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1. 若把$△ ABC$的各边分别缩小为原来的$\frac{1}{3}$，得到$△ A_1B_1C_1$，下面结论正确的是（
A.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$不一定相似
B.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$1:3$
C.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$各对应角不等
D.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$3:1$
D
）A.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$不一定相似
B.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$1:3$
C.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$各对应角不等
D.$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的相似比为$3:1$
答案
1.D
2. 新考法逆向思维法 若$△ ABC$各边长分别为$AB=25\ \mathrm{cm},BC=20\ \mathrm{cm},AC=15\ \mathrm{cm},△ DEF$的两边长为$DE=5\ \mathrm{cm},EF=4\ \mathrm{cm}$,则当$DF=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时,$△ ABC$与$△ DEF$相似.
答案
2.3
3. 母题教材P70例3 如图，已知在$△ ABC$与$△ ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAD=20°$，$∠ DAE=60°$，则$∠ DAC$的大小为
$40°$
。答案
3.$40°$
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，点D在AC上.
(1)已知$AC=4$，$BC=2$，$∠ CBD = ∠ A$，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：$△ CEF ∽ △ BAD$.
(1)已知$AC=4$，$BC=2$，$∠ CBD = ∠ A$，求BD的长；
(2)取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：$△ CEF ∽ △ BAD$.
答案
4.(1)【解】$\because ∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,$
$\therefore △CBD∽ △CAB.$
$\therefore \frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA},即\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}.$
$\therefore CD=1. \therefore 在Rt△BCD中,BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{5}.$
(2)【证明】$\because E,F$分别是$Rt△ABC,Rt△BCD$斜边上的中点,$\therefore CF=\frac{1}{2}BD,CE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}AD.$
$\therefore \frac{CF}{BD}=\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AB}=\frac{1}{2}.$
$\therefore △CEF∽ △BAD.$
$\therefore △CBD∽ △CAB.$
$\therefore \frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA},即\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}.$
$\therefore CD=1. \therefore 在Rt△BCD中,BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{5}.$
(2)【证明】$\because E,F$分别是$Rt△ABC,Rt△BCD$斜边上的中点,$\therefore CF=\frac{1}{2}BD,CE=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}AD.$
$\therefore \frac{CF}{BD}=\frac{EF}{AD}=\frac{CE}{AB}=\frac{1}{2}.$
$\therefore △CEF∽ △BAD.$
5.如图,下列四个三角形,与图中的三角形相似的是 (
A
B
C
D
B
)A
B
C
D
答案
5.B
6. 新考向传统文化 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似,“马”应落在 (
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
B
)A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
答案
6.B 【点拨】设各个小正方形的边长为1,由题图可得，“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}.$当“马”落在①处时,“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,3,\sqrt{10}.$因为三边对应不成比例,所以①处不符合;当“马”落在②处时,“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}.$因为$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$,所以②处符合;当“马”落在③处时,“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,\sqrt{13},2\sqrt{5}.$因为三边对应不成比例,所以③处不符合;当“马”落在④处时,“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为$1,5,\sqrt{34}.$因为三边对应不成比例,所以④处不符合,故选B.
7.一个三角形木架的三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60 cm和120 cm的两根木条.要求以其中一根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有 (
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
B
)A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
答案
7.B 【点拨】长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等,要满足两边之和大于第三边,则长120 cm的木条不能作为一边.设从120 cm的木条上截下的两段长分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}(x＜y,x+y≤120)$,易知长60 cm的木条不能与长75 cm的一边对应,否则$x+y＞120\ \mathrm{cm}.$当长60 cm的木条与长100 cm的一边对应时,有$\frac{x}{75}=\frac{y}{120}=\frac{60}{100}$,解得$x=45,y=72,x+y=117＜120$,符合题意;当长60 cm的木条与长120 cm的一边对应时,有$\frac{x}{75}=\frac{y}{100}=\frac{60}{120}$,解得$x=37.5,y=50,x+y=87.5＜120$,符合题意.$\therefore$有两种不同的截法.
8. 2025·泰州期中 新视角·新定义题 定义:我们知道,凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这个凸四边形叫作“自相似四边形”.如图,点A,B,C是正方形网格中的格点,在网格中确定格点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是“自相似四边形”,则符合条件的格点D有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
8.D 【点拨】如图①,易得$\frac{AB}{D_1A}=\frac{AC}{D_1C}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5},$
$\therefore △ABC∽ △D_1AC$,故$D_1$为所求的点;如图②,易得$\frac{AB}{D_2A}=\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{D_2B}=\sqrt{2},\therefore △ABC∽ △D_2AB$,故$D_2$为所求的点;如图③,易得$\frac{BC}{AB}=\frac{CD_3}{BD_3}=\frac{BD_3}{AD_3}=\sqrt{2},\therefore △BCD_3∽ △ABD_3$,故$D_3$为所求的点;如图④,易得$\frac{AB}{D_4C}=\frac{BC}{CA}=\frac{AC}{D_4A}=\frac{\sqrt{10}}{5},$
$\therefore △ABC∽ △D_4CA$,故$D_4$为所求的点;如图⑤,易得$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD_5}=\frac{AC}{BD_5}=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore △ABC∽ △BCD_5$,故$D_5$为所求的点.综上所述,符合条件的格点D有5个.故选D.
