三、解答题
11. 某幢建筑物，从$\frac{20}{3}$ m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，，如果抛物线的最高点M离墙2 m，离地面12 m，求水流落地点B到墙的距离OB.

11. 根据题意,得顶点 M 的坐标为(2,12),则可设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+12$,把点$A(0,\frac{20}{3})$代入抛物线表达式,得$\frac{20}{3}=4a+12$,解得$a=-\frac{4}{3}$.
故抛物线的表达式为$y=-\frac{4}{3}(x-2)^2+12$.
令$y=0$,则$-\frac{4}{3}(x-2)^2+12=0$,解得$x_1=-1$(舍去),$x_2=5$,即可得$OB=5\ \mathrm{m}$.
故水流落地点 B 到墙的距离 OB 为 5 m.

12. 如图,抛物线 $y=a(x-2)^2+3$($a$为常数,且$a≠0$)与$y$轴交于点$A(0,\dfrac{5}{3})$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若直线 $y=kx+\dfrac{2}{3}$($k≠0$)与抛物线有两个交点,交点的横坐标分别为$x_1$、$x_2$,当 $x_1^2+x_2^2=10$时,求$k$的值.

12. (1)$\because$ 抛物线 $y=a(x-2)^2+3$($a$ 为常数,且 $a≠0$)与 $y$ 轴交于点$A(0,\frac{5}{3}),\therefore 4a+3=\frac{5}{3},a=-\frac{1}{3}$.
$\therefore$该抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$.
(2)$\because$ 直线 $y=kx+\frac{2}{3}(k≠0)$与抛物线有两个交点,
$\therefore \begin{cases} y=kx+\dfrac{2}{3},\\ y=-\dfrac{1}{3}(x-2)^2+3, \end{cases}$ 整理,得$x^2+(3k-4)x-3=0$,
$\therefore x_1+x_2=4-3k,x_1· x_2=-3$,
$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(4-3k)^2+6=10$.
解得 $k=\frac{2}{3}$ 或 $k=2$,$\therefore k$ 的值为 2 或 $\frac{2}{3}$.

13. 已知点$P(m,n)$在抛物线$y=a(x-1)^2+3$($a$为常数，$a≠0$)上.
(1)若$m=2,n=4$,
①求抛物线的表达式；
②若点$A(t-1,y_1)$、$B(t,y_2)$在该二次函数的图像上，且点$A$在对称轴左侧，点$B$在对称轴右侧，若$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围；
(2)若$-1≤m≤0$时，总有$n≥-2$，且当$3≤m＜4$时，总有$n≤-2$，求$a$的值.

13. (1)①将点 $P(2,4)$ 代入 $y=a(x-1)^2+3$,
得 $a+3=4$,解得 $a=1$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=(x-1)^2+3$.
②抛物线 $y=(x-1)^2+3$ 的对称轴为直线 $x=1$,
根据题意,得$\begin{cases} t-1＜1,\\ t＞1,\\ 1-(t-1)＜t-1, \end{cases}$ 解得 $\frac{3}{2}＜t＜2$.
(2)当 $a＞0$ 时,$y≥3$,与题意不符,$\therefore a＜0$.
$\therefore$ 抛物线 $y=a(x-1)^2+3$ 开口向下,对称轴为直线 $x=1$.
$\therefore$ 当 $x≤1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;当 $x≥1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $m=-1$ 时,$n=-2$.
将 $P(-1,-2)$ 代入 $y=a(x-1)^2+3$,
得 $-2=4a+3$,解得 $a=-\frac{5}{4}$.