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11.「2026江苏镇江京口期中，★☆」如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$，那么我们称这个方程为“快乐”方程。已知$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是“快乐”方程，且$a=c$，则下列结论正确的是（
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定方程根的情况
B
）A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根
D.无法确定方程根的情况
答案
11.B $\because ax^2+bx+c=0(a≠0)$是“快乐”方程,$\therefore a+b+c=0,$
$\therefore b=-a-c,\because a=c,\therefore b=-2a,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2a)^2-4a· a=0,\therefore$ 方程有两个相等的实数根.故选 B.
$\therefore b=-a-c,\because a=c,\therefore b=-2a,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2a)^2-4a· a=0,\therefore$ 方程有两个相等的实数根.故选 B.
解析
【分析】
本题属于新定义题型，解题思路如下：首先准确理解“快乐”方程的定义，得到a+b+c=0的关系；再结合题目给出的a=c的条件，将b用含a的代数式表示；最后将b、c都用a表示后代入一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况即可。
【解析】
∵$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是“快乐”方程，
∴根据“快乐”方程的定义可得：$a+b+c=0$，变形得$b=-a-c$。
又
∵$a=c$，
∴代入得$b=-a-a=-2a$。
计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2a)^2-4a·a=4a^2-4a^2=0$，
∴方程有两个相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 新定义问题
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是正确理解新定义的规则，结合已知条件消去多余参数，通过计算根的判别式即可判断方程根的情况。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义题型，解题思路如下：首先准确理解“快乐”方程的定义，得到a+b+c=0的关系；再结合题目给出的a=c的条件，将b用含a的代数式表示；最后将b、c都用a表示后代入一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况即可。
【解析】
∵$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是“快乐”方程，
∴根据“快乐”方程的定义可得：$a+b+c=0$，变形得$b=-a-c$。
又
∵$a=c$，
∴代入得$b=-a-a=-2a$。
计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2a)^2-4a·a=4a^2-4a^2=0$，
∴方程有两个相等的实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 新定义问题
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是正确理解新定义的规则，结合已知条件消去多余参数，通过计算根的判别式即可判断方程根的情况。
【难度系数】
0.8
12.「2026江苏无锡宜兴期中，★☆」对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法：
①若$a+b+c=0$，则$b^2-4ac＞0$；②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根；③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立；④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$。其中正确的是（
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①若$a+b+c=0$，则$b^2-4ac＞0$；②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根；③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立；④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$。其中正确的是（
D
）A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
12.D ①$\because a+b+c=0,\therefore x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解,即方程有解,$\therefore b^2-4ac≥0,$①错误;②方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根,则$-4ac＞0,$即$4ac＜0,$则方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$b^2-4ac＞0,\therefore$ 方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根,②正确;③若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则$ac^2+bc+c=0,\therefore c(ac+b+1)=0,\therefore c=0$或$ac+b+1=0,$故③错误;④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则$x_0=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,则$2ax_0+b=\sqrt{b^2-4ac}$或$-\sqrt{b^2-4ac}$,即$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故④正确.故选 D.
