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1.「2026江苏无锡宜兴月考」已知$xy≠0$，且$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$，则$\frac{x}{y}=$
-4或1
答案
-4或1
解析 $\because xy ≠ 0,\therefore x ≠ 0$ 且 $y ≠ 0,\because x^2+3xy-4y^2=0$,
$\therefore \frac{x^2+3xy-4y^2}{y^2}=0,即(\frac{x}{y})^2+\frac{3x}{y}-4=0,令\frac{x}{y}=a,则a^2+$
$3a-4=0,\therefore (a+4)(a-1)=0,\therefore a=-4$ 或 $1,\therefore \frac{x}{y}=-4$ 或 1.
解析 $\because xy ≠ 0,\therefore x ≠ 0$ 且 $y ≠ 0,\because x^2+3xy-4y^2=0$,
$\therefore \frac{x^2+3xy-4y^2}{y^2}=0,即(\frac{x}{y})^2+\frac{3x}{y}-4=0,令\frac{x}{y}=a,则a^2+$
$3a-4=0,\therefore (a+4)(a-1)=0,\therefore a=-4$ 或 $1,\therefore \frac{x}{y}=-4$ 或 1.
解析
【分析】
本题要求比值$\frac{x}{y}$，首先结合已知条件$xy≠0$可推出$y≠0$，因此可对等式两边同时除以$y^2$，将原二元二次方程转化为只含有$\frac{x}{y}$的一元二次方程，再通过换元法或因式分解求解即可，也可以先对原方程左边因式分解，结合$y≠0$的条件直接求出比值。
【解析】
$\because xy≠0$，$\therefore x≠0$且$y≠0$，
已知$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$，将等式两边同时除以$y^2$（$y≠0$，除法运算有意义），得：
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{3xy}{y^2}-\frac{4y^2}{y^2}=0$，即$(\frac{x}{y})^2 + 3·\frac{x}{y} - 4 = 0$，
设$\frac{x}{y}=a$，则原方程转化为一元二次方程$a^2 + 3a - 4 = 0$，
对左边因式分解得$(a+4)(a-1)=0$，
解得$a=-4$或$a=1$，
即$\frac{x}{y}=-4$或$\frac{x}{y}=1$。
【答案】
-4或1
【知识点】
换元法，因式分解解一元二次方程，等式的性质
【点评】
本题是换元法应用的典型题型，解题关键是利用隐含条件$xy≠0$，将二元方程转化为仅含所求比值的一元二次方程，也可直接对原方程用十字相乘法因式分解，简化计算步骤，求解时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
本题要求比值$\frac{x}{y}$，首先结合已知条件$xy≠0$可推出$y≠0$，因此可对等式两边同时除以$y^2$，将原二元二次方程转化为只含有$\frac{x}{y}$的一元二次方程，再通过换元法或因式分解求解即可，也可以先对原方程左边因式分解，结合$y≠0$的条件直接求出比值。
【解析】
$\because xy≠0$，$\therefore x≠0$且$y≠0$，
已知$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$，将等式两边同时除以$y^2$（$y≠0$，除法运算有意义），得：
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{3xy}{y^2}-\frac{4y^2}{y^2}=0$，即$(\frac{x}{y})^2 + 3·\frac{x}{y} - 4 = 0$，
设$\frac{x}{y}=a$，则原方程转化为一元二次方程$a^2 + 3a - 4 = 0$，
对左边因式分解得$(a+4)(a-1)=0$，
解得$a=-4$或$a=1$，
即$\frac{x}{y}=-4$或$\frac{x}{y}=1$。
【答案】
-4或1
【知识点】
换元法，因式分解解一元二次方程，等式的性质
【点评】
本题是换元法应用的典型题型，解题关键是利用隐含条件$xy≠0$，将二元方程转化为仅含所求比值的一元二次方程，也可直接对原方程用十字相乘法因式分解，简化计算步骤，求解时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
2.(1)「2026江苏宿迁宿豫月考」已知$a,b$为实数且满足$(a^2+b^2)^2-(a^2+b^2)-6=0$,则$a^2+b^2$的值为
(2)「2026江苏宿迁宿豫期中」已知实数$x$满足$(x^2-x)^2-4(x^2-x)-12=0$,则代数式$x^2-x+1$的值为
3
.(2)「2026江苏宿迁宿豫期中」已知实数$x$满足$(x^2-x)^2-4(x^2-x)-12=0$,则代数式$x^2-x+1$的值为
7
.答案
(1)3 (2)7
解析 (1)设 $a^2+b^2=x$,则 $x^2-x-6=0$,解得 $x=3$ 或 $x=-2.\because a^2+b^2≥0,\therefore a^2+b^2=3$.
