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【典例1】如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长。
答案
作正△CDE,连接AE，
则△BCD≌△ACE,AE=BD=5，
∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,则 CD=DE=√(5²-3²)=4.
说明:此题有BD²=AD²+CD²这个一般性结论,像这样的四边形俗称勾股四边形.
变式.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点P在△ABC的外部,且满足∠APC +∠BPC=90°,求证:BP=√3 AP. 
答案
证明:将AP绕点A顺时针旋转120°至AQ,连接PQ、BQ,
∴△APQ 是顶角为 120°的等腰三角形,易得√3 AP=PQ.
证明△ABQ≌△ACP,
∴∠AQB=∠APC,
设∠APC=α,
∴∠BPA=90°-2α,
∴∠BPQ=∠BPA+∠APQ=90°-2α+30°=120°-2α,又∠PQB=30°+α,
∴∠PBQ=180°-(120°-2α)-(30°+α)=30°+α,
∴PB=PQ=√3 AP.
【典例2】如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
答案
作 CE⊥CP 且 CE=CP,连接 PE,BE,
则△CBE≌△CAP,
PE²=8,PB²=1,
∴BE=PA=3.
变式1.如图,若点P是正方形外一点,PA=3,PB=1,PC=$\sqrt{11}$,求∠APB的度数. 
答案
将△BPC绕点B逆时针旋转90°得△BP'A,连接PP',△ABP'≌△CBP,
∴PP'=$\sqrt{2}$,AP'=PC=$\sqrt{11}$,
在△APP'中,$AP^{2}+PP'^{2}=AP'^{2}$,
∴∠APP'=90°,
∴∠APB=45°.
变式2.若 P 为正方形 ABCD 外一点，$PA = 3$，$PB = 1$，$∠ APB = 45°$，则 $PC$ 的长为
$\sqrt{11}$ 或 $3-\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{11}$ 或 $3-\sqrt{2}$
变式3.如图，D是△ABC内一点，∠BDC=90°,BD=CD,AB=20,AC=21,AD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$,求BC的长.
答案
过 D 作 DM⊥AD,且 DM=AD,
连接 BM,AM,证△ACD≌△MBD,BM 与 AC 相交于 H 点,易证 BM⊥AC,
设 BH=x,则 $20^{2}-x^{2}=13^{2}-(21-x)^{2},x=16$,
∴AH=12,CH=9,
∴BC=$\sqrt{337}$.