解析
【分析】
我们需要逐一判断4个说法的正误，结合一元二次方程相关知识分析：①由a+b+c=0可知x=1是方程的根，方程有实根时判别式≥0，并非一定大于0，可判断①错误；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得出$-4ac＞0$，再代入$ax^2+bx+c=0$的判别式$b^2-4ac$，结合$b^2≥0$可推出判别式大于0，即可判断②正确；③把x=c代入方程，提取公因式c后要考虑c=0的情况，并非一定得到$ac+b+1=0$，可判断③错误；④利用一元二次方程求根公式表示出$x_0$，变形后两边平方即可验证等式成立，可判断④正确，最终选出正确选项。
【解析】
①若$a+b+c=0$，则x=1是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根，说明方程有实根，因此判别式$b^2-4ac≥0$，故①错误；
②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则其判别式$\Delta=0^2-4ac=-4ac＞0$，即$4ac＜0$，那么方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta'=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta'=b^2-4ac＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，故②正确；
③若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，代入得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，因此$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$成立，故③错误；
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，由求根公式得$x_0=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，变形得$2ax_0+b=±\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方可得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，故④正确。
综上，②④正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、根的判别式、求根公式
【点评】
本题是一元二次方程相关概念的辨析题，解题的关键是熟练掌握根的意义、判别式取值和方程根的个数的关系，做题时要注意特殊值、判别式等于0的特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
我们需要逐一判断4个说法的正误，结合一元二次方程相关知识分析：①由a+b+c=0可知x=1是方程的根，方程有实根时判别式≥0，并非一定大于0，可判断①错误；②先由方程$ax^2+c=0$有两个不等实根得出$-4ac＞0$，再代入$ax^2+bx+c=0$的判别式$b^2-4ac$，结合$b^2≥0$可推出判别式大于0，即可判断②正确；③把x=c代入方程，提取公因式c后要考虑c=0的情况，并非一定得到$ac+b+1=0$，可判断③错误；④利用一元二次方程求根公式表示出$x_0$，变形后两边平方即可验证等式成立，可判断④正确，最终选出正确选项。
【解析】
①若$a+b+c=0$，则x=1是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根，说明方程有实根，因此判别式$b^2-4ac≥0$，故①错误；
②若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则其判别式$\Delta=0^2-4ac=-4ac＞0$，即$4ac＜0$，那么方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta'=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，$-4ac＞0$，所以$\Delta'=b^2-4ac＞0$，因此方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根，故②正确；
③若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，代入得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，因此$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$成立，故③错误；
④若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，由求根公式得$x_0=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，变形得$2ax_0+b=±\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方可得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，故④正确。
综上，②④正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、根的判别式、求根公式
【点评】
本题是一元二次方程相关概念的辨析题，解题的关键是熟练掌握根的意义、判别式取值和方程根的个数的关系，做题时要注意特殊值、判别式等于0的特殊情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.7
13.「2025江苏南京师大附中宿迁分校一模，★☆」在平面直角坐标系中，若点P的坐标为$(m,n)$，则称关于x的方程$x^2+mx+n=0$为点P的对应方程。已知点$A(1,1)$，$B(-2,4)$，则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
A
）A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案