(2)设 $x^2-x=m$,则 $m^2-4m-12=0$,解得 $m=-2$ 或 $m=6$.当 $m=-2$ 时,$x^2-x=-2$,即 $x^2-x+2=0,\therefore \Delta=1-8＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根,故 $m=-2$ 不合题意,舍去,当 $m=6$ 时,$x^2-x=6$,即 $x^2-x-6=0,\therefore \Delta=1+24＞0$,故 $m$ 的值为 $6,\therefore x^2-x+1=m+1=7$.
解析 (1)设 $a^2+b^2=x$,则 $x^2-x-6=0$,解得 $x=3$ 或 $x=-2.\because a^2+b^2≥0,\therefore a^2+b^2=3$.
(2)设 $x^2-x=m$,则 $m^2-4m-12=0$,解得 $m=-2$ 或 $m=6$.当 $m=-2$ 时,$x^2-x=-2$,即 $x^2-x+2=0,\therefore \Delta=1-8＜0$,
$\therefore$ 方程没有实数根,故 $m=-2$ 不合题意,舍去,当 $m=6$ 时,$x^2-x=6$,即 $x^2-x-6=0,\therefore \Delta=1+24＞0$,故 $m$ 的值为 $6,\therefore x^2-x+1=m+1=7$.
解析
【分析】
这两道题均为含重复整体结构的高次方程，解题思路可按三步展开：①换元降次：观察方程结构，把重复出现的代数式设为新的未知数，将原高次方程转化为熟悉的一元二次方程；②验根取舍：解出一元二次方程的根后，结合原式的取值性质（如平方数非负、实数范围内方程需有实根等）舍去不符合题意的根；③代入计算：将符合要求的根代入待求代数式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 设$a^2+b^2=x$，则原方程转化为：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$
∵平方数具有非负性，$a^2≥0$、$b^2≥0$，
∴$a^2+b^2≥0$
$x=-2$不符合取值要求，舍去，因此$a^2+b^2=3$
(2) 设$x^2 - x = m$，则原方程转化为：
$m^2 -4m -12 = 0$
因式分解得$(m-6)(m+2)=0$，解得$m_1=6$，$m_2=-2$
当$m=-2$时，$x^2 - x = -2$，整理得$x^2 - x + 2 = 0$，此时根的判别式$\Delta = (-1)^2 -4×1×2 = -7＜0$，方程无实数根，故$m=-2$舍去；
当$m=6$时，$x^2 - x =6$，整理得$x^2 -x -6=0$，$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-6)=25＞0$，符合题意。
因此$x^2 -x +1 = m +1 =6+1=7$
【答案】
(1)3；(2)7
【知识点】
换元法；一元二次方程解法；根的判别式
【点评】
本题重点考查换元法在特殊方程求解中的应用，核心是将重复出现的代数式视为整体换元降次，把复杂方程转化为一元二次方程求解，解题时要注意对新未知数的根进行检验，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
这两道题均为含重复整体结构的高次方程，解题思路可按三步展开：①换元降次：观察方程结构，把重复出现的代数式设为新的未知数，将原高次方程转化为熟悉的一元二次方程；②验根取舍：解出一元二次方程的根后，结合原式的取值性质（如平方数非负、实数范围内方程需有实根等）舍去不符合题意的根；③代入计算：将符合要求的根代入待求代数式，计算出最终结果。
【解析】
(1) 设$a^2+b^2=x$，则原方程转化为：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$
∵平方数具有非负性，$a^2≥0$、$b^2≥0$，
∴$a^2+b^2≥0$
$x=-2$不符合取值要求，舍去，因此$a^2+b^2=3$
(2) 设$x^2 - x = m$，则原方程转化为：
$m^2 -4m -12 = 0$
因式分解得$(m-6)(m+2)=0$，解得$m_1=6$，$m_2=-2$
当$m=-2$时，$x^2 - x = -2$，整理得$x^2 - x + 2 = 0$，此时根的判别式$\Delta = (-1)^2 -4×1×2 = -7＜0$，方程无实数根，故$m=-2$舍去；
