结合等腰直角三角形的角的特征，通过等量代换推导对应角相等，即使图形发生动态变换，只要抓住角之间的数量关系就能顺利解题，能有效锻炼几何问题中角的关系推导能力。
【难度系数】
0.7