13.A 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b,\therefore \begin{cases}k+b=1,\\-2k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=-x+2,$设线段$AB$上任意一点的坐标为$(a,-a+2),\therefore$ 这个点的对应方程为$x^2+ax+(-a+2)=0,\therefore \Delta=a^2-4×1×(-a+2)=a^2+4a-8=(a+2)^2-12,\because -2≤ a≤1,\therefore 0≤ a+2≤3,\therefore 0≤(a+2)^2≤9,\therefore -12≤(a+2)^2-12≤-3,\therefore -12≤\Delta≤-3,$即$\Delta＜0,\therefore$ 线段$AB$上任意点的对应方程都没有实数根,故选 A.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，要判断线段AB上任意点的对应方程的实数根个数，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ的正负判断。解题思路如下：第一步先求出直线AB的解析式，得到线段AB上点的横、纵坐标的关系；第二步设线段AB上任意一点的横坐标为a，结合解析式写出对应点坐标，得到该点的对应方程；第三步计算方程的判别式Δ，结合线段上横坐标a的取值范围，判断Δ的正负，即可得出实根个数。
【解析】
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-x+2$。
线段AB上点的横坐标取值范围为$-2≤ a≤1$，设线段AB上任意一点的坐标为$(a,-a+2)$，则该点的对应方程为$x^2+ax+(-a+2)=0$。
计算方程的判别式：
$\Delta=a^2-4×1×(-a+2)=a^2+4a-8=(a+2)^2-12$
$\because -2≤ a≤1$，$\therefore 0≤ a+2≤3$，可得$0≤(a+2)^2≤9$，因此$-12≤(a+2)^2-12≤-3$，即$\Delta＜0$。
因此线段AB上任意点的对应方程都没有实数根。
【答案】
A
【知识点】
一次函数解析式确定，一元二次方程根的判别式，配方法应用
【点评】
本题结合新定义考查了一次函数与一元二次方程的综合应用，解题关键是理解新定义的规则，准确求出线段所在直线的解析式，计算判别式范围时要注意线段上点的横坐标的取值限制，避免范围计算错误。
【难度系数】
0.7
本题为新定义类题型，要判断线段AB上任意点的对应方程的实数根个数，核心是利用一元二次方程根的判别式Δ的正负判断。解题思路如下：第一步先求出直线AB的解析式，得到线段AB上点的横、纵坐标的关系；第二步设线段AB上任意一点的横坐标为a，结合解析式写出对应点坐标，得到该点的对应方程；第三步计算方程的判别式Δ，结合线段上横坐标a的取值范围，判断Δ的正负，即可得出实根个数。
【解析】
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$B(-2,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=1\\-2k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=-x+2$。
线段AB上点的横坐标取值范围为$-2≤ a≤1$，设线段AB上任意一点的坐标为$(a,-a+2)$，则该点的对应方程为$x^2+ax+(-a+2)=0$。
计算方程的判别式：
$\Delta=a^2-4×1×(-a+2)=a^2+4a-8=(a+2)^2-12$
$\because -2≤ a≤1$，$\therefore 0≤ a+2≤3$，可得$0≤(a+2)^2≤9$，因此$-12≤(a+2)^2-12≤-3$，即$\Delta＜0$。
因此线段AB上任意点的对应方程都没有实数根。
【答案】
A
【知识点】
一次函数解析式确定，一元二次方程根的判别式，配方法应用
【点评】
本题结合新定义考查了一次函数与一元二次方程的综合应用，解题关键是理解新定义的规则，准确求出线段所在直线的解析式，计算判别式范围时要注意线段上点的横坐标的取值限制，避免范围计算错误。
【难度系数】
0.7
14.「2026江苏宿迁沭阳怀文中学月考，★☆」我们规定:对于任意实数$a,b,c,d$有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.已知关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是
$m ≤ \frac{1}{4}且m ≠ 0$
.答案
14.答案 $m ≤ \frac{1}{4}且m ≠ 0$
解析 根据题意得$[x,2x-1]*[mx+1,m]=x(mx+1)-m(2x-1)=0,$
整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0,$
由条件可知$\begin{cases}m≠0,\\(1-2m)^2-4×m×m≥0,\end{cases}$
$\therefore m≤\frac{1}{4}且m≠0.$
解析 根据题意得$[x,2x-1]*[mx+1,m]=x(mx+1)-m(2x-1)=0,$
整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0,$
由条件可知$\begin{cases}m≠0,\\(1-2m)^2-4×m×m≥0,\end{cases}$
$\therefore m≤\frac{1}{4}且m≠0.$
解析
【分析】
解题首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，先把新运算形式的方程转化为常规的整式方程，再整理为一元二次方程的一般形式。题目明确方程有两个实数根，说明该方程必须是一元二次方程（若二次项系数为0就是一元一次方程，最多只有1个实数根），因此需要同时满足两个条件：①二次项系数不为0；②根的判别式大于等于0，联立两个条件求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义的运算规则可得：
$[x,2x-1]*[mx+1,m]=x(mx+1)-m(2x-1)=0$
展开并整理得：
$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵方程有两个实数根，
∴该方程为一元二次方程，且根的判别式Δ≥0，即：
$\begin{cases}m≠0 \\(1-2m)^2 - 4· m· m ≥ 0\end{cases}$
解不等式$(1-2m)^2 - 4m^2 ≥0$：
展开得$1 -4m +4m^2 -4m^2 ≥0$，化简得$1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
结合$m≠0$的条件，最终得$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