当$m=6$时，$x^2 - x =6$，整理得$x^2 -x -6=0$，$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-6)=25＞0$，符合题意。
因此$x^2 -x +1 = m +1 =6+1=7$
【答案】
(1)3；(2)7
【知识点】
换元法；一元二次方程解法；根的判别式
【点评】
本题重点考查换元法在特殊方程求解中的应用，核心是将重复出现的代数式视为整体换元降次，把复杂方程转化为一元二次方程求解，解题时要注意对新未知数的根进行检验，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
3.阅读下面的材料：
解方程$x^4 -7x^2 +12=0$，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：设$x^2 = y$，则$x^4 = y^2$，∴原方程可化为$y^2 -7y +12=0$，解得$y_1=3,y_2=4$，当$y=3$时，$x^2=3$，∴$x=\pm\sqrt{3}$，当$y=4$时，$x^2=4$，∴$x=\pm2$。∴原方程的根是$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$，$x_3=2$，$x_4=-2$，此方法为换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法，解答下列问题。
(1)解方程：$(x^2 +x)^2 -5(x^2 +x)+4=0$。
(2)已知实数$a,b$满足$(a^2 +b^2)^2 -3(a^2 +b^2)-10=0$，试求$a^2 +b^2$的值。
解方程$x^4 -7x^2 +12=0$，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：设$x^2 = y$，则$x^4 = y^2$，∴原方程可化为$y^2 -7y +12=0$，解得$y_1=3,y_2=4$，当$y=3$时，$x^2=3$，∴$x=\pm\sqrt{3}$，当$y=4$时，$x^2=4$，∴$x=\pm2$。∴原方程的根是$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$，$x_3=2$，$x_4=-2$，此方法为换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法，解答下列问题。
(1)解方程：$(x^2 +x)^2 -5(x^2 +x)+4=0$。
(2)已知实数$a,b$满足$(a^2 +b^2)^2 -3(a^2 +b^2)-10=0$，试求$a^2 +b^2$的值。
答案
(1)设 $y=x^2+x$,则原方程可化为 $y^2-5y+4=0$,因式分解,得 $(y-1)(y-4)=0$,解得 $y_1=1,y_2=4$,
当 $y=1$ 时,$x^2+x=1$,即 $x^2+x-1=0$,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$;
当 $y=4$ 时,$x^2+x=4$,即 $x^2+x-4=0$,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,原方程的解为 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
(2)设 $n=a^2+b^2$,则原方程可化为 $n^2-3n-10=0$,方程可变形为 $(n-5)(n+2)=0$,解得 $n_1=5,n_2=-2$(舍去),故 $a^2+b^2=5$.
当 $y=1$ 时,$x^2+x=1$,即 $x^2+x-1=0$,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$;
当 $y=4$ 时,$x^2+x=4$,即 $x^2+x-4=0$,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,原方程的解为 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
(2)设 $n=a^2+b^2$,则原方程可化为 $n^2-3n-10=0$,方程可变形为 $(n-5)(n+2)=0$,解得 $n_1=5,n_2=-2$(舍去),故 $a^2+b^2=5$.