$m ≤ \frac{1}{4}且m ≠ 0$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程相关知识，解题核心是先将新运算正确转化为常规方程，易错点是容易忽略“方程有两个实数根”隐含的二次项系数不为0的条件，导致漏写$m≠0$的限制。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，先把新运算形式的方程转化为常规的整式方程，再整理为一元二次方程的一般形式。题目明确方程有两个实数根，说明该方程必须是一元二次方程（若二次项系数为0就是一元一次方程，最多只有1个实数根），因此需要同时满足两个条件：①二次项系数不为0；②根的判别式大于等于0，联立两个条件求解即可得到m的取值范围。
【解析】
根据新定义的运算规则可得：
$[x,2x-1]*[mx+1,m]=x(mx+1)-m(2x-1)=0$
展开并整理得：
$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵方程有两个实数根，
∴该方程为一元二次方程，且根的判别式Δ≥0，即：
$\begin{cases}m≠0 \\(1-2m)^2 - 4· m· m ≥ 0\end{cases}$
解不等式$(1-2m)^2 - 4m^2 ≥0$：
展开得$1 -4m +4m^2 -4m^2 ≥0$，化简得$1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
结合$m≠0$的条件，最终得$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$
【答案】
$m ≤ \frac{1}{4}且m ≠ 0$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程相关知识，解题核心是先将新运算正确转化为常规方程，易错点是容易忽略“方程有两个实数根”隐含的二次项系数不为0的条件，导致漏写$m≠0$的限制。
【难度系数】
0.7
15. 学科
特色
反证法
「2026江苏南京建邺期中，★☆」已知$y_1 = x - 2$，$y_2 = x^2 + 8x + 20$。小明同学作出如下结论：无论$x$取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。你是否同意他的说法？并说明你的理由。
特色
反证法
「2026江苏南京建邺期中，★☆」已知$y_1 = x - 2$，$y_2 = x^2 + 8x + 20$。小明同学作出如下结论：无论$x$取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。你是否同意他的说法？并说明你的理由。
答案
15.解析 同意,理由如下:
假设存在实数$x$,使得$y_1=y_2$,则方程$x-2=x^2+8x+20$有实数根,整理方程得$x^2+7x+22=0,\therefore \Delta=b^2-4ac=7^2-4×22=49-88=-39＜0,\therefore$ 方程$x-2=x^2+8x+20$没有实数根,$\therefore$ 假设不成立,即无论$x$取什么实数,$y_1$都不等于$y_2.$
假设存在实数$x$,使得$y_1=y_2$,则方程$x-2=x^2+8x+20$有实数根,整理方程得$x^2+7x+22=0,\therefore \Delta=b^2-4ac=7^2-4×22=49-88=-39＜0,\therefore$ 方程$x-2=x^2+8x+20$没有实数根,$\therefore$ 假设不成立,即无论$x$取什么实数,$y_1$都不等于$y_2.$
解析
【分析】
要判断无论x取何值y₁是否都不等于y₂，可从反证法的思路入手：假设存在实数x使得y₁=y₂，那么联立两个函数解析式得到的方程应有实数根。将该方程整理为一元二次方程的一般形式后，通过计算根的判别式Δ的取值即可判断方程是否有实根：若Δ＜0，说明方程无实根，假设不成立，小明的说法正确；若Δ≥0，说明方程有实根，假设成立，小明的说法错误。
【解析】
同意小明的说法，理由如下：
假设存在实数x，使得y₁=y₂，则方程$x-2 = x^2 + 8x + 20$有实数根，
整理方程得：$x^2 + 7x + 22 = 0$，
其中$a=1$，$b=7$，$c=22$，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4×1×22 = 49 - 88 = -39 ＜ 0$，
∴方程$x^2 + 7x + 22 = 0$没有实数根，即假设不成立，
因此无论x取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。
【答案】
同意小明的说法，无论x取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。
【知识点】
反证法；一元二次方程根的判别式；函数与方程的关系
【点评】
本题将函数与一元二次方程知识结合考查，解题的核心是掌握“两个函数值相等等价于对应联立方程有实根”的转化思路，同时要熟练运用根的判别式判断一元二次方程实根的存在性，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.7
要判断无论x取何值y₁是否都不等于y₂，可从反证法的思路入手：假设存在实数x使得y₁=y₂，那么联立两个函数解析式得到的方程应有实数根。将该方程整理为一元二次方程的一般形式后，通过计算根的判别式Δ的取值即可判断方程是否有实根：若Δ＜0，说明方程无实根，假设不成立，小明的说法正确；若Δ≥0，说明方程有实根，假设成立，小明的说法错误。
【解析】
同意小明的说法，理由如下：
假设存在实数x，使得y₁=y₂，则方程$x-2 = x^2 + 8x + 20$有实数根，
整理方程得：$x^2 + 7x + 22 = 0$，
其中$a=1$，$b=7$，$c=22$，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4×1×22 = 49 - 88 = -39 ＜ 0$，
∴方程$x^2 + 7x + 22 = 0$没有实数根，即假设不成立，
因此无论x取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。
【答案】
同意小明的说法，无论x取什么实数，$y_1$都不等于$y_2$。
【知识点】
反证法；一元二次方程根的判别式；函数与方程的关系
【点评】
本题将函数与一元二次方程知识结合考查，解题的核心是掌握“两个函数值相等等价于对应联立方程有实根”的转化思路，同时要熟练运用根的判别式判断一元二次方程实根的存在性，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.7
16.「2026江苏无锡吴风实验学校期中，★☆」已知关于$x$的方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个不小于3的根,求实数$k$的取值范围.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个不小于3的根,求实数$k$的取值范围.
答案
16.解析 (1)证明:$\because a=1,b=-(k+3),c=2k+2,\therefore \Delta=b^2-4ac=[-(k+3)]^2-4×1×(2k+2)=(k+3)^2-4(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0,\therefore$ 方程总有两个实数根.
(2)由(1)得$\Delta=(k-1)^2≥0,\therefore x=\frac{k+3\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2}=\frac{k+3\pm(k-1)}{2},\therefore x_1=k+1,x_2=2,\because$ 方程有一个不小于3的根,$\therefore k+1≥3,$解得$k≥2.$
(2)由(1)得$\Delta=(k-1)^2≥0,\therefore x=\frac{k+3\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2}=\frac{k+3\pm(k-1)}{2},\therefore x_1=k+1,x_2=2,\because$ 方程有一个不小于3的根,$\therefore k+1≥3,$解得$k≥2.$
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式$\Delta≥0$恒成立。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断化简结果的非负性即可。
(2)由第一问可知$\Delta$是完全平方式，因此可以直接用求根公式求出方程的两个根。其中一个根是固定值2，小于3，因此只需让另一个根满足“不小于3”的条件，列不等式求解就能得到$k$的取值范围。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×1×(2k+2)$
$=k^2+6k+9 - 8k -8$
$=k^2-2k+1$
$=(k-1)^2$
∵无论$k$取何实数，$(k-1)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴方程总有两个实数根。
(2)解：由(1)知$\Delta=(k-1)^2≥0$，根据求根公式可得：
$x=\frac{(k+3)\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2}=\frac{k+3\pm(k-1)}{2}$
分别计算两根：
$x_1=\frac{k+3 + k -1}{2}=k+1$，$x_2=\frac{k+3 - (k-1)}{2}=2$
∵方程有一个不小于3的根，而$x_2=2＜3$，
∴只需满足$x_1≥3$，即$k+1≥3$，
解得$k≥2$。
【答案】
(1)方程总有两个实数根，证明成立；
(2)$k≥2$
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题型，第一问侧重考查判别式判断根的情况的基本方法，第二问借助判别式为完全平方式的特点直接求出两根，再结合题意列不等式求解，逻辑清晰，计算量小，重点考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是验证根的判别式$\Delta≥0$恒成立。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$化简，判断化简结果的非负性即可。
(2)由第一问可知$\Delta$是完全平方式，因此可以直接用求根公式求出方程的两个根。其中一个根是固定值2，小于3，因此只需让另一个根满足“不小于3”的条件，列不等式求解就能得到$k$的取值范围。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中，$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$，
则根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×1×(2k+2)$
$=k^2+6k+9 - 8k -8$
$=k^2-2k+1$
$=(k-1)^2$
∵无论$k$取何实数，$(k-1)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴方程总有两个实数根。
(2)解：由(1)知$\Delta=(k-1)^2≥0$，根据求根公式可得：
$x=\frac{(k+3)\pm\sqrt{(k-1)^2}}{2}=\frac{k+3\pm(k-1)}{2}$
分别计算两根：
$x_1=\frac{k+3 + k -1}{2}=k+1$，$x_2=\frac{k+3 - (k-1)}{2}=2$
∵方程有一个不小于3的根，而$x_2=2＜3$，
∴只需满足$x_1≥3$，即$k+1≥3$，
解得$k≥2$。
【答案】
(1)方程总有两个实数根，证明成立；
(2)$k≥2$
【知识点】
根的判别式，公式法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题型，第一问侧重考查判别式判断根的情况的基本方法，第二问借助判别式为完全平方式的特点直接求出两根，再结合题意列不等式求解，逻辑清晰，计算量小，重点考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
17. 核心素养 推理能力 学科特色 整体思想 「2026 江苏南京月考」已知$m$，$n$，$p$分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，且$m≤ n＜p$.
(1)求证:关于$x$的一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$必有实数根.
(2)若$x=-1$是一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的一个根，且$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2$，求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积.
(1)求证:关于$x$的一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$必有实数根.
(2)若$x=-1$是一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的一个根，且$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2$，求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积.
答案
17.解析 (1)证明:$\because m,n,p$分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长,且$m≤ n＜p,\therefore p^2=m^2+n^2,\therefore \Delta=b^2-4ac=2p^2-4mn=2(m^2+n^2)-4mn=2(m-n)^2≥0,\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$必有实数根.