解析
【分析】
这两道题均可利用材料给出的换元法求解，核心是通过换元将高次方程转化为熟悉的一元二次方程，实现降次目的：
(1) 观察方程可发现整体$(x^2+x)$重复出现，设$y=x^2+x$，即可将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再分别代入$y=x^2+x$求解对应的$x$即可；
(2) 同理设$n=a^2+b^2$，将原方程转化为关于$n$的一元二次方程求解，注意$a^2$、$b^2$均为非负数，因此$a^2+b^2≥0$，需要对求出的$n$的值进行取舍，排除不符合要求的负数解。
【解析】
(1) 设 $y=x^2+x$，则原方程可化为 $y^2-5y+4=0$，
因式分解得 $(y-1)(y-4)=0$，解得 $y_1=1,y_2=4$，
当 $y=1$ 时，$x^2+x=1$，整理得$x^2+x-1=0$，由求根公式解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$；
当 $y=4$ 时，$x^2+x=4$，整理得$x^2+x-4=0$，由求根公式解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$。
(2) 设 $n=a^2+b^2$，则原方程可化为 $n^2-3n-10=0$，
因式分解得 $(n-5)(n+2)=0$，解得 $n_1=5,n_2=-2$，
∵$a^2≥0$，$b^2≥0$，
∴$a^2+b^2≥0$，故$n=-2$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 原方程的解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$
(2) $a^2+b^2=5$
【知识点】
换元法降次；一元二次方程求解；平方的非负性
【点评】
本题考查换元法的实际应用，解题时需先观察方程结构，找到可替换的整体实现降次，将陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，第二问需要注意结合代数式的非负性对解进行检验取舍，体现了数学中的转化思想，能有效锻炼整体思考的能力。
【难度系数】
0.7
这两道题均可利用材料给出的换元法求解，核心是通过换元将高次方程转化为熟悉的一元二次方程，实现降次目的：
(1) 观察方程可发现整体$(x^2+x)$重复出现，设$y=x^2+x$，即可将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再分别代入$y=x^2+x$求解对应的$x$即可；
(2) 同理设$n=a^2+b^2$，将原方程转化为关于$n$的一元二次方程求解，注意$a^2$、$b^2$均为非负数，因此$a^2+b^2≥0$，需要对求出的$n$的值进行取舍，排除不符合要求的负数解。
【解析】
(1) 设 $y=x^2+x$，则原方程可化为 $y^2-5y+4=0$，
因式分解得 $(y-1)(y-4)=0$，解得 $y_1=1,y_2=4$，
当 $y=1$ 时，$x^2+x=1$，整理得$x^2+x-1=0$，由求根公式解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$；
当 $y=4$ 时，$x^2+x=4$，整理得$x^2+x-4=0$，由求根公式解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$。
(2) 设 $n=a^2+b^2$，则原方程可化为 $n^2-3n-10=0$，
因式分解得 $(n-5)(n+2)=0$，解得 $n_1=5,n_2=-2$，
∵$a^2≥0$，$b^2≥0$，
∴$a^2+b^2≥0$，故$n=-2$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 原方程的解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$
(2) $a^2+b^2=5$
【知识点】
换元法降次；一元二次方程求解；平方的非负性
【点评】
本题考查换元法的实际应用，解题时需先观察方程结构，找到可替换的整体实现降次，将陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，第二问需要注意结合代数式的非负性对解进行检验取舍，体现了数学中的转化思想，能有效锻炼整体思考的能力。
【难度系数】
0.7
4.解方程：$x^2+\frac{1}{x^2}-2(x+\frac{1}{x})-1=0.$
答案
原方程可变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$.
设 $y=x+\frac{1}{x}$,则原方程可化为 $y^2-2y-3=0,\therefore y_1=3,y_2=-1$.①当 $y=3$ 时,$x+\frac{1}{x}=3$,即 $x^2-3x+1=0$,对于 $x^2-3x+1=0,\because b^2-4ac=9-4=5＞0,\therefore$ 方程有两个不相等的实数根,$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,经检验,$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解.②当 $y=-1$ 时,$x+\frac{1}{x}=-1$,即 $x^2+x+1=0$,对于 $x^2+x+1=0,\because b^2-4ac=1-4=-3＜0,\therefore$ 方程无实数根.
综上,原方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
设 $y=x+\frac{1}{x}$,则原方程可化为 $y^2-2y-3=0,\therefore y_1=3,y_2=-1$.①当 $y=3$ 时,$x+\frac{1}{x}=3$,即 $x^2-3x+1=0$,对于 $x^2-3x+1=0,\because b^2-4ac=9-4=5＞0,\therefore$ 方程有两个不相等的实数根,$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,经检验,$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解.②当 $y=-1$ 时,$x+\frac{1}{x}=-1$,即 $x^2+x+1=0$,对于 $x^2+x+1=0,\because b^2-4ac=1-4=-3＜0,\therefore$ 方程无实数根.
综上,原方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
观察方程结构，发现方程中同时出现$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，根据完全平方公式的变形可知$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，因此可以采用换元法简化方程：设$y=x+\frac{1}{x}$，将原分式方程转化为关于y的一元二次方程求解，得到y的取值后再分别代回$y=x+\frac{1}{x}$求解x，最后需要检验所得x是否为原方程的解，同时利用判别式判断对应一元二次方程是否有实数根。
【解析】
原方程可变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$。
设 $y=x+\frac{1}{x}$，则原方程可化为 $y^2-2y-3=0$，因式分解得$(y-3)(y+1)=0$，解得$y_1=3,y_2=-1$。
①当 $y=3$ 时，$x+\frac{1}{x}=3$，两边同乘非零的x得 $x^2-3x+1=0$，
对于 $x^2-3x+1=0$，$\because \Delta=b^2-4ac=9-4=5＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，解得$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
经检验，$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解。
②当 $y=-1$ 时，$x+\frac{1}{x}=-1$，两边同乘非零的x得 $x^2+x+1=0$，
对于 $x^2+x+1=0$，$\because \Delta=b^2-4ac=1-4=-3＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
综上，原方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
换元法解方程、完全平方公式、分式方程验根
【点评】
本题是换元法解特殊方程的典型题型，解题核心是准确识别方程中特殊代数式的结构关系，利用完全平方公式变形换元，将复杂分式方程转化为常规一元二次方程求解；解题时需注意分式方程必须验根，同时要通过判别式判断根的存在性，避免出现增根或无意义的解。
【难度系数】
0.6
观察方程结构，发现方程中同时出现$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，根据完全平方公式的变形可知$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，因此可以采用换元法简化方程：设$y=x+\frac{1}{x}$，将原分式方程转化为关于y的一元二次方程求解，得到y的取值后再分别代回$y=x+\frac{1}{x}$求解x，最后需要检验所得x是否为原方程的解，同时利用判别式判断对应一元二次方程是否有实数根。
【解析】
原方程可变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$。
设 $y=x+\frac{1}{x}$，则原方程可化为 $y^2-2y-3=0$，因式分解得$(y-3)(y+1)=0$，解得$y_1=3,y_2=-1$。
①当 $y=3$ 时，$x+\frac{1}{x}=3$，两边同乘非零的x得 $x^2-3x+1=0$，
对于 $x^2-3x+1=0$，$\because \Delta=b^2-4ac=9-4=5＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，解得$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
经检验，$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解。
②当 $y=-1$ 时，$x+\frac{1}{x}=-1$，两边同乘非零的x得 $x^2+x+1=0$，
对于 $x^2+x+1=0$，$\because \Delta=b^2-4ac=1-4=-3＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
综上，原方程的解为 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
换元法解方程、完全平方公式、分式方程验根
【点评】
本题是换元法解特殊方程的典型题型，解题核心是准确识别方程中特殊代数式的结构关系，利用完全平方公式变形换元，将复杂分式方程转化为常规一元二次方程求解；解题时需注意分式方程必须验根，同时要通过判别式判断根的存在性，避免出现增根或无意义的解。
【难度系数】
0.6
5.阅读下列【问题】与【提示】后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
【问题】解方程：$x^2 -6x -2\sqrt{x^2 -6x} -8=0$.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解：设$\sqrt{x^2 -6x}=t(t≥0)$，则有$x^2 -6x = t^2$，
∴原方程可化为$t^2 -2t -8=0$.