(2)$\because x=-1$是一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的一个根,$\therefore m-\sqrt{2}p+n=0$①,
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2,\therefore m+n+p=2\sqrt{2}+2$②,
由①②可得$m+n=2\sqrt{2},p=2,\therefore (m+n)^2=8,$
$\therefore m^2+2mn+n^2=8,$
又$\because m^2+n^2=p^2=4,\therefore 2mn=4,\therefore \frac{1}{2}mn=1,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积是1.
(2)$\because x=-1$是一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的一个根,$\therefore m-\sqrt{2}p+n=0$①,
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2,\therefore m+n+p=2\sqrt{2}+2$②,
由①②可得$m+n=2\sqrt{2},p=2,\therefore (m+n)^2=8,$
$\therefore m^2+2mn+n^2=8,$
又$\because m^2+n^2=p^2=4,\therefore 2mn=4,\therefore \frac{1}{2}mn=1,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积是1.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程必有实数根，核心是证明根的判别式Δ≥0。已知p是直角三角形的斜边，可先结合勾股定理得到p²=m²+n²，再代入判别式化简，即可判断Δ的符号。
(2) 先根据方程根的定义，将x=-1代入方程得到m、n、p的第一个关系式；再结合三角形周长得到第二个关系式，联立两式求出m+n和p的值；最后结合勾股定理，用整体代入的方法求出mn的值，即可计算出直角三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵m，n，p分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，且$m≤ n＜p$，
∴p为直角三角形的斜边，由勾股定理得$p^2=m^2+n^2$。
一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(\sqrt{2}p)^2-4mn=2p^2-4mn$，
将$p^2=m^2+n^2$代入得：
$\Delta=2(m^2+n^2)-4mn=2(m-n)^2$，
∵$(m-n)^2≥0$，
∴$2(m-n)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴关于$x$的一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$必有实数根。
(2) 解：
∵$x=-1$是一元二次方程的根，代入方程得：
$m×(-1)^2+\sqrt{2}p×(-1)+n=0$，即$m+n-\sqrt{2}p=0$ ①，
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2$，
∴$m+n+p=2\sqrt{2}+2$ ②，
联立①②，解得$p=2$，$m+n=2\sqrt{2}$，
将$m+n=2\sqrt{2}$两边平方得：$(m+n)^2=8$，即$m^2+2mn+n^2=8$，
又
∵$m^2+n^2=p^2=4$，代入得$4+2mn=8$，解得$mn=2$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
根的判别式，勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题将几何中直角三角形的性质和代数中一元二次方程的知识相结合，既考查了基础知识点的直接应用，又考查了整体思想在运算中的运用，能有效检验学生跨知识点解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明一元二次方程必有实数根，核心是证明根的判别式Δ≥0。已知p是直角三角形的斜边，可先结合勾股定理得到p²=m²+n²，再代入判别式化简，即可判断Δ的符号。
(2) 先根据方程根的定义，将x=-1代入方程得到m、n、p的第一个关系式；再结合三角形周长得到第二个关系式，联立两式求出m+n和p的值；最后结合勾股定理，用整体代入的方法求出mn的值，即可计算出直角三角形的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵m，n，p分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长，且$m≤ n＜p$，
∴p为直角三角形的斜边，由勾股定理得$p^2=m^2+n^2$。
一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(\sqrt{2}p)^2-4mn=2p^2-4mn$，
将$p^2=m^2+n^2$代入得：
$\Delta=2(m^2+n^2)-4mn=2(m-n)^2$，
∵$(m-n)^2≥0$，
∴$2(m-n)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴关于$x$的一元二次方程$mx^2+\sqrt{2}px+n=0$必有实数根。
(2) 解：
∵$x=-1$是一元二次方程的根，代入方程得：
$m×(-1)^2+\sqrt{2}p×(-1)+n=0$，即$m+n-\sqrt{2}p=0$ ①，
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长为$2\sqrt{2}+2$，
∴$m+n+p=2\sqrt{2}+2$ ②，
联立①②，解得$p=2$，$m+n=2\sqrt{2}$，
将$m+n=2\sqrt{2}$两边平方得：$(m+n)^2=8$，即$m^2+2mn+n^2=8$，
又
∵$m^2+n^2=p^2=4$，代入得$4+2mn=8$，解得$mn=2$，
∴$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
根的判别式，勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题将几何中直角三角形的性质和代数中一元二次方程的知识相结合，既考查了基础知识点的直接应用，又考查了整体思想在运算中的运用，能有效检验学生跨知识点解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