【续解】
【问题】解方程：$x^2 -6x -2\sqrt{x^2 -6x} -8=0$.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解：设$\sqrt{x^2 -6x}=t(t≥0)$，则有$x^2 -6x = t^2$，
∴原方程可化为$t^2 -2t -8=0$.
【续解】
答案
$\therefore (t+2)(t-4)=0,\therefore t+2=0$ 或 $t-4=0,\therefore t_1=-2$(舍去),$t_2=4$.当 $t=4$ 时,$\sqrt{x^2-6x}=4$,则 $x^2-6x=16$,配方得 $(x-3)^2=25$,解得 $x_1=8,x_2=-2$,经检验,$x_1=8$ 和 $x_2=-2$ 都是原方程的解,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=8,x_2=-2$.
解析
【分析】
首先我们已经通过换元将原无理方程转化为关于t的一元二次方程，第一步先求解这个一元二次方程得到t的两个解；再结合题设中t≥0的取值范围，舍去不符合要求的负根；接着将符合条件的t值代回换元的关系式$\sqrt{x^2 -6x}=t$，两边平方后得到关于x的一元二次方程并求解；最后因为平方运算可能产生增根，需要检验得到的x的值是否满足原方程，最终得到原方程的解。
【解析】
对关于t的方程因式分解得：
$(t+2)(t-4)=0$
$\therefore t+2=0$ 或 $t-4=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=4$，
$\because t≥0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去，即$t=4$。
将$t=4$代入$\sqrt{x^2 -6x}=t$，得$\sqrt{x^2 -6x}=4$，
两边平方得$x^2 -6x=16$，
配方得$x^2 -6x+9=16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开方得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$。
经检验，$x_1=8$和$x_2=-2$代入原方程均使等式成立，都是原方程的解。
【答案】
$x_1=8,x_2=-2$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，无理方程验根
【点评】
本题考查换元法在特殊方程求解中的应用，核心是通过换元将复杂的无理方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意换元后新元的取值范围，避免出现不符合要求的解，最后求解出原未知数后需要检验，排除平方运算产生的增根。
【难度系数】
0.6
首先我们已经通过换元将原无理方程转化为关于t的一元二次方程，第一步先求解这个一元二次方程得到t的两个解；再结合题设中t≥0的取值范围，舍去不符合要求的负根；接着将符合条件的t值代回换元的关系式$\sqrt{x^2 -6x}=t$，两边平方后得到关于x的一元二次方程并求解；最后因为平方运算可能产生增根，需要检验得到的x的值是否满足原方程，最终得到原方程的解。
【解析】
对关于t的方程因式分解得：
$(t+2)(t-4)=0$
$\therefore t+2=0$ 或 $t-4=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=4$，
$\because t≥0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去，即$t=4$。
将$t=4$代入$\sqrt{x^2 -6x}=t$，得$\sqrt{x^2 -6x}=4$，
两边平方得$x^2 -6x=16$，
配方得$x^2 -6x+9=16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开方得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$。
经检验，$x_1=8$和$x_2=-2$代入原方程均使等式成立，都是原方程的解。
【答案】
$x_1=8,x_2=-2$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，无理方程验根
【点评】
本题考查换元法在特殊方程求解中的应用，核心是通过换元将复杂的无理方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意换元后新元的取值范围，避免出现不符合要求的解，最后求解出原未知数后需要检验，排除平方运算产生的增根。
【难度系数】
0.6